2021-2022学年高中数学第四章函数应用2实际问题的函数建模学案北师大版必修1

实际问题的函数建模1．常用的函数模型名称解析式条件一次函数模型y＝kx＋bk≠0反比例函数模型y＝eq\f(k,x)＋bk≠0二次函数模型一般式：y＝ax2＋bx＋c顶点式：y＝aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(b,2a)))eq\s\up12(2)＋eq\f(4ac－b2,4a)a≠0指数函数模型y＝b·ax＋cb≠0，a>0，且a≠1对数函数模型y＝mlogax＋nm≠0，a>0，且a≠1幂函数模型y＝axn＋ba≠02.数据拟合通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们所熟悉的哪一种函数图像，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．解决应用问题的关键是什么？提示：将实际问题转化为数学问题．1．如表是函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型为()x－2－10123yeq\f(1,16)eq\f(1,4)141664A.一次函数模型B．二次函数模型C．对数函数模型 D．指数函数模型【解析】选D.经过验证函数y＝4x满足题意．2．(教材例题改编)用一根长为12m的铁丝弯成一个矩形的铁框架，则铁框架的最大面积是______m2.【解析】设铁框架的一边为xm，则其面积S＝eq\f(（12－2x）x,2)＝－x2＋6x＝－(x－3)2＋9.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x>0，,12－2x>0，))得0<x<6.所以，当x＝3时，S取最大值9.答案：93．西北某羊皮手套公司准备投入适当的广告费对其生产的产品进行促销．在一年内，根据预算得羊皮手套的年利润L万元与广告费x万元之间的函数解析式为L＝eq\f(51,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(8,x)))(x＞0).则当年广告费投入________万元时，该公司的年利润最大．【解析】由题意得L＝eq\f(51,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,2)＋\f(8,x)))≤eq\f(51,2)－2eq\r(\f(x,2)·\f(8,x))＝21.5，当且仅当eq\f(x,2)＝eq\f(8,x)，即x＝4时等号成立．此时L取得最大值21.5.故当年广告费投入4万元时，该公司的年利润最大．答案：4类型一用已知函数模型解决实际问题(数据分析、数学运算)1．某厂日生产文具盒的总成本y(元)与日产量x(套)之间的关系为y＝6x＋30000.而出厂价格为每套12元，要使该厂不亏本，至少日生产文具盒()A．2000套B．3000套C．4000套D．5000套【解析】选D.因利润z＝12x－(6x＋30000)，所以z＝6x－30000，由z≥0，解得x≥5000，故至少日生产文具盒5000套．2．如图所示，这是某电信局规定的打长途所需要付的费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系图像．根据图像填空：(1)通话2分钟，需要付费________元．(2)通话5分钟，需要付费__________元．(3)如果t≥3，则费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系式为__________．【解析】(1)由图像可知，当t≤3时，费都是3.6元，所以通话2分钟，需要付费3.6元．(2)由图像可知，当t＝5时，y＝6，需付费6元．(3)易知当t≥3时，图像过点(3，3.6)，(5，6)，利用待定系数法求得y＝1.2t(t≥3).答案：(1)3.6(2)6(3)y＝1.2t(t≥3)3．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x，1≤x<10，x∈N＋，,2x＋10，10≤x<100，x∈N＋，,1.5x，x≥100，x∈N＋，))其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数．若面试人数为60，则该公司拟录用人数为________．【解析】令y＝60，若4x＝60，则x＝15>10，不合题意；若2x＋10＝60，则x＝25，满足题意；若1.5x＝60，则x＝40<100，不合题意．故拟录用人数为25.答案：25解函数关系已知的应用题的步骤(1)确定函数关系式y＝f(x)中的参数，求出具体的函数解析式y＝f(x).(2)讨论x与y的对应关系，针对具体的函数去讨论与题目有关的问题．(3)给出实际问题的解，即根据在函数关系讨论中所获得的理论参数值给出答案．提醒：解实际问题时应特别注意自变量的取值范围受实际意义的限制．【补偿训练】甲、乙两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规模(产量)进行调查，提供了两方面的信息，如图．甲调查表明：每个甲鱼池平均产量从第1年1万只甲鱼上升到第6年2万只．乙调查表明：甲鱼池个数由第1年30个减少到第6年10个．请你根据提供的信息说明：(1)第2年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼总数．(2)到第6年这个县的甲鱼养殖业的规模比第1年是扩大了还是缩小了？说明理由．(3)第几年的养殖规模最大？最大养殖量是多少？【解析】(1)由图可知，y甲＝kx＋b的图像经过(1，1)和(6，2)，可求得k＝0.2，b＝0.8.所以y甲＝0.2(x＋4).同理可得y乙＝4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x＋\f(17,2))).故第2年甲鱼池的个数为26个，全县出产甲鱼的总数为26×1.2＝31.2(万只).(2)规模缩小，原因是：第一年出产甲鱼总数30万只，而第6年出产甲鱼总数为20万只．(3)设第x年养殖规模最大，即求y甲·y乙＝0.2(x＋4)·4·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x＋\f(17,2)))＝－0.8x2＋3.6x＋27.2的最大值．函数图像的对称轴为x＝－eq\f(3.6,2×（－0.8）)＝2eq\f(1,4)，因为x∈N＋，所以当x＝2时，y甲·y乙＝31.2，即第二年规模最大，为31.2万只．类型二拟合函数问题(数学建模)角度1二次函数模型【典例】A，B两城相距100km，在两城之间距A城xkm处的D地建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站与城市距离不得少于10km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ＝0.25.若A城供电量为20亿度/月，B城为10亿度/月．(1)把A，B两城月供电总费用y(万元)表示成x(km)的函数，并求定义域．(2)核电站建在距A城多远，才能使供电总费用最小？【思路导引】根据题意列出函数解析式，利用数形结合或函数单调性求函数最值．【解析】(1)由题意设A城的月供电费用为y1，y1＝λ×20x2，设B城的月供电费用为y2，则y2＝λ×10×(100－x)2，所以A，B两城月供电总费用y＝λ×20x2＋λ×10×(100－x)2.因为λ＝0.25，所以y＝5x2＋eq\f(5,2)(100－x)2(10≤x≤90).(2)由y＝5x2＋eq\f(5,2)(100－x)2＝eq\f(15,2)x2－500x＋25000＝eq\f(15,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(100,3)))eq\s\up12(2)＋eq\f(50000,3).则当x＝eq\f(100,3)km时，y最小．故当核电站建在距A城eq\f(100,3)km时，才能使供电总费用最小．角度2拟合函数问题【典例】已知某观光海域AB段的长度为3百公里，一超级快艇在AB段航行，经过多次试验得到其每小时航行费用Q(单位：万元)与速度v(单位：百公里/小时)(0≤v≤3)的部分数据如表所示：v0123Q00.71.63.3为描述该超级快艇每小时航行费用Q与速度v的关系，现有以下三种函数模型供选择：Q＝av3＋bv2＋cv，Q＝0.5v＋a，Q＝klogav＋b.(1)试从中确定最符合实际的函数模型，并求出相应的函数解析式；(2)该超级快艇应以多大速度航行才能使AB段的航行费用最少？并求出最少航行费用．【思路导引】(1)对题中所给的三个函数解析式进行分析，对应其性质，结合题中所给的条件，作出正确选择，之后利用待定系数法求得解析式，得出结果；(2)根据题意，列出函数解析式，之后应用配方法求得最值，得到结果．【解析】(1)若选择函数模型Q＝0.5v＋a，则该函数在v∈[0，3]上单调递减，这与试验数据相矛盾，所以不选择该函数模型．若选择函数模型Q＝klogav＋b，须v>0，这与试验数据在v＝0时有意义矛盾，所以不选择该函数模型．从而只能选择函数模型Q＝av3＋bv2＋cv，由试验数据得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝0.7，,8a＋4b＋2c＝1.6，,27a＋9b＋3c＝3.3，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝0.7，,4a＋2b＋c＝0.8，,9a＋3b＋c＝1.1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝0.1，,b＝－0.2，,c＝0.8，))故所求函数解析式为Q＝0.1v3－0.2v2＋0.8v(0≤v≤3).(2)设超级快艇在AB段的航行费用为y(万元)，则所需时间为eq\f(3,v)(小时)，其中0<v≤3，结合(1)知，y＝eq\f(3,v)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0.1v3－0.2v2＋0.8v))＝0.3eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(v－1))2＋7))，所以当v＝1时，ymin＝2.1.答：当该超级快艇以1百公里/小时航行时可使AB段的航行费用最少，且最少航行费用为2.1万元．解决拟合函数模型问题的步骤(1)根据原始数据、表格，绘制两个变量间的散点图．(2)通过散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．(3)根据所学函数知识，结合已知数据，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系．(4)利用函数关系式，根据条件所给问题进行预测和检验，为决策和管理提供依据．1．某地区居民生活用电分为高峰和低谷两个时间段进行分时计价，该地区的电网销售电价表如下：高峰时间段用电价格表高峰月用电量(单位：千瓦时)高峰电价(单位：元/千瓦时)50及以下的部分0.568超过50至200的部分0.598超过200的部分0.668低谷时间段用电价格表低谷月用电量(单位：千瓦时)低谷电价(单位：元/千瓦时)50及以下的部分0.288超过50至200的部分0.318超过200的部分0.388若某家庭5月份的高峰时间段用电量为200千瓦时，低谷时间段用电量为100千瓦时，则按这种计费方式该家庭本月应付的电费为________元．(用数字作答)【解析】高峰时间段200千瓦时的电费为50×0.568＋150×0.598＝118.1(元)，低谷时间段100千瓦时的电费为50×0.288＋50×0.318＝30.3(元)，所以这个家庭该月应付电费为118.1＋30.3＝148.4(元).答案：148.42．某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本价为25元，因为在生产过程中平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，工厂设计两套方案对污水进行处理，并准备实施．方案一：工厂的污水先净化处理后再排出，每处理1立方米污水所用原料费2元，并且每月排污设备损耗为30000元；方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费．问：(1)工厂每月生产3000件产品时，你作为厂长，在不污染环境，又节约资金的前提下应选择哪种方案？通过计算加以说明．(2)若工厂每月生产6000件产品，你作为厂长，又该如何决策呢？【解析】设工厂每月生产x件产品时，依方案一的利润为y1，依方案二的利润为y2，由题意知y1＝(50－25)x－2×0.5x－30000＝24x－30000，y2＝(50－25)x－14×0.5x＝18x.(1)当x＝3000时，y1＝42000，y2＝54000，因为y1<y2，所以应选择方案二处理污水．(2)当x＝6000时，y1＝114000，y2＝108000，因为y1>y2，所以应选择方案一处理污水．3．改革开放四十周年纪念币从2018年12月5日起可以开始预约．通过市场调查，得到该纪念币1枚的市场价y(单位：元)与上市时间x(单位：天)的数据如下：上市时间x天81032市场价y元826082(1)根据上表数据，从①y＝ax＋b；②y＝ax2＋bx＋c；③y＝alogbx中选取一个恰当的函数刻画改革开放四十周年纪念币的市场价y与上市时间x的变化关系并说明理由．(2)利用你选取的函数，求改革开放四十周年纪念币市场价最低时的上市天数及最低的价格．【解题指南】(1)根据函数单调性选择模型；(2)求出函数解析式，利用二次函数的性质得出最小值．【解析】(1)由表格可知随着上市时间的增加，市场价y先减少，后增大，而函数y＝ax＋b和y＝alogbx均为单调函数，显然不符合题意；故选择函数模型y＝ax2＋bx＋c.(2)把eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8，82))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10，60))，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(32，82))代入y＝ax2＋bx＋c得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(64a＋8b＋c＝82，,100a＋10b＋c＝60，,1024a＋32b＋c＝82，))解得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,2)，,b＝－20，,c＝210，))所以y＝eq\f(1,2)x2－20x＋210＝eq\f(1,2)(x－20)2＋10，所以上市天数为20时市场价最低，最低价格为10元．1．一辆汽车在某段路上的行驶路程s关于时间t变化的图像如图，那么图像所对应的函数模型为()A．分段函数 B．二次函数C．指数函数 D．对数函数【解析】选A.由图像知，在不同时段内，路程折线图不同，故对应的函数模型为分段函数．2．某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的