绵阳南山中学2023年三月月考数学(理科)试题含答案解析

2023年3月第第页绵阳南山中学2023年春三月月考数学（理科）试题命题人：石智文审题人：青树国（时间：120分钟分值：150分）注意事项：答卷前，考生务必将自己的班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将考号准确填涂在答题卡“栏目”内.回答选择题时，选出每小题答案后，考生用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.考试结束后，将答题卡交回.选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若，则在复平面内，复数所对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限2．已知集合，，则（

）A． B． C． D．3．等比数列的前n项和为，已知，=9，则=（

）A． B． C． D．4．某车间从生产的一批产品中随机抽取1000个零件进行质量指标的检测，整理检测结果得此项质量指标的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是（

）A．B．估计这批产品该项质量指标的众数为45C．估计这批产品该项质量指标的中位数为60D．从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在的概率约为0.55．为得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（

）A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度6．蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建设和搬迁很方便，适用于牧业生产和游牧生活.小明对蒙古包非常感兴趣，于是做了一个蒙古包的模型，其三视图如图所示，现在他需要买一些油毡纸铺上去（底面不铺），则至少要买油毡纸（

）A．0.99π B．0.9πC．0.66π D．0.81π2023年1月底，由马斯克、彼得泰尔等人创立的人工智能研究公司openAI发布的名为“ChatGTP”的人工智能聊天程序进入中国，迅速以其极高的智能化水平引起国内关注.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为，则学习率衰减到以下（不含）所需的训练迭代轮数至少为（

）（参考数据：）A．72 B．74 C．76 D．788．如图所示，，是双曲线：的左、右焦点，过的直线与的左、右两支分别交于A，两点．若，则双曲线的离心率为（

）A.B.C.D．9．已知，则（

）A． B． C． D．10．函数是（）A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为11．若函数满足对一切实数恒成立，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．12．如图，在三棱锥中，平面，，，M为中点，H为线段上一点（除的中点外），且.当三棱锥的体积最大时，则三棱锥的外接球表面积为（

）A． B．C． D．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量，，且，则t=____.14．已知等差数列的前n项和为，若，，则_______.15.已知函数，若对任意正数，当时，都有成立，则实数m的取值范围是_________．16．已知抛物线，其焦点为点，点是拋物线上的动点，过点作直线的垂线，垂足为，则的最小值为___________.解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.必考题：共60分.（12分）第24届冬季奥运会于2022年2月在北京和张家口举办，为了普及冬奥知识，京西某校组织全体学生进行了冬奥知识答题比赛，从全校众多学生中随机选取了20名学生作为样本，得到他们的分数统计如下：分数段[30，40）[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]人数1228331我们规定60分以下为不及格；60分及以上至70分以下为及格；70分及以上至80分以下为良好；80分及以上为优秀.（1）从这20名学生中随机抽取2名学生，恰好2名学生都是优秀的概率是多少？（2）将上述样本统计中的频率视为概率，从全校学生中随机抽取2人，以X表示这2人中优秀人数，求X的分布列与期望.18．（12分）在①，②，③的面积为，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且______．(1)求角A；(2)若，的内切圆半径为，求的面积．19．（12分）如图甲，在矩形中，为线段的中点，沿直线折起，使得，如图乙.(1)求证：平面；(2)线段上是否存在一点，使得平面与平面所成的角为？若不存在，说明理由；若存在，求出点的位置.20．（12分）已知函数，．(1)讨论函数的单调性；(2)若，且关于的不等式在上恒成立，其中是自然对数的底数，求实数的取值范围．21.（12分）椭圆的离心率为，右顶点为A，设点O为坐标原点，点B为椭圆E上异于左、右顶点的动点，面积的最大值为．(1)求椭圆E的标准方程；(2)设直线交x轴于点P，其中，直线PB交椭圆E于另一点C，直线BA和CA分别交直线l于点M和N，若O、A、M、N四点共圆，求t的值．选考题:共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知正实数满足．(1)求的最小值；(2)当取得最小值时，的值满足不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．绵阳南山中学2023年春3月月考数学（理科）试题答案选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.1—5ABCCD6—10DBCAC11—12CB11题解析【详解】由，对上式求导可得，即，所以关于对称，因为，所以图像的开口向上，对称轴为，由，得，解得.故选：C.12题解析【详解】在中，因为M为中点，故，且，因为，，所以平面，故，又因为，所以平面，因此，故平面，三棱锥的体积等于三棱锥的体积，即只需底面面积最大即可.因为，则，故，当且仅当时取等号.在中，，故，过点C作，取，的中点T，N，连接，，过点T作的平行线交于点O.由平面知平面.又平面，故平面.因此O为三棱锥的外接球的球心，由，因为，所以，故，即三棱锥的外接球表面积为.故选：B填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.14.5015.16.16题解析：【详解】将已知直线化为，当时，可确定直线过定点，记为M点.∵过点F做直线的垂线，垂足为Q，∴直线，即，故Q点的轨迹是以FM为直径的圆，半径，其圆心为FM的中点，记为点H，∴，∵P在抛物线上，其准线为，∴等于P到准线的距离.过P作准线的垂线，垂足为R.要使取到最小，即最小，此时R、P、Q三点共线，且三点连线后直线RQ过圆心H.如图所示，此时.故答案为：解答题：共70分.（一）必考题：60分（12分）解：（1）记恰好2名学生都是优秀的事件为，则.（2）抽到一名优秀学生的概率为，X的取值为，,,,故X的分布列为：

18．（12分）解：（1）若选①，由及正弦定理，得，即，即，所以，因为,所以，所以，又,所以．若选②，由，得，∴，因为,所以，当时，不存在，所以，又,所以．若选③，因为的面积为，所以，即，所以，又,所以．（2）由（1）知，，∵内切圆半径为，∴，即，由余弦定理，得，即，所以，联立，得，解得，所以．19．（12分）解：（1）证明：连接，取线段的中点，连接，在Rt中，，，在中，，由余弦定理可得：，在中，，又平面，平面，又平面∴平面平面，在中，，∵平面平面平面，平面.（2）过作的平行线，以为原点，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，，平面的法向量，在平面直角坐标系中，直线的方程为，设的坐标为，则，设平面的法向量为，，所以，令，则，由已知，解之得：或9（舍去），所以点是线段的中点.（12分）解：（1）根据题意可知的定义域为，，令，得．当时，时，，时；当时，时，，时．综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减．（2）依题意，，即在上恒成立，令，则．对于，，故其必有两个零点，且两个零点的积为，则两个零点一正一负，设其正零点为，则，即，且在上单调递减，在上单调递增，故，即．令，则，当时，，当时，，则在上单调递增，在上单调递减，又，故，显然函数在上是关于的单调递增函数，则，所以实数的取值范围为．(12分)解：（1）由题意，设椭圆半焦距为c，则，即，得，设，由，所以的最大值为，将代入，有，解得，所以椭圆的标准方程为；（2）设，因为点B为椭圆E上异于左、右顶点的动点，则直线BC不与x轴重合，设直线BC方程为，与椭圆方程联立得，，可得，由韦达定理可得，直线BA的方程为，令得点M纵坐标，同理可得点N纵坐标，当O、A、M、N四点共圆，由相交弦定理可得，即，，由，故，解得．（二）选考题:共10分.22.（10分）（1）（1）∵C1的参数方程为∴（x－4）2＋（y－5）2＝25（cos2t＋sin2t）＝25，即C1的直角坐标方程为（x－4）2＋（y－5）2＝25