圆的有关性质课件人教版数学九年级上册

24.1.1圆人教版数学九年级上册第二十四章圆前言学习目标1．理解并掌握圆的有关概念。2．能灵活运用圆的有关概念解决相关的实际问题。重点难点重点：理解圆的有关概念，灵活运用圆的概念解决一些实际问题。难点：灵活运用圆的有关知识解决实际问题。摩天轮月亮钟生活中常见的圆尝试说出一些生活中常见的圆形？小组讨论方法一方法二方法三·OA利用图钉画圆画圆如图，在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．·rOA固定的端点O叫做圆心线段OA叫做半径以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．圆的概念尝试画出一个圆，在画圆的过程中你发现了什么？·rOA【发现一】圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）；归纳：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形．【发现二】到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．圆的特征为什么车轮都采用圆形，而不是三角形、正方形或其他？把车轮做成圆形，车轮上各点到车轮中心（圆心）的距离都等于车轮的半径，当车轮在平面上滚动时，车轮中心与平面的距离保持不变，因此，当车辆在平坦的路上行驶时，坐车的人会感觉到非常平稳，假如车轮变了形，不成圆形了，到轴的距离不相等了，车就不会再平稳。思考经过圆心的弦（如图中的AB）叫做直径．连接圆上任意两点的线段（如图AC）叫做弦，·COAB【注意】凡直径都是弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径.与圆有关的概念（弦）圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．·OAB圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”．⌒AB·BOA与圆有关的概念（弧）

小于半圆的弧（如图中的）叫做劣弧；⌒AC大于半圆的弧（用三个字母表示，如图中的）叫做优弧.ABC⌒·COAB【注意】1）弧分为是优弧、劣弧、半圆。2）已知弧的两个起点，不能判断它是优弧还是劣弧，需分情况讨论。与圆有关的概念（优弧和劣弧）能够重合的两个圆是等圆。注意：1）半径相等的两个圆是等圆；

2）同圆或等圆的半径相等。在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。注意：1）等弧的长度一定相等；

2）长度相等的弧不一定是等弧。（你知道这是为什么吗？）原因：大圆上一寸长的弧,与小圆上一寸长的弧,它们的圆心角是不同的,即它们的弧度不同（曲率不同）,放在一起不能重合,所以不一定是等弧。与圆有关的概念1．下列说法：①优弧一定比劣弧长；②面积相等的两个圆是等圆；③长度相等的弧是等弧；④经过圆内的一个定点可以作无数条弦；⑤经过圆内一定点可以作无数条直径．其中不正确的个数是（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【详解】解：在同圆或等圆中，优弧一定比劣弧长，所以①错误；面积相等的两个圆半径相等，则它们是等圆，所以②正确；能完全重合的弧是等弧，所以③错误；经过圆内一个定点可以作无数条弦，所以④正确；经过圆内一定点可以作无数条直径或一条直径，所以⑤错误．故选：C．随堂测试2．下列叙述中不正确的是（）A．圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心B．圆是轴对称图形，直径是它的对称轴C．连接圆上两点的线段叫弦

D．圆上两点间的部分叫弧【详解】解：A.圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心，正确；B.圆是轴对称图形，直径所在的直线为圆的对称轴，错误；C.连接圆上两点的线段叫弦，正确；D.圆上两点间的部分叫弧，正确；故选：B．随堂测试3．如图，在中，点B、O、C和点A、O、D分别在同一条直线上，则图中有（）条弦．A.2 B.3 C.4 D.5【详解】解：图中的弦有AE、AD、CD这3条随堂测试4．如图，半径为1的圆从表示1的点开始沿着数轴向左滚动一周，圆上的点A与表示1的点重合，滚动一周后到达点B，点B表示的数是（）A．﹣2π B．1﹣2π C．﹣π D．1﹣π【详解】解：∵直径为1个单位长度的圆从原点沿数轴向左滚动一周，∴AB之间的距离为圆的周长＝2π，A点在数轴上表示1的点的左边．∴A点对应的数是1﹣2π．故选：B．随堂测试感谢各位的聆听指导人教版数学九年级上册24.1.2垂直于弦的直径人教版数学九年级上册第二十四章圆前言学习目标1．理解圆的轴对称性及垂径定理的推导，能初步应用垂径定理进行计算和证明；2．通过圆的对称性，培养学生对数学的审美观，并激发学生对数学的热爱。重点难点重点：垂径定理及应用。难点：垂径定理的证明。

把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？结论：圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴探究你能证明刚才的结论吗？·OADECB如图，CD是⊙O的任一条直径，A是⊙O上点C,D以外任意一点，过点A作CD⊥AB，交⊙O于点B，垂足为E，连接OA,OB.在△OAB中，∵OA=OB,∴△OAB是等腰三角形而OE⊥AB∴AE=EB即CD是AB的垂直平分线。这就是说对于圆上任意一点A,在圆上都有关于直线CD的对称点B,因此⊙O关于直线CD对称。探究圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴。·OADECB【提问】根据轴对称图形性质，你能发现图中有那些相等的线段（半径除外）和弧？线段：AE=BE⌒⌒即直径CD平分弦AB，并且平分AB,ACB⌒⌒弧：ＡＣ＝ＢＣ，ＡＤ＝ＢＤ⌒⌒小结垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．符号语言：∵①CD是直径，②CD⊥AB

∴③AE=BE，④AC=BC，⑤AD=BD.⌒⌒⌒⌒·OAECDB垂径定理（*）

平分弦的直径垂直于这条弦吗？情况一：弦是直径情况二：弦不是直径OCDAB·OAECBD利用图形轴对称的性质，可以证明情况二成立思考平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.∵①CD是直径②AE=BE且AB不是直径符号语言：∴③CD⊥AB，④AC=BC，⑤AD=BD.⌒⌒⌒⌒OCDABE垂径定理的推论（*）1400多年前,我国隋朝建的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为37.4m,拱高为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).【解题关键】将实际问题转化为几何问题。情景思考1400多年前,我国隋朝建的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为37m,拱高为7.23m,求桥拱的半径(精确到0.1m).解：用AB表示主桥拱，设AB所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与AB相交于点D，根据前面的结论，D是AB的中点，C是AB的中点，CD就是拱高．⌒⌒⌒⌒⌒3718.5RR-7.23

思路：通过垂径定理，构造直角三角形（半径半弦弦心距），结合勾股定理，建立方程。情景思考半径半弦弦心距

弦心距：圆心到弦的距离（即圆心到弦的垂线段的距离）．半径、半弦、弦心距之间如图，在⊙O中，弦AB的长为6cm，圆心O到AB的距离（弦心距）为4cm，求⊙O的半径．AB.OE34解：

在Rt△AOE中

,,(垂径定理）过圆心O作OE⊥AB于E，.试一试变式一：半径为4cm的⊙O中，弦AB=2cm,那么圆心O到弦AB

的距离是

.ABOEABO

6cmE变式二：⊙O的直径为10cm，圆心O到弦AB的距离OE=4cm，则弦AB的长是

.1454

试一试变式三：如图，⊙M与x轴交于A，B两点，与y轴交于C，D两点，若M(2,0)，B(5,0)，则C点的坐标是

.253试一试变式四：如图，⊙O的直径CD⊥AB于E，AB＝12cm，DE＝2㎝，求⊙O的半径.62rr-2DCABEO解方程过程略试一试3r9-r变式五：如图，⊙O的直径CD⊥AB于E，AB＝6cm，CE＝9㎝.求⊙O的半径.DCABEO解方程过程略试一试1．如图是一个圆弧形门拱，拱高，跨度，那么这个门拱的半径为（）A.2m B.2.5m C.3m D.5m【答案】B【详解】设这个门拱的半径为r，则OB=r−1，∵CD=4m，AB⊥CD，∴BC=CD=2m，在Rt△BOC中，∵BC+OB=OC,即2+(r−1)=r，解得r=2.5m.故选B.课堂测试2．如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面AB宽为（）A.4m B.5m C.6m D.8m

课堂测试

H课堂测试感谢各位的聆听指导人教版数学九年级上册24.1.4圆周角人教版数学九年级上册第二十四章圆前言学习目标1.理解圆周角的定义，了解与圆心角的关系，会在具体情景中辨别圆周角。2.掌握圆周角定理及推论，并会运用这些知识进行简单的计算和证明;3.学习中经理操作、观察、猜想、分析、交流、论证等数学活动，体验圆周角的、定理的探索。重点难点重点：理解并掌握圆周角定理及推论。难点：圆周角定理的证明。特征：顶点在圆上，两边都与圆相交。将圆心角顶点向上移，直至与⊙O相交于点C?观察得到的∠ACB有什么特征？OACB情景引用概念：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角。圆周角的特征：①顶点在圆上；②两边都和圆相交。·ABCDEO你能指出右图中存在的圆周角吗？圆周角的概念

在纸上画出一个圆，并截取任意一条圆弧画出其所对的圆心角和圆周角，测量它们的度数，你能得出什么结论？经过测量，同弧所对的圆周角度数等于所对圆心角的一半。OACB圆心角和圆周角之间存在的关系下面我们分以下三种情况验证上述猜想：圆心角和圆周角之间存在的关系

123

=>证明二：OA=OC=>∠1＝∠2∠3＝∠1＋∠2

符号“=>”读作“推出”，“A=>B”表示由A条件推出结论B.圆心角和圆周角之间存在的关系

123456

D连接AO，延长AO,与⊙O相交于点D圆心角和圆周角之间存在的关系

123456D连接AO，延长AO,与⊙O相交于点D

=>圆心角和圆周角之间存在的关系

作直径ADD15234

=>圆心角和圆周角之间存在的关系综上所述,圆周角∠BAC与圆心角∠BOC的大小关系是:即∠BAC=∠BOC.一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

圆心角和圆周角之间存在的关系

在同圆或等圆中，两条弧相等，则他们所对应的圆周角有什么关系？·OABB1A1将弧AB绕圆心O旋转，使弧AB与弧A1B1重合∴点A与A1重合，B与B1重合∴射线OB与OB1重合，射线OA与OA1重合∴∠AOB＝∠A1OB1而一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半∴它们所对应的的圆周角相同。即同弧或等弧所对的圆周角相等。⌒⌒C圆心角和圆周角之间存在的关系·ABC1OC2C3

证明：90°的圆周角所对的弦是直径？圆心角和圆周角之间存在的关系

如图，⊙O直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD、BD的长．又在Rt△ABD