浙江省嘉兴市2024届高三上学期期末检测数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1浙江省嘉兴市2024届高三上学期期末检测数学试题一、选择题1.己知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解不等式，即，则，而，故，故选：A2.已知，则（）A. B. C. D.5【答案】D【解析】，故.故选：D.3.已知单位向量，的夹角为，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意可知：，，，所以.故选：B.4.己知直线与圆：相交于A，B两点，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为圆心为到直线的距离为：，所以=所以,即.故选：B5.卫生纸是人们生活中的必需品，随处可见．卫生纸形状各异，有单张四方型的，也有卷成滚筒形状的．某款卷筒卫生纸绕在圆柱形空心纸筒上，纸筒直径为40mm，卫生纸厚度为0.1mm．若未使用时直径为90mm，使用一段时间后直径为60mm，则这个卷筒卫生纸大约己经使用了（）A.25.7m B.30.6m C.35.3m D.40.4m【答案】C【解析】未使用时，可认为外层卫生纸的长度为：，可认为每层纸的长度为等差数列，使用到现在，相当于等差数列的项数为：，且.由等差数列的求和公式得：故选：C6.己知函数的图象关于点对称，则下列函数是奇函数的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】函数的图象关于点对称，所以函数的图象向右平移1个单位，向下平移一个单位后函数的图象关于点对称，即可得.故选：D7.设是等比数列，则“对于任意的正整数n，都有”是“是严格递增数列”（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】若是严格递增数列，显然，所以“对于任意的正整数n，都有”是“是严格递增数列”必要条件；对任意的正整数n都成立，所以中不可能同时含正项和负项，，即，或，即，当时，有，即，是严格递增数列，当时，有，即，是严格递增数列，所以“对于任意的正整数n，都有”是“是严格递增数列”充分条件故选：C8.己知正实数满足，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因，由可得：，则．由化简得：，分别设函数，．由，，则当时，，当时，，则在上递减,在上递增，故.又，则当时，，当时，，则在上递减；在上递增，故．由，则时，；时，；时，．函数与的图象如图．令．由于，则，，排除C，D；由于，，则．令，其在R上单调递增．由于，则，则有，即得．综上，.故选：A．二、选择题9.下列说法正确的是（）A.样本数据4，4，5，5，6，7，9的75%分位数为6B.若随机变量满足，则C.若随机变量服从两点分布，，则D.若随机变量X服从正态分布，且，则【答案】BCD【解析】A.样本共7个数据，，所以第75%分位数是第6个数据，为7，故A错误；B.，故B正确；C由条件可知，，，，故C正确；D.由条件可知，正态分布函数的图象关于直线对称，，所以，故D正确.故选：BCD10.已知函数的图象的两条相邻对称轴之间的距离为，则（）A.函数的最小正周期为B.函数在单调递减C.函数在的值域为D.将函数的图象向右平移个单位长度，所得函数图象关于y轴对称【答案】AB【解析】，函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，函数的最小正周期是，∴，∴，，故A正确；由，解得，所以的一个单调减区间为，而，∴在上单调递减，故B正确；当时，有，则，所以，∴，故C错误；将的图象向右平移个单位长度得到关于原点对称，故D错误.故选：AB11.己知正方体的边长为1，点P满足，其中，，则（）A.当时，存在点P，使得平面B.当时，不存在点P，使得平面C.当，满足时，点到平面的距离的最小值为D.当，满足时，三棱锥的体积的最小值为【答案】ACD【解析】以为坐标原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则,对于A，当时，取，则点P与A重合，得，∴，∴，∴,∵平面,平面,∴平面，故A正确；对于B，当时，取，则点P与B重合，得，∵，∴，，∴，，又∵,平面，∴平面，故B错误；对于C，由及，得，则，∴，设平面的法向量为，由，令，则，，∴点到平面的距离为，∵，∴当时，，故C正确；对于D，为正三角形，，则，由，，，可得，则可设，则，则，，，设平面的法向量为，由，令，则，，∴点到平面的距离为，∵，∴，∴当，即时，取最大值，从而，∴三棱锥的体积的最小值为，故D正确.故选：ACD.12.己知点是抛物线：上一点，过点P作抛物线：的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，H为线段MN的中点，F为的焦点，则（）A.若，则直线MN经过点F B.直线轴C.点H的轨迹方程为 D.【答案】ABD【解析】已知抛物线的方程，求经过抛物线上一点的切线的方程由，可得或，不妨设，则，则，由导数的几何意义知过点的切线的斜率为，故所求切线方程为，化简得即又在抛物线上，，所以切线方程为(可验证对,此方程也适用)所以设，设过点M的切线为，过点N的切线为，这两条切线交于点，则，从而直线MN的方程为．若，则直线MN经过点，A正确．设过点M的切线为，过点N的切线为，联立，解得，即，从而，即，由于点H为M，N中点，则，而轴，B正确．点，由于，，从而点H的轨迹方程为，C错误．由于，，，则．又，则，同理可得，从而，D正确．故选：ABD.三、填空题13.的展开式中，常数项为______（用数字作答）．【答案】15【解析】展开式的通项为，令，得，所以常数项为.故答案为：15.14.已知，则______．【答案】【解析】由题意可得：，即.故答案为：.15.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点P，Q在C上且满足，，则C的离心率为______．【答案】【解析】设，则，所以，因为，由勾股定理得，即，解得，故，，故点为椭圆上顶点，所以为等腰直角三角形，故，即，所以，离心率.故答案为：16.己知圆锥的母线长与底面圆的直径均为．现有一个半径为1的小球在内可向各个方向自由移动，则圆锥内壁上（含底面）小球能接触到的区域面积为______．【答案】【解析】因为圆锥的母线长与底面圆的直径均为．小球的半径为1，在圆锥内壁侧面，小球接触到的区域展开后是一个扇环，可知扇环的半径为，，扇环所在扇形的圆心角为，所以扇环其面积为；在圆锥底面，小球接触到的区域是一个圆，其半径为其面积为．综上，圆锥内壁上（含底面）小球能接触到的区域面积为．故答案为：.四、解答题17.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中，．（1）若，求的面积；（2）若为钝角三角形，求a的取值范围．解：（1）由及正弦定理，则．当时，，，由余弦定理，，从而，此时的面积．（2）由于，，由三角形三边关系可得，即，解得．由于C为的最大内角，故，即，解得．由于，则．18.己知是公差为2的等差数列，数列满足，，．（1）求数列和的通项公式；（2）记数列的前n项积为，若，求m．解：（1）在中，令，得，把，代入解得：，所以；把代入，化简得：，即是公比为3的等比数列，所以．（2），，由可得：，即，解得或，因，则.19.等边三角形的边长为3，O，P分别是边AB和AC上的点，且，如图1．将沿OP折起到的位置,连结，.点Q满足，且点Q到平面的距离为，如图2．（1）求证：∥平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值．（1）证明：证法1（坐标法）：因为，点Q到平面的距离为，所以点到平面的距离为1，因为，所以平面，因为平面，所以，，在中，，所以，所以，所以，所以以O为原点，以所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，，所以，又平面的法向量可取，由于，直线平面，所以∥平面．证法2（几何法）：取OB中点S和线段靠近点B的三等分点T，连结ST，SP，TO，因为，，所以∥，，所以∥，所以四边形为平行四边形，所以∥，又平面，平面，所以∥平面．（2）解：解法1（坐标法）：平面的法向量，设平面的法向量，，，由，令，则，，即．设平面与平面夹角大小为，则，即平面与平面夹角的余弦值．解法2（几何法）：延长BC，OP交于点R，连结，作，连结BD．因为，，，平面，所以平面，因为平面，所以．又，，平面，所以平面，因为平面，所以，所以为二面角的平面角，记为，在直角中，，，则，所以，因，所以，所以，即平面与平面夹角的余弦值为．20.某校举行知识竞赛，规则如下：选手每两人一组，同一组的两人以抢答的方式答题，抢到并回答正确得1分，答错则对方得1分，比赛进行到一方比另一方多2分为止，且多得2分的一方胜出．现甲乙两人分在同一组，两人都参与每一次抢题，每次抢到的概率都为．若甲、乙正确回答每道题的概率分别为和，每道题回答是否正确相互独立．（1）求第1题答完甲得1分的概率；（2）求第2题答完比赛结束的概率；（3）假设准备的问题数足够多，求甲最终胜出的概率．解：（1）记“答完1题甲得1分”为事件A，则，第1题答完甲得1分的概率为．（2）第2题答完比赛结束，甲得了2分，或乙得了2分．记“答完1题乙得1分为事件B，”则．记“第2题答完比赛结束”为事件C，．（3）记甲最终胜出的概率为．答完2题，有四种情况：甲得2分，乙得2分，甲先得1分乙后得1分，乙先得1分甲后得1分，其中甲乙各得1分，与初始状态（即比赛前）的情况相同，从而，即，解得，即甲最终胜出的概率为．21.已知，分别是双线的左，右顶点，，点到其中一条渐近线的距离为．（1）求双曲线C的方程：（2）过点的直线l与C交于M，N两点（异于，两点），直线OP与直线交于点Q．若直线与的斜率分别为，，试问是否为定值？若是，求出此定值；否不是，请说明理由．解：（1）由题意知．点到直线的距离为，解得，从而双曲线C方程为；（2）设，，直线的方程为，联立，则，从而，解得且，此时．直线OP的方程为，直线的方程为，联立解得，．由于.即．22.已知函数．（1）若时，在其定义域内不是单调函数，求a的取值范围；（2）若，时，函数有两个极值点，，求证：．（1）解：当时，，．令，显然不是该方程的解，故，令，，当以及时，；当时，；在递减，在递减，在单调递增．当时，；当时，．由于函数在其定义域