浙江省金华市2025届高三上学期一模考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江省金华市2025届高三上学期一模考试数学试题选择题部分（共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为集合，，所以.故选：A.2.在复平面中，若复数满足，则（）A.2 B.1 C. D.【答案】D【解析】∵，∴，∴，∴.故选：D.3.若，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】考虑条件.这意味着a和b要么相等，要么互为相反数.考虑等式.由于是单调递增的，所以当且仅当a=b.如果a=b，那么必然成立.但是，如果，a和b可以互为相反数，此时不一定成立.因此，我们得出结论：是的必要不充分条件.故选：B.4.已知点为抛物线：的焦点，点在抛物线上，且，则抛物线的方程为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根据题意，连接，过作垂直于抛物线的准线，垂足为，作图如下：由抛物线定义可知，解得，故抛物线方程为：.故选：C.5.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由得，即，解得，所以，故选：B.6.已知函数的部分图像如图所示，则以下可能成立的是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【解析】因为，则，由图象可知：在内有两个极值点，即有两个不同正根，则，可得，对比选项可知：ABD错误，C正确.故选：C.7.某高中高三（15）班打算下周开展辩论赛活动，现有辩题A、B可供选择，每位学生都需根据自己的兴趣选取其中一个作为自己的辩题进行资料准备，已知该班的女生人数多于男生人数，经过统计，选辩题A的人数多于选辩题B的人数，则（）A.选辩题A的女生人数多于选辩题B的男生人数B.选辩题A的男生人数多于选辩题B的男生人数C.选辩题A的女生人数多于选辩题A的男生人数D.选辩题A的男生人数多于选辩题B的女生人数【答案】A【解析】设选辩题A的男生有x人，选辩题A的女生有y人，选辩题B的男生有m人，选辩题B的女生有n人.已知该班女生人数多于男生人数，即；又知选辩题A的人数多于选辩题B的人数，即.将这两个不等式相加得到：，两边同时消去得到，即.这就意味着选辩题A的女生人数多于选辩题B的男生人数.故选：A.8.已知正方体的棱长为，为正方体内部一动点，球为正方体内切球，过点作直线与球交于，两点，若的面积最大值为4，则满足条件的点形成的几何体体积为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为正方体的棱长为，则正方体内切球球的半径，所以，因为，则，若的面积最大值为4，即，由于在上，则，则满足条件的点形成的几何体为正方体去掉以为球心，2为半径的球体，故其体积为.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量，，则（）A. B.C.若，则 D.若，则【答案】AB【解析】向量，A．，故正确，符合题意；B．，，则，所以，当时，，正确，符合题意；C．若，则，解得，故错误，不符合题意；D．若，则，解得，故错误，不符合题意；故选：AB．10.设函数，则（）A.的图象有对称轴 B.是周期函数C.在区间上单调递增 D.的图象关于点中心对称【答案】ABD【解析】∵，∴是偶函数，关于轴对称，故A正确；∵，∴是函数的一个周期，故B正确；，∵，，显然，故在区间上不单调递增，故C错误；，∴的图象关于点中心对称.故选：ABD.11.从棱长为1个单位长度的正四面体的一顶点出发，每次均随机沿一条棱行走1个单位长度，设行走次时恰好为第一次回到点的概率为，恰好为第二次回到点的概率为，则（）A. B.C.时，为定值 D.数列的最大项为【答案】ACD【解析】由题意得对于任意一次行走，到达其他三个点概率均为，若要行走次时恰好第一次回到点，则第1、2次均不到点A,所以，故A选项正确；若要行走次时恰好第二次回到点，则第2次必须回到点A，概率为，故B选项错误；若要行走次时恰好为第一次回到点，则次均未到达点A，所以，所以为定值，故C选项正确；当时，；当时，设第次第一次到达点A，第n次恰好第二次到达点A，由于第1次和第次的行走不用限制，所以此时概率为，所以，令，解得，所以，所以和为最大值，故D选项正确.故选：ACD.非选择题部分（共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知数列为等差数列，，，则______.【答案】11【解析】设等差数列的公差为，因为，所以，解得，所以.13.从1，2，3，4，5，6这六个数中任选三个数，至少有两个数为相邻整数的选法有______种【答案】16【解析】从1，2，3，4，5，6这六个数中任选三个数，共有种选法，其中三个数都不相邻的，有135，136，146，246这4种，所以至少有两个数为相邻整数的选法有20-4=16种.14.已知双曲线：，为右焦点，斜率为的直线与交于，两点，设点，，其中，过且斜率为的直线与过且斜率为1的直线交于点，直线交于，两点，且点为线段的中点，则点的坐标为______.【答案】【解析】设，，，则直线：，直线：，两直线联立，解得即.设中点为，则，因，所以三点共线.因为，且，所以，所以.同理知，即，设，则，解得，所以.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.记内角，，的对边分别为，，，已知.（1）求；（2）若为等腰三角形且腰长为2，求的底边长.解：（1），由正弦定理得：，，∵，，∵，.（2）当为顶角，则底边，，当为底角，则该三角形内角分别为，，，则底边为故的底边长为或.16.如图，三棱锥中，平面，，为中点，为中点，为中点.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.解：（1）连，由为中点，为中点，得，又平面，平面，所以平面.（2）设，由平面，平面，得，则，取中点，则，又平面，则平面，又平面，于是平面平面，又平面面，过点在平面内作于，于是平面，连，则为直线与平面所成的角，在中，，，，在中，，所以直线与平面所成角的正弦值.17.已知函数，.（1）若，求的单调区间；（2）若，求的取值范围.解：（1）当时，，时，f'x<0，x∈1,+∴fx的单调增区间为1,+∞，单调减区间为（2），时，f'x<0，时，f，又，，令，则，显然单调递减，且，，必然存在唯一使得，当，，单调递增，当，，单调递减，由于时，，成立，当时，单调递减，且，因此成立，综上，成立的范围为.18.已知和为椭圆：上两点.（1）求椭圆的离心率；（2）过点的直线与椭圆交于，两点（，不在轴上）.（i）若的面积为，求直线的方程；（ii）直线和分别与轴交于，两点，求证：以为直径的圆被轴截得的弦长为定值.解：（1）由可知，求出，代入，得，，则，，可知椭圆的离心率为.（2）（i）由（1）可知椭圆的方程为，设，，过点的直线为，与联立得：恒成立.所以，得，所以，直线的方程为：.（ii）由（i）可知，直线的方程为，令，得直线的方程为，令，得，记以为直径的圆与轴交于，两点，由圆的弦长公式可知，所以，为定值.19.已知正边形的每个顶点上有一个数.定义一个变换，其将正边形每个顶点上的数变换成相邻两个顶点上的数的平均数，比如：记个顶点上的个数顺时针排列依次为，则，为整数，，，.设（共个，表示次变换）（1）若，，，求，，，；（2）对于正边形，若，，证明：；（3）设，，，证明：存在，使得不全为整数.解：（1）当时，的变换如下：所以，，，.（2），，成等差数列，令公差为，又，则，，则（3）反证法，假设对任意，均为