2024年高考物理二轮复习提升核心素养 机械能守恒定律(解析版)

5.3机械能守恒定律

一、重力做功与重力势能的关系

1.重力做功的特点

⑴重力做功与路径无关,只与始末位置的高度差有关.

⑵重力做功不引起物体机械能的变化.

2.重力势能

⑴表达式：ED=msh.

⑵重力势能的特点

重力势能是物体和地球所共有的，重力势能的大小与参考平面的选取有去，但重力势能的变

化与参考平面的选取无关.

3.重力做功与重力势能变化的关系

⑴定性关系：重力对物体做正功，重力势能减小:重力对物体做负功，重力势能增大:

⑵定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减小量.即IVG=-(EP2-EPI)=-A£：P.

二,弹性势能

1.定义：发生弹性形变的物体之间,由于有弹力的相互作用而具有的势能.

2.弹力做功与弹性势能变化的关系：

弹力做正功，弹性势能减小；弹力做负功，弹性势能增加.即卬=二△区.

三、机械能守恒定律

1.内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化,而总的机械能保

持不变.

2.表达式：mgh।\2=

3.机械能守恒的条件

⑴系统只受重力或弹簧弹力的作用，不受其他外力.

⑵系统除受重力或弹簧弹力作用外，还受其他内力和外力，但这些力对系统不做功.

⑶系统内除重力或弹簧弹力做功外，还有其他内力和外力做功，但这些力做功的代数和为里

(4)系统跟外界没有发生机械能的传递，系统内、外也没有机械能与其他形式的能发生转化.

i.机械能守恒判断的三种方法

利用机械能的定义直接判断，分析物体或系统的动能和势能的和是否

定义法

变化，若不变，则机械能守恒

若物体或系统只有重力或系统内弹力做功，或有其他力做功，但其他力

做功法

做功的代数和为零，则机械能守恒

若物体或系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式能

转化法

的转化，则机械能守恒

2.对机械能守恒条件的理解及判断

（1）机械能守恒的条件绝不是合外力的功等于零，更不是合外力为零；“只有重力或弹力

做功”不等于“只受重力或弹力作用”。

（2）对于一些绳子突然绷紧、物体间碰撞等情况，除非题目特别说明，否则机械能必定不

守恒。

（3）对于系统机械能是否守恒，可以根据能量的转化进行判断。严格地讲，机械能守恒定

律的条件应该是对一个系统而言，外力对系统不做功（表明系统与外界之间无能量交换），系统

内除了重力和弹力以外，无其他摩擦和介质阻力做功（表明系统内不存在机械能与其他形式能

之间的转换），则系统的机械能守恒。

例题1.下列对各图的说法正确的是（）

图1图2图3图4

A.图1中汽车匀速下坡的过程中机械能守恒

B.图2中卫星绕地球做匀速圆周运动时所受合外力为零，动能不变

C.图3中弓被拉开过程弹性势能减少了

D.图4中撑杆跳高运动员在上升过程中机械能增大

【答案】D

【解析】图1中汽车匀速下坡的过程中动能不变，重力势能减小，机械能减小，故A错

误：图2中卫星绕地球做匀速圆周运动时所受合外力提供向心力则不为0,勺速圆周运动速

度大小不变，则动能不变，故B错误；图3中弓被拉开过程橡皮筋形变增大，弹性势能增

大，故C错误；图4中撑杆跳高运动员在上升过程中杆对运动员做正功，其机械能增大，

故D正确。

忽略空气阻力，下列物体运动过程中满足机械能守恒的是（）

A.电梯匀速下降

B.物体由光滑斜面顶端滑到斜面底端

C.物体沿着斜面匀速下滑

D.拉着物体沿光滑斜面匀速卜.升

【答案】B

【解析】

电梯匀速下降，说明电梯处于受力平衡状态，并不是只有重力做功，机械能不守恒，所以

A错误；物体在光滑斜面上，受重力和支持力的作用，但是支持力的方向和物体位移的方向

垂直，支持力不做功，只有重力做功，机械能守恒，所以B正确；物体沿着斜面匀速下滑，

物体处于受力平衡状态，摩擦力和重力都要做功，机械能不守恒，所以C错误；拉着物体沿

光滑斜面匀速上升，物体处于受力平衡状态，拉力和重力都要做功，机械能不守恒，所以D

错误.

1（多选）如图所示，将一个内外侧均光滑的半圆形槽置于光滑的水平面上，槽的左

侧有一固定的竖直墙壁（不与槽粘连）.现让一小球自左端槽口A点的正上方由静止开始下落,

从A点与半圆形槽相切进入槽内，则下列说法正确的是（）

A.小球在半圆形槽内运动的全过程中，只有重力对它做功

B.小球从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，小球的机械能守恒

C.小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与半圆形槽组成的系统机械能守恒

D.小球从下落到从右侧离开半圆形槽的过程中，机械能守恒

【答案】BC

【解析】

当小球从半圆形槽的最低点运动到半圆形槽右侧的过程中小球对半圆形槽的力使半圆形槽

向右运动，半圆形槽对小球的支持力对小球做负功，小球的机械能不守恒，A、D错误；小球

从A点向半圆形槽的最低点运动的过程中，半圆形槽静止，则只有重力做功，小球的机械能

守恒，B正确；小球从A点经最低点向右侧最高点运动的过程中，小球与半圆形槽组成的系

统只有重力做功，机械能守恒，C正确.

单个物体的机械能守恒问题

项目表达式物理意义说明

反1+%=反2+Ep2初状态的机械能等于必须先选

从守恒的角度看

或EM=E求末状杰的机械能零势能面

B.物块与斜面间的动摩擦因数为0.5

C.物块下滑时加速度的大小为6.0m/s?

D.当物块下滑2.0m时机械能损失了12J

【答案】AB

【解析】由题图可得Epo=mg〃=3()J,其中〃=3m,则m=1kg,动能和重力势能之和减

小，机械能不守恒，故AJ?确；由题图可知，物块到达底端时动能为1OJ,由

可得0=2小m/s,由0?一。=2点得4=")‘°=2m/s?,故C错误；设斜面倾角为仇有

sin9=0.6,cos9=0.8,由牛顿第二定律有mgsin。一〃〃zgcos9=〃仆解得〃=0.5,故B正

确；下滑2.0m时，动能、重力势能之和为22J,故机械能损失8J,故D错误。

k多选)从地面竖直向上抛出一物体，其机械能£总等于动能反与重力势能及之

和。取地面为重力势能零点，该物体的E息和耳随它离开地面的高度力的变化如图所示。重

力加速度取lOmH。由图中数据可得()

A.物体的质量为2kg

B.，=0时，物体的速率为20m/s

C.(=2m时,物体的动能Ek=40J

D.从地面至〃=4m,物体的动能减少100J

【答案】AD

【解析】

根据题给图像可知力=4m时物体的重力势能机g/?=80J,解得物体质量m=2kg,抛出

时物体的动能Ek=100J,由动能公式可知〃=0时物体的速率。=10m/s,A正

确，B错误：由功能关系可知力=|AE]=2()J,解得物体上升过程中所受空气阻力f=5N,从

物体开始抛出至上升到力=2m的过程中，由动能定理有一m"-/7?=Ek—10()J,解得Ek=5()

J,C错误；由题给图像可知.物体上升到〃=4m时，机械能为80J,重力势能为80J,动

能为零，即物体从地面上升到/z=4m,物体动能减少100J,D正确。

不含弹簧的系统机械能守恒问题

1.解题思路

多个物体组成的系统

含弹费的系统

(选取研究对象》

含轻杆、轻绳的系统

[选取运动过程上对研究对象进行受力和做功情况分析

判断I机械能是否守恒

AEt=-AEp

(选襄达式£

A&=-A%

求解卜联立方程求解

2.三种模型

(1)轻绳模型

①分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等。

②用好两物体的位移大小关系或啜直方向高度变化的关系。

③对于单个物体，一般纯上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系统，机械能

则可能守恒。

(2)轻杆模型

①平动时两物体线速度相等，转动时两物体角速度相等。

②杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。

③对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则系统

机械能守恒。

(3)轻弹簧模型

①含弹簧的物体系统在只有弹簧弹力和重力做功时，物体的动能、重力势能和弹簧的弹

性势能之间相互转化，物体和弹筮组成的系统机械能守恒，而单个物体和弹筮机械能都不守

恒。

②含弹簧的物体系统机械能守恒问题，符合一般的运动学解题规律，同时还要注意弹簧

弹力和弹性势能的特点。

③弹簧弹力做的功等于弹簧弹性势能的减少量，而弹簧弹力做功与路径无关，只取决于

初、末状态弹簧形变量的大小。

④由两个或两个以上的物体与弹簧组成的系统，当弹簧形变量最大时，弹簧两端连接的

物体具有相同的速度；弹簧处于自然长度时，弹簧弹性势能最小（为零）。

例题3.质量均为〃7的物体A和8分别系在一根不计质量的细绳两端，绳子跨过固定在倾角为

30。的斜面顶端的定滑轮上，斜面固定在水平地面上，开始时把物体B拉到斜面底端，这时物

体A离地面的高度为0.8m,如图所示.若摩擦力均不计，从静止开始放手让它们运动.（斜

面足够长，物体A着地后不反弹，g取10m/s?）求：

⑴物体A着地时的速度大小；

⑵物体A着地后物体B继续沿斜面上滑的最大距离.

【答案】（l）2m/s（2）0.4m

【解析】

（1）以地面为参考平面，

A、B系统机械能守恒，

根据机械能守恒定律有mgh=mghsin3（）。+；/〃。，+：团加2

因为VA=VB,

所以。4=08=2m/s.

（2）A着地后，5机械能守恒，

则3上升到最大高度过程中,

有;〃30°

解得As=0.4m.

匕多选）如图所示，轻质动滑轮下方悬挂重物A、轻质定滑轮下方悬挂重物8,

悬挂滑轮的轻质细绳竖直。开始时，重物A、5处于静止状态，释放后A、8开始运动。已

知4、3的质量相等，重力加速度为g。摩擦阻力和空气阻力均忽略不计，滑轮间竖直距离

足够长。则下列说法正确的是（）

4臼产h

A.相同时间内，A、B位移大小之比为1:2

B.同一时刻，A、B加速度大小之比为1：1

C.同一时刻，A、B速度大小之比为1：1

D.当8下降高度〃时，8的速度大小为

【答案】AD

【解析】

由题可知，8下降位移是A上升位移的两倍，由公式x=%尸可知，8的加速度是A加速

度的两倍，故A正确，B错误；由速度公式v—at可知，由于5的加速度是A力。速度的两倍,

h

所以同一时刻，A的速度是6的一半，故C错误；当3下降高度〃时，A上升2，由机械能守

恒定律得mgh—"微=%通+%苏，又2。八=08,联立解得加=,故D正确。

如图所示，物体A的质量为何，圆环B的质量为〃?，由绳子通过定滑轮连接在

一起，圆环套在光滑的竖直杆卜.开始时连接阅环的绳子水平，长度/=4m.现从静I上释放

圆环，不计定滑轮和空气的阻力，g取10m/s2.若圆环下降〃=3m时的速度o=5m/s,则A

和B的质量关系为（)

nM7

m=29BW=9

「竺=型D”=比

C'm~25u'm19

【答案】A

【解析】

uh

圆环F降3m后的速度可以按如图所示分解,故可得办=vcos0=A、B和绳子

看成一个整体，整体只有重力做功，机械能守恒，当圆环下降/?=3m时，根据机械能守恒定

律可得"电万=加8角+]〃2。2+』3办2,其中他=/七+尸—联立可得丛=系，故A正确.

ZLYHlZ^y

II含弹簧的系统机械能守恒问题

例题4.（多选）如图所示，有质量为2/〃、〃?的小滑块P、。，，套在固定竖直杆上，。放在水平

地面上。P、。间通过较链用长为L的刚性轻杆连接，一轻弹簧左端与。相连，右端固定在

竖直杆上，弹簧水平，。=30。时，弹簧处于原长。当a=30。时，P由静止释放，下降到最低

点时。变为60。，整个运动过程中，P、Q始终在同一竖直平面内，弹簧在弹性限度内，忽略

一切摩擦，重力加速度为g。则P下降过程中（）

A.P、Q组成的系统机械能守恒

B.当a=45。时,P、。的速度相同

C.弹簧弹性势能最大值为（小一1）〃2gL

D.P下降过程中动能达到最大前，。受到地面的支持力小于3mg

【答案】CD

【解析】

对于P、。组成的系统，由于弹簧对。要做功，所以系统的机械能不守恒：但对P、Q、

弹簧组成的系统，只有重力或弹簧弹力做功，系统的机械能守恒，故A错误；当a=45。时，

根据P、Q沿轻杆方向的分送度相等得DCCOS45O=DPCOS45°,可得OP=OQ,但速度方向不

同，所以P、Q的速度不同，故B错误；根据系统机械能守恒可得EP=2/n^L（cos30°-cos60°）,

弹性势能的最大值为Ep=（#—1）〃?"，故C正确；尸下降过程中动能达到最大前，P加速下

降，对P、。整体，在竖直方向上根据牛顿第二定律有力〃g-N=2〃a则有N<3〃?g,故D正

确。

G国6@（多选）如图所示，一根轻弹簧一端固定在。点，另一端固定一个带有孔的小球，

小球套在固定的竖直光滑杆上，小球位于图中的A点时，弹簧处于原长，现将小球从A点由

静止释放，小球向下运动，经过与A点关于8点对称的。点后，小球能运动到最低点。点,

0B垂直于杆，则下列结论正确的是（）

A.小球从A点运动到。点的过程中，其最大加速度一定大于重力加速度g

B.小球从8点运动到。点的过程，小球的重力势能和弹簧的弹性势能之和可能增大

C.小球运动到。点时，重力对其做功的功率最大

D.小球在D点时弹簧的弹性势能一定最大

【答案】AD

【解析】

在B点时，小球的加速度为g,在间弹簧处于压缩状态，小球在竖直方向除受重力外还

有弹簧弹力沿竖直方向向下的分力，所以小球从A点运动到。点的过程中，其最大加速度一

定大于重力加速度g,故A正确；由机械能守恒定律可知，小球从B点运动到C点的过程,

小球做加速运动，即动能增大，所以小球的重力势能和弹簧的弹性势能之和一定减小，故B

错误；小球运动到C点时，由于弹簧的弹力为零，合力为重力G,所以小球从。点往下还会

加速一段，所以小球在。点的速度不是最大，即重力的功率不是最大，故C错误；。点为小

球运动的最低点，即速度为零，弹簧形变量最大，所以小球在。点时弹簧的弹性势能最大，

故D正确.

I如图所示，在倾角为9=30。的光滑斜面上，一劲度系数为2=200N/m的轻质弹

簧一端固定在挡板。上，另一端连接一质量为〃?=4kg的物体A,一轻细绳通过定滑轮，

端系在物体A上，另一端与质量也为〃?的物体8相连，细绳与斜面平行，斜面足够长，8距

地面足够高.用手托住物体8使绳子刚好伸直且没有拉力，然后由静止释放.取重力加速度

g=10m/s2.求：

⑴弹筮恢复原长时细绳上的拉力大小：

⑵物体A沿斜面向上运动多远时获得最大速度；

⑶物体A的最大速度的大小.

【答案】(1)3ON(2)20cm(3)1m/s

【解析】

(1)弹簧恢复原长时，

对B:mg-FT=ma

对A:FT—ingsin30°=ma

代入数据可求得：FT=30N.

⑵初态弹簧压缩量XI="咯s?3。=]ocm

当A速度最大时有FT'=，〃g=^2+，〃gsin30°

猫第人mgfgsin30。

弹黄伸长至X2=---j------=1()cm

所以4沿斜面向上运动xi+/2=20cm时获得最大速度.

(3)因X\=X2,

故弹簧弹性势能的改变量A£p=()

由机械能守恒定律有

，〃式M+x2)-+x2)sin30°=/x2，〃/

解得v=1m/s.

貂隔境综合摆开练

1.如图所示，小球从高处下落到竖直放置的轻弹簧上，弹簧一直保持竖直，空气阻力不计,

那么小球从接触弹簧开始到将弹簧压缩到最短的过程中，下列说法中正确的是()

O

A.小球的动能一直减小

B.小球的机械能守恒

C.克服弹力做功大于重力做功

D.最大弹性势能等于小球减少的动能

【答案】C

【解析】

小球开始下落时，只受重力作用做加速运动，当与弹簧接触时，受到弹簧弹力作用，开始

时弹簧压缩量小，因此重力大于弹力，速度增大，随着弹簧压缩量的增加，弹力增大，当重

力等于弹力时，速度最大，然后弹簧继续被压缩，弹力大于重力，小球开始做减速运动，所

以整个过程中小球加速后减速，根据Ek=3?",动能先增大然后减小，故A错误；在向下运

动的过程中，小球受到的弹力对它做负功，小球的机械能不守恒，故B错误；在向下运动过

程中，重力势能减小，最终小球的速度为零，动能减小，弹簧的压缩量增大，弹性势能增大，

根据能量守恒定律，最大弹性势能等于小球减少的动能和减小的重力势能之和，印克服弹力

做功大于重力做功，故D错误，C正确.

2.在如图所示的物理过程示意图中，甲图为一端固定有小球的轻杆，从右偏上30。角释放后

绕光滑支点摆动；乙图为末端固定有小球的轻质直角架，释放后绕通过直角顶点的固定轴。

无摩擦转动；丙图为轻绳一端连着一小球，从右偏上30。角处自由释放；丁图为置于光滑水平

面上的带有竖直支架的小车，把用细绳悬挂的小球从图示位置释放，小球开始摆动。则关于

这几个物理过程（空气阻力忽略不计），下列判断正确的是（）

用7.丙

A.甲图中小球机械能守恒

B.乙图中小球A机械能守恒

C.丙图中小球机械能守恒

D.丁图中小球机械能守恒

【答案】A

【解析】甲图过程中轻杆对小球不做功，小球的机械能守恒，A正确；乙图过程中轻杆对A

的弹力不沿杆的方向，会对小球做功，所以小球A的机械能不守恒，但两个小球组成的系统

机械能守恒，B错误；丙图中小球在绳子绷紧的瞬间有动能损失，机械能不守恒，C错误；

丁图中小球和小车组成的系统机械能守恒，但小球的机械能不守恒，这是因为摆动过程中小

球的轨迹不是圆弧，细绳会对小球做功，D错误。

3.（多选）如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是（）

\wwvy

甲乙丙丁

A.甲图中，物体A将弹能压缩的过程中，A机械能守恒

B.乙图中，A置于光滑水平面，物体B沿光滑斜面下滑，物体B机械能守恒

C.丙图中，不计任何阻力时A加速下落，B加速上升过程中，A、B组成的系统机械能

守恒

D.丁图中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小球的机械能守恒

【答案】CD

【解析】甲图中重力和弹簧弹力做功，系统机械能守恒，但弹簧的弹性势能增加，A的机械

能减少，A错误；乙图中B物体下滑，B对A的弹力做功,A的动能增加，3的机械能减

少，B错误；丙图中A、8组成的系统只有重力做功，机械能守恒，C正确；丁图中小球受

重力和拉力作用，但都不做功，小球动能不变，机械能守恒，D正确。

4.（多选）如图甲所示，轻弹簧竖直固定在水平地面上，f=0时刻，将一金属小球从弹簧正上方

某一高度处由静止释放，小球落到弹簧上压缩弹簧到最低点，然后又被弹起离开弹簧，上升

到一定高度后再下落，如此反复过程中弹簧的弹力大小尸随时间，的变化关系如国乙所示.不

计空气阻力，则（）

o

i

M

-

O11(2G

甲乙

A.八时刻小球的速度最大

B.12时刻小球所受合力为零

C.以地面为零重力势能面，力和力时刻小球的机械能相等

D.以地面为零重力势能面，力至13时间内小球的机械能先减小后增加

【答案】CD

【解析】

小时刻小球刚与弹簧接触，与弹簧接触后，先做加速度不断减小的加速运动，当弹力增大到

与重力相等时，加速度减为零，此时速度达到最大，故A错误；力时刻，弹力最大，故弹簧

的压缩量最大，小球运动到最低点，速度等于零，加速度竖直向上，故12时刻小球所受合力

不为零，故B错误；以地面为零重力势能面，力和，3时刻弹力为零，则弹簧处于原长，弹性

势能为零，则在这两个时刻小球的机械能相等，故C正确；以地面为零重力势能面，刀至A

时间内，弹簧的长度从原长到压缩至最短又回到原长，则弹性势能先增大后减小，根据小球

和弹簧组成的系统机械能守恒，可知小球的机械能先减小后增大，故D正确.

5.水上乐园有一末段水平的滑梯，人从滑梯顶端由静止开始滑下后落入水中.如图所示，滑

梯顶端到末端的高度"=4.0m,末端到水面的高度力=1.0m.取重力加速度女=10m/s2,将

人视为质点，不计摩擦和空气阻力.则人的落水点到滑梯末端的水平距离为（）

A.4.0mB.4.5mC.5.0mD.5.5m

【答案】A

【解析】

人从滑梯由静止滑到滑梯末端速度为之根据机械能守恒定律可知〃吆〃=；而/，解得

4*m/s,从滑梯末端水平飞出后做平抛运动，竖直方向做自由落体运动，根据力=见於可知

0s=\gs,水平方向做匀速直线运动，则人的落水点距离滑梯末端的水

平距离为x=U=44X、6m=4.0m,故选A.

6.如图所示，可视为质点的小球A、8用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上、半

径为R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍.当B位于地面上时，A恰与圆柱轴心等高.将A

由静止释放，B上升的最大高度是（）

A.2R

【答案】C

【解析】

设8球的质量为〃2,则A球的质量为2〃z,A球刚落地时，两球速度大小都为。，根据机

械能守恒定律得2mgR=JX（2〃z+J"）/+mgR,3球继续上升的过程由动能定理可得一mgh=

1/?4

0—5J,加，联立解得力J=彳，8球上升的最大高度为/?+JR=QR,故选C.

7.如图所示，半径R=0.5m的光滑半圆环轨道固定在竖直平面内，半圆环与光滑水平地面相

切于圆环最低端点A。质量〃2=1kg的小球以初速度a=5m/s从A点冲上竖直圆环，沿轨道

运动到4点飞出，最后落在水平地面上的。点，g取10m/s2,不计空气阻力。

B

C-

(1)求小球运动到轨道末端B点时的速度VBo

(2)求A、C两点间的距离人

(3)若小球以不同的初速度冲上竖直圆环，并沿轨道运动到B点飞出，落在水平地面上。

求小球落点与A点间的最小距离Xmino

【答案】(1mm/s(2)1m(3)1m

【解析】(1)对小球从A到B过程由机械能守恒定律得%加7g-2R

解得切3=小m/s;

(2)对小球由平抛规律得2R=^gt2

X=VBt

解得x=lm;

(3)设小球运动到B点时半圆环轨道对小球的压力为FN

小球做圆周运动有尺+加且=

得当斥=0时，小球运动到轨道末端3点时的速度最小08min=,m/s

由(2)的计算公式可知，最小距离Xmin=X=1m。

8.如图所示，竖直平面内由倾角。=60。的斜面轨道4B、半径均为R的半圆形细圆管轨道

8CQE和卷圆周细圆管轨道EFG构成一游戏装置固定于地面，B、E两处轨道平滑连接，轨道

所在平面与竖直墙面垂直.轨道出口处G和圆心。2的连线，以及。2、E、Oi和8等四点连

成的直线与水平线间的夹角均为8=30。，G点与竖直墙面的距离1=小凡现将质量为m的小

球从斜面的某高度/?处静止野放.小球只有与竖直墙面间的碰撞可视为弹性碰撞，不计小球

大小和所受阻力.

⑴若释放处高度/2=瓦，当小球第一次运动到圆管最低点。时，求速度大小8：

⑵求小球在圆管内与圆心Oi点等高的。点所受弹力FN与〃的关系式；

⑶若小球释放后能从原路返回到出发点，高度h应该满足什么条件？

【答案】见解析

【解析】

(1)从A到C,小球的机械能守恒，有

可得vc=yl2gho

⑵小球从A到。，由机械能守恒定律有

1)

mg(h—R)=2>nvD~

2

根据牛顿第二定律有FN=喈-

H

联立可得RN=2〃2g(弥一1)

满足的条件〃2R

⑶第1种情况：不滑离凯道原路返回，由机械能守恒定律可知，此时力需满足的条件是

〃WR+3Rsin0=^