2024年高考数学交集和并集知识点解析

2024年高考数学备战交集和并集知识点解析

并集

已知下列集合：

力=3/-1=0},6={无£N|lWxW4},C={-1,1

问题1：集合人与集合力各有几个元素？

提示：力={-1,1},笈={1,2,3,4},即集合/有2个元

B有4个元素.

问题2：若将集合Z与集合方的元素放在一起，构J

的集合是什么？

提示：{—1,12,3,4}.

问题3：集合C中的元素与集合4方有什么关系？

提示：集合C中元素属于集合力或属于集合氏

并集的概念:

一般地，由所有属于集合/或属于集合笈t

文字

成的集合，称为集合力与乃的并集，记作出

语言

“研夕')

符号

，负噌｝

.、•一AU6=fx|xGZG

五3S

图形

、：JCT—一

语三

并集的性质:

(iyun="Ji,即两个集合的并集满足交换律.

(2)ZLU=d，即任何集合与其本身的并集等于这个唉

(3)ZU。=。LU=且任何集合与空集的并集等于这个嗦

(4)/mu©,即任何集合都是该集合

合并集的子集.

(5)若4旦5,则/U5=互，反之也成立，即任何集合

的并集，等于这个集合本身.

疑难解析：

理解并集应关注三点

(1)/U6仍是一个集合，由所有属于力或属于5的R

⑵“或”的数学内涵的形象图示如下：

4日,或，£8

①②③

且与任〃且%且4cA

(3)若集合力和6中有公共元素，根据集合元素的工

在中仅出现一次.

交集

(取G"8G即两个集合的交集满足交换春

(2)力02=即任何集合与其本身的交集等于

本身.

(3)4G0=0门力=上，即任何集合与空集的交集名

(4)力门8三/,力门56，即两个集合的交集是手

合的子集.

(5)若则/nj5=4,反之也成立，即若/

集，则力，B的公共部分是4

疑难解析

理解交集的概念应关注四点

(1)概念中"且"即"同时"的意思，两个集合交集中的元素必须同时

是两个集合的元素.

(2)概念中的"所有"两字不能省，否则将会漏掉一些元素，一定要将

相同元素全部找出.

(3)当集合/和集合8无公共元素时，不能说集合4,8没有交集,而

是AC\8=0.

(4)定义中，且B"与"x£(/n8)”是等价的，即由既属于力，

又属于8的元素组成的集合为/ns而只属于集合/或只属于集合B

的元素，不属于AC\B.

并集的运算

[例1]

(1)(广东高考)已知集合M={-1,0,1},/V=(0,1,2},则A4U/V=()

A.{-1,0,1)

B.{-1,0,1,21

C.{-1,0,2)

D.{011}

(2)若集合A={x\x>-1}.B={x\-2<x<2},则ZU8等于()

A.{x\x>-2}

B.{x\x>-1}

C.{x\-2<x<-1]

D.{x[T<x<2}

［解析］

(l)MUN表示属于M或属于N的元素构成的集合，故MUN={-

101,2}.

(2)画出数轴如图所示，故AUB={x|x>-2}.

BJ不

-2-12%

［答案］(1)B(2)A

并集的运算技巧

(1)若集合中元素个数有限，则直接根据并集的定义求解，但要注意集

合中元素的互异性.

(2)若集合中元素个数无限，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要

注意是否去掉端点值.

练习：

若集合A二{1,4,x},B={1,x2},AUB={1,4,x},则满足条件的实

数乂有()

A.1个

B.2个

C.3个

D.4个

解析：从AUB={1,4,X}看它与集合A,B元素之间的关系，可以发

现AUB=A，从而B是A的子集，则x2=4或x2=x,解得x=±2或

1或0.当x=±2时，符合题意；当x=1时，与集合元素的互异性相矛

盾(舍去)；当x=0时，符合题意.因此x=±2或0.

答案：C

交集的运算

[例2](1)(北京高考)已知集合A={-1,0,1},B={x|-l<x<1}，则A

nB=()

A.{0}

B.{-1,0}

C.{0,1}

D.{-1,0,1)

(2)设集合A={x|-l<x<2},B={x|0<x<4},则AAB等于()

A.{x|0<x<2}

B.{x|l<x<2}

C.{x|0<x<4}

D.{x|l<x<4}

［解析］⑴集合片含有整数一1,0,

(2)在数轴上表示出集合力与如下图.

则由交集的定义，/n6={x|0〈xW2}.

［答案］(1)B(2)A

交集的运算技巧

求交集运算应关注两点：

(1)求交集就是求两集合的所有公共元素形成的集合.

(2)利用集合的并、交求参数的值时，要检验集合元素的互异性.

交集、并集性质的应用

［例3］已知集合力={x\—3"W4},集合6={x|A+1：

1},且/U5=/,试求A的取值范围.

［解］；4U4=力，二分5二0和5W。两手

①当5=0时，A+1>2A-1,：.k<2.

②当5W。，则根据题意如图所示：

,II-

-34+12k~14x

A+1W2JI-L

根据数轴可得一34+1,解得24，

2A—1W4,

综合①②可得k的取值范围是卜必w|}.

性质应用技巧

并集、交集的性质应用技巧：

对于涉及集合运算的问题，可利用集合运算的等价性（即若AUB=A,

则BcA,反之也成立；若AC1B=B,则BcA,反之也成立），转化为相

关集合之间的关系求解.

把本例中的条件aAUB=A^换为aAC\B=A^,求

解：9

：AHB=A9:.AQB.

又・・・力=国一34W4},6二{M〃+lWxW2〃一1},可知

R+1&—3,

由数轴（如图所示）可知2攵_1三%解得左

A+1-3424-14

即当力nB=z时，大的取值范围为。.

本节易错题：

预警：含字母的集合运算忽视空集或检验

［典例］

(1)已知M={2,a2-3a+5,5},N={1,a2-6a+10,3}^MAN={2,3},

则a的值是()

A.1或2

B.2或4

C.2

D.1

(2)已知集合A二{x|x2-3x+2=0},B={x|x2-2x+a-1=0},若AD

B=B,则a的取值范围为________.

［解析］

(l)-.-MnN={2,3}/.a2-3a+5=3;a=1或2.当a=1时，N={1,5,3},

M={2,3,5}不合题意；当a=2时，N={L2,3},M={2,3,5}符合题意.

(2)由题意,得A={1,2}.-.AnB=B,

.•.当B=。时，(-2)2-4(a-1)<0,解得a>2;

当1£B时，1-2+a-1=0,解得3=2,且此时8二{1},符合题意；

当2£8时，4・4+合-1=0，解得a=1，此时B:{0,2},不合题意.综

上所述，a的取值范围是{a|aN2}.

［答案］(1)C(2){a|a>2)

设集合必二区一2«v5},N={x\2-«x<2t^l9，WR}.

=N,则实数，的取值范围为.

解析：由MGN=N,得.故当N=。，即2/+1W2-

时，MAN=N成立；当N#。时，由图得

V,、、

-6・b△8•

-22-t2:+15”

2—r<2r+L

<2f+l<5