浙江省浙东北联盟2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江省浙东北联盟2024-2025学年高二上学期期中联考数学试卷考生须知：1.本卷共6页满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级､姓名､考场号､座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】直线的方程为，即，所以直线的斜率，设倾斜角为，则，因为，所以.故选：B.2.双曲线的焦距为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】在双曲线中，，，，所以焦距为．故选：B．3.已知点为圆：外一动点，过点作圆的两条切线，，切点分别为，，且，则动点的轨迹方程为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】设，因为，与圆相切，所以，，，，又，所以四边形为正方形，所以，则，即动点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，所以动点的轨迹方程为．故选：A．4.古希腊的几何学家用一个不过顶点的平面去截一个圆锥，将所截得的不同的截口曲线统称为圆锥曲线.如图所示的圆锥中，为底面圆的直径，为中点，某同学用平行于母线且过点的平面去截圆锥，所得截口曲线为抛物线.若该圆锥的高，底面半径，则该抛物线焦点到准线的距离为（）A.2 B. C. D.4【答案】B【解析】因为M是PB的中点，O是AB的中点，则，，截圆锥的平面平行于母线PA且过母线PB的中点M，故O也在截面上，根据对称性可知抛物线的对称轴为，焦点在上，建立以M为原点，为x轴，过M点的垂线为y轴，设抛物线与底面交点为E，则，设抛物线为，则，解得，即该抛物线焦点到准线的距离为p，即为.故选：B.5.如图，在平行六面体中，，，，点P在上，且，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，.故选：A6.我国著名数学家华罗庚曾经说过：“数形结合百般好，隔离分家万事休.”事实上有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决,根据上述观点,当取得最小值时，实数的值为（）A. B.3 C. D.4【答案】C【解析】，表示平面上点与点，的距离和，连接，与轴交于，此时直线方程为，令，则的最小值为，此时故选：C．7.已知曲线，则下列结论中错误的是（）A.曲线关于直线对称B.曲线与直线无公共点C.曲线上的点到直线的最大距离是D.曲线与圆有三个公共点【答案】C【解析】A选项，点满足直线对称的对称点是，将点代入得，整理得，所以曲线关于直线对称，A选项正确.B选项，联立，将代入，得，所以曲线与直线无公共点，B选项正确.下面分析曲线的图象：曲线，当时，曲线方程可化为；当时，曲线方程可化为，不符合.当时，曲线方程可化为；当时，曲线方程可化为.由此画出曲线的图象如下图所示，对于C选项，由于可知，曲线上的点到直线的最大距离是，即圆弧（）的半径，所以C选项错误.对于D选项，圆的圆心为，半径是，与圆弧（）的圆心距为，所以圆与圆相内切，切点为.结合图象可知曲线与圆有三个公共点，D选项正确.故选：C8.已知是椭圆的左､右焦点，直线与椭圆相切于点，过左焦点作直线的垂线，垂足为，则点与原点之间的距离为（）A. B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】直线的斜率显然存在，所以设直线的方程为，即，联立方程组，消去，得，因为直线与椭圆相切于点，所以，整理得，解得，所以切线方程为，由椭圆，可得，所以，可得左焦点，所以过左焦点与直线的垂直的直线方程为，联立方程组，解得，所以，所以点与原点之间的距离为.故选：B.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9.已知，，，则（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】A：，所以，A正确；B：，所以，B错误；C：，，所以，C正确；D：，不存在实数，使得，故与不平行，D错误．故选：AC．10.已知直线，直线，则下列命题正确的有（）A.直线恒过点 B.直线的斜率一定存在C.若，则或 D.存在实数使得【答案】AD【解析】将点代入直线中可得等号成立，所以直线恒过点，故A正确；当时，直线的斜率不存在，故B错误；当时，，解得或，当时直线即与直线重合，故，所以，故C错误；当时，，，此时，故D正确．故选：AD．11.已知抛物线，点，过点的直线交抛物线与两点，设，，下列说法正确的有（）A. B.的最小值为C.以为直径的圆过原点 D.【答案】ABD【解析】对于A,设直线的方程为，则由，消去整理，得，因为直线交抛物线与两点，设，，所以，，故A正确.对于B,，m=0时等号成立，故B正确.对于C,如果以为直径的圆过原点，则.由于，，结合A选项，，故不垂直.故C不正确.对于D.,即，故D正确.故选：ABD.非选择题部分三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知与圆：和圆：都相切的直线有且仅有两条，则实数的取值范围是________．【答案】【解析】圆：的圆心，半径，圆：的圆心，半径，因为与圆：和圆：都相切的直线有且仅有两条，所以两圆相交，则，即，解得，所以实数的取值范围是.故答案为：.13.已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是______．【答案】【解析】向量在向量上的投影向量等于，故答案为：.14.已知双曲线，斜率为的直线与曲线的两条渐近线分别交于两点，点的坐标为，直线分别与渐近线交于，若直线的斜率也为，则双曲线的离心率为__________.【答案】【解析】设双曲线的渐近线为，且，直线，直线，联立方程，解得，不妨令，同理可得：，，，且，则，因为三点共线，则，则，整理可得，同理由三点共线可得，即，整理可得，因，即，则，解得，即，所以双曲线的离心率.故答案为：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知点，圆；（1）若直线过点且在坐标轴上的截距之和为0，求直线的方程；（2）过点的直线与圆交于两点，且，求直线的方程.解：（1）①当的截距均为0，即直线过原点时，设直线的方程为：代入点，解得，直线的方程为；②当截距不为0时，设直线的方程为：，点入点，解得，直线的方程为；综上所述，直线的方程为或.（2）且圆的半径为2，圆心到直线的距离为1.①当直线的斜率不存在时，直线的方程为：，符合题意；②当直线的斜率存在时，设直线方程为：即，又圆心到直线距离为解得，直线的方程为：；综上所述，直线的方程为或.16.如图，在棱长都为2的平行六面体中，，点在底面上的投影恰为与的交点；（1）求点到平面的距离；（2）求直线与平面所成角的正弦值.解：（1）由题意可知，底面为菱形，可得，依题意两两垂直，故以点为坐标原点，以为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，如下图所示：易知；设平面的法向量为n=x,y,z，则即，据此可得平面的一个法向量为：，又易知,点到平面的距离.（2）设直线与平面所成角为，平面的法向量为，又,则即，据此可得平面的一个法向量为，又,因此，故直线与平面所成角的正弦值为.17.如图，在四棱锥中，平面，，点在线段上，且.（1）求二面角的余弦值；（2）在线段上是否存在一点，使得四点共面.若存在，求的值；若不存在，请说明理由.解：（1）因为平面，以点为坐标原点，平面内与垂直的直线为轴，方向为轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，易知：，由可得点的坐标为，由可得，设平面的法向量为：m=x,y,z则，据此可得平面的一个法向量为：，很明显平面的一个法向量为，，二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为.（2）已知，设由，可得，则，由（1）得平面的一个法向量为：，令，即，解得，故线段上存在一点，当时，可使四点共面.18.已知双曲线C:x2a2-y（1）求双曲线的方程；（2）设点为的左顶点，若过点的直线与的右支交于两点，且直线与轴分别交于两点，记四边形的面积为的面积为，求的取值范围.解：（1）由题意可知，的一条渐近线方程为，右焦点为，右焦点到渐近线的距离，解得，由离心率，又，解得，双曲线的方程为.（2）设直线的方程为：，联立，恒成立，，直线与双曲线的右支交于两点，，解得.，.19.在平面直角坐标系中，有点.若以轴为折痕，将直角坐标平面折叠成互相垂直的两个半平面（如图所示），则称此时点在空间中的距离为“点关于轴的折叠空间距离”，记为.（1）若点在平面直角坐标系中的坐标分别为，求的值.（2）若点在平面直角坐标系中的坐标分别为，试用文字描述满足的点在平面直角坐标系中的轨迹是什么？并求该轨迹与轴围成的图形的面积.（3）若在平面直角坐标系中，点是椭圆上一点，过点的两条直线，分别交椭圆于两点，且其斜率满足，求的最大值.解：（1）如图建立空间直角坐标系，则点在空间中的坐标分别为，；；（2）由题意可知，点在空间中的坐标分别为，对点分类讨论，①当点在轴的上半平面，即时，点在空间中的坐标为，，化简得：，因此在平面直角坐标中，点在轴上半平面的轨迹为以为圆心，以1为半径的半圆.②当点在轴的下半平面，即时，点在空间中的坐标为