浙江省台州市十校联盟2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江省台州市十校联盟2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试题考生须知：1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字.3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效.4.考试结束后，只需上交答题纸.选择题部分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为直线，即所以，且

所以故选:D.2.已知直线的一个方向向量为，直线的一个方向向量为，若，则（）A. B.3 C.6 D.9【答案】A【解析】设直线的方向向量，直线的方向向量，由于，所以，因此可得：，解得：.故选：A3.若点在圆的内部，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为点在圆的内部，所以，即，解得，实数的取值范围是，故选：A.4.空间四边形中，，，，点在上，且为中点，为中点，则等于（）A. B.C. D.【答案】B【解析】根据题意画出如图所示的空间四边形由图可知故选：B5.已知圆经过，两点，且圆心在直线，则圆的标准方程是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】设圆心为，由题意得，即，解得，故圆心，半径为，故圆的标准方程为.故选：C6.方程表示椭圆的充要条件是（）A. B.C. D.或【答案】D【解析】方程表示椭圆，则，解得，且，反之，当，且时，方程表示椭圆，所以方程表示椭圆的充要条件是或.故选：D7.如图所示，正方体的棱长为1，点，，分别为，，的中点，则下列说法正确的是（）A.直线与直线垂直 B.三棱锥的体积为C.直线与平面平行 D.直线与平面所成的角为【答案】C【解析】在棱长为的正方体中，建立为原点，以，，所在的直线为轴，轴，轴的空间直角坐标系，如图所示：因为，，分别为、、的中点，则A1,0,0，，，，，；对于A选项，，，由于，因此直线与直线不垂直，故A选项错误；对于C选项，，，设平面的法向量为，则，令，则，因为，所以，所以，因为直线在平面外，所以直线与平面平行，故C选项正确；对于D选项，，设直线与平面所成的角为，，故D选项错误；对于B选项，，又因为在正方体中，底面，所以，故B选项错误.故选：C8.已知是椭圆的两个焦点，是椭圆上任意一点，过引的外角平分线的垂线，垂足为，则与短轴端点的最近距离为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设F1Q的延长线交F2P的延长线于点M，则由题意知∵∴由题意知OQ是△F1F2M的中位线,∴∴Q点的轨迹是以O为圆心，以6为半径的圆∴当点Q与y轴重合时，Q与短轴端点取最近距离故选：C．二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在空间直角坐标系中，点O0,0,0，，，下列结论正确的有（）A.B.向量与的夹角的余弦值为C.点关于轴的对称点坐标为D.直线的一个方向向量【答案】BCD【解析】对于A选项，由于，，根据空间两点距离公式可得：.故A选项错误；对于B选项，，，设向量与向量的夹角为，则，故B选项正确；对于C选项，点关于轴的对称点坐标为，故C选项正确；对于D选项，易知，由于，得：，因此是直线的一个方向向量，故D选项正确.故选：BCD10.已知直线的倾斜角等于，且经过点，则下列结论中正确的是（）A.的一个方向向量为 B.在轴上的截距等于C.与直线垂直 D.点到直线上的点的最短距离是1【答案】BCD【解析】由题意得直线的斜率，又直线经过点，所以直线方程为，化简得；对于A，直线的一个方向向量为，则与不平行，所以不是直线的方向向量，故A不正确；对于B，令，则，解得，所以直线在轴上的截距等于，故B正确；对于C，直线的斜率为，因为，所以直线与直线垂直，故C正确；对于D，点到直线的距离，所以点到直线上的点的最短距离是1，故D正确；故选：BCD.11.已知直线与圆相交于、两点，下列说法正确的是（）A.若圆关于直线对称，则B.的最小值为C.若、、、（为坐标原点）四点共圆，则D.当时，对任意，曲线恒过直线与圆的交点【答案】AD【解析】圆的标准方程为，圆心为，半径为，对于A选项，若圆关于直线对称，则直线过圆心，则，解得，A对；对于B选项，直线的方程可化为，由得，所以，直线过定点，则，当时，圆心到直线的距离取最大值，且最大值为，因为，则，则，B错；对于C选项，若、、、四点共圆，设此圆为圆，圆的圆心，的中点为，所以的垂直平分线方程为，所以，圆的方程为，整理为，直线是圆与圆的交线，圆与圆的方程相减得所以直线的方程是，将直线所过的定点坐标代入上式得，得，所以直线，即直线的斜率为，即，则，C错；对于D选项，当时，直线，曲线，即，所以曲线为过直线与圆交点的曲线方程，D对.故选：AD.非选择题部分三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知椭圆的标准方程为，则椭圆的离心率是________.【答案】【解析】由椭圆的标准方程可知，，所以，因为，，所以，，所以离心率，故答案为：.13.直线关于直线对称的直线的方程为________.【答案】【解析】联立，解得，所以是直线和直线的交点，取直线上一点，设点关于直线的对称点为，则，解得，所以，所以直线的方程为，即直线关于直线对称的直线的方程为；故答案为：.14.已知实数、满足，则的取值范围为________.【答案】【解析】等式可化为，令，整理可得，所以，直线与圆有公共点，且圆心为，半径为，则，整理可得，解得或，因此，的取值范围是.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或测算步骤.15.求经过直线与直线的交点，且分别满足下列条件的直线方程：（1）与直线平行；（2）与直线垂直.解：（1）由，解得，即点，由于所求直线与直线平行，所以设所求直线方程为，代入，得：，解得，所以所求直线方程为.（2）由（1）知，点，由于所求直线与直线垂直，设所求直线方程为，代入，得：，解得，所以所求方程为.16.如图所示，在几何体中，四边形和均为边长为的正方形，，底面，、分别为、的中点，.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离.解：（1）因为四边形为正方形，底面，所以、、两两相互垂直，如图，以为原点，分别以、、方向分别为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系，由题意可得A0,0,0、、、、、，、、，则，，，设平面的一个法向量为n1=x1即，则，令，则，，所以为平面a的一个法向量，所以，所以，又平面，所以平面.（2）由平面的一个法向量为，.设点到平面的距离为，则，所以点到平面的距离为.17.已知直线及圆.（1）求证：直线过定点，并求出圆心到直线距离最大时的值；（2）若直线与圆相交于、两点，且弦的长为，求的值.解：（1）因为直线，得，由，可得，所以直线过定点.圆，所以定点在圆上，圆心，半径为.当圆心到直线距离最大时直线与圆相切，此时有：，所以.（2）设点到直线的距离为，利用勾股定理得：.同时利用圆心到直线的距离：，解得.18.如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，，为棱上的点，且，点在棱上（不与点，重合）.（1）求证：平面平面；（2）求二面角的平面角的余弦值；（3）直线能与平面垂直吗？若能，求出的值；若不能，请说明理由.解：（1）因为平面，所以，，又，则以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，所以，，，所以，，所以，，且，，平面，所以平面，所以平面平面.（2）由（1）知是平面的一个法向量，，，设平面的一个法向量为，所以，即，令，则，，所以，所以，又由图可知二面角的平面角为锐角，所以二面角的平面角的余弦值为.（3）由（1）得，，，，设，则，可得，所以，由（2）知是平面的一个法向量，若平面，可得，则，该方程无解，所以直线不能与平面垂直.19.已知椭圆的左、右顶点为，，焦距为.为坐标原点，过点、的圆交直线于、两点，直线、分别交椭圆于、.（1）求椭圆的方程；（2）记直线，的斜率分别为、，求的值；（3）证明：直线过定点，并求该定点坐标.解：（1）由已知得，，则，故椭圆的标准方程为；（2）法一：设，则圆的方程为：，圆过，代入圆的方程得，故；法二：设，圆半径为r，则圆方程为：，圆过，，由题意可设，则；（3）由题意知，当圆的圆心不在