2024年初中数学人教版八年级上册函数2篇

2024年初中数学人教版八年级上册函数2024-11-27目录CONTENTS函数基础概念一次函数与正比例函数反比例函数初步认识二次函数入门知识函数图象变换规律探索章节复习与测试01函数基础概念变量常量在一定条件下，保持不变的量为常量，如圆周率π、自然对数的底数e等。常量是已知的、固定的数值。在数学中，可以取不同数值的量称为变量，通常用字母表示，如x、y等。变量的取值随条件或环境的变化而变化。变量与常量介绍一般地，设在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说y是x的函数。其中，x是自变量，y是因变量。函数定义函数的性质主要包括单调性、奇偶性和周期性等。这些性质可以帮助我们更好地理解和分析函数。函数性质函数定义及性质图象法通过绘制函数的图象来表示函数关系的方法称为图象法。图象法可以直观地反映函数的性质和变化趋势。解析式法用数学式子表示函数关系的方法称为解析式法。例如，y=2x+1就是一个一次函数的解析式。表格法通过列出自变量和因变量的对应值来表示函数关系的方法称为表格法。这种方法适用于一些难以用解析式表示的函数。函数表示方法气温变化购物消费行驶距离与时间在购物过程中，商品的价格与购买数量之间的关系可以看作是一个函数关系。例如，购买数量越多，总价越高。气温随时间的变化可以看作是一个函数关系。例如，一天中不同时间的气温是不同的，可以用函数来表示这种变化关系。在行驶过程中，行驶的距离与时间之间的关系也可以看作是一个函数关系。例如，行驶时间越长，行驶的距离越远。生活中函数应用举例02一次函数与正比例函数一次函数定义及图像特征图像特征一次函数的图像是一条直线，该直线在坐标轴上的截距为$b$，斜率为$k$。当$k>0$时，随着$x$的增大，$y$也增大；当$k<0$时，随着$x$的增大，$y$减小。一次函数定义一次函数是形如$y=kx+b$（$kneq0$）的函数，其中$x$为自变量，$y$为因变量，$k$和$b$为常数。形如$y=kx$（$kneq0$）的函数称为正比例函数，其中$x$为自变量，$y$为因变量，$k$为比例系数。正比例函数定义正比例函数的图像是一条过原点的直线，其斜率等于比例系数$k$。当$k>0$时，图像位于第一、三象限；当$k<0$时，图像位于第二、四象限。性质正比例函数定义及性质斜率一次函数$y=kx+b$中，$k$称为斜率，表示函数图像相对于$x$轴倾斜的程度。斜率等于函数图像上任意两点间纵坐标差与横坐标差之商。截距一次函数$y=kx+b$中，$b$称为$y$轴上的截距，表示函数图像与$y$轴交点的纵坐标。截距的绝对值等于函数图像与$y$轴之间的距离。斜率与截距概念解析预测问题求解问题决策问题利用一次函数可以求解一些实际问题，如计算距离、时间、速度等。例如，当速度一定时，路程与时间成正比，可以用一次函数表示。根据已知数据，可以利用一次函数预测未来的趋势。例如，根据近几年的销售额数据，可以预测未来某一年的销售额。在决策过程中，可以利用一次函数对方案进行评估和选择。例如，在定价问题中，可以利用一次函数求出最大利润对应的售价。实际问题中一次函数应用03反比例函数初步认识反比例函数定义图像特征反比例函数的图像是两条经过原点的曲线，分别位于第一、三象限和第二、四象限。形如y=k/x(k≠0)的函数称为反比例函数。反比例函数定义及图像特征反比例函数图像关于原点对称。反比例函数性质探讨当k>0时，反比例函数图像位于第一、三象限，在各象限内，y随x的增大而减小。当k<0时，反比例函数图像位于第二、四象限，在各象限内，y随x的增大而增大。010203与一次函数对比分析一次函数图像是一条直线，而反比例函数图像是两条曲线。01一次函数在整个定义域内单调，而反比例函数在各象限内单调。02一次函数与x轴、y轴有交点，而反比例函数与x轴、y轴无交点。03反比例函数在实际问题中的应用通过反比例函数解决实际问题的一般步骤例如，速度和时间的关系、电阻和电流的关系等。建立反比例函数模型、求解反比例函数、解释实际意义。简单应用问题解析04二次函数入门知识二次函数基本概念及图像特征二次函数定义形如$y=ax^2+bx+c$（$aneq0$）的函数称为二次函数。图像特征二次函数的图像是一条抛物线，具有对称轴和顶点。对称轴公式$x=-frac{b}{2a}$。顶点坐标公式$left(-frac{b}{2a},c-frac{b^2}{4a}right)$。010203当$a>0$时，抛物线开口向上。当$a<0$时，抛物线开口向下。开口大小与$|a|$的大小有关，$|a|$越大，开口越窄。抛物线开口方向判断方法利用配方法利用公式法直接代入顶点坐标公式$left(-frac{b}{2a},c-frac{b^2}{4a}right)$求解。将二次函数$y=ax^2+bx+c$转化为顶点式$y=a(x-h)^2+k$，其中$(h,k)$即为顶点坐标。顶点坐标求解技巧求解与$x$轴交点问题求解最值问题求解与$y$轴交点问题根据顶点坐标和开口方向，确定函数的最大值或最小值。令$y=0$，解一元二次方程$ax^2+bx+c=0$，求得与$x$轴交点坐标。令$x=0$，代入二次函数解析式求得$y$值，即为与$y$轴交点坐标。简单二次函数应用问题05函数图象变换规律探索将函数图象沿x轴或y轴方向移动，不改变图象的形状和大小。平移变换左加右减，上加下减。即将函数图象向左或向右平移|a|个单位，或向上或向下平移|b|个单位。平移变换规律如函数y=x^2，将其图象向左平移2个单位，得到新的函数y=(x+2)^2。平移变换实例平移变换对函数图象影响01伸缩变换将函数图象在x轴或y轴方向进行拉伸或压缩，改变图象的形状和大小。伸缩变换原理剖析02伸缩变换规律横轴伸缩变换，纵轴伸缩变换。即将函数图象在x轴方向拉伸或压缩a倍，或在y轴方向拉伸或压缩b倍。03伸缩变换实例如函数y=x^2，将其图象在x轴方向压缩2倍，得到新的函数y=(2x)^2。对称变换将函数图象关于x轴或y轴进行对称变换，得到新的函数图象。对称变换规律关于x轴对称，关于y轴对称。即将函数图象关于x轴或y轴进行对称变换。对称变换实例如函数y=x^2，将其图象关于x轴对称，得到新的函数y=-x^2。030201对称变换在函数中应用复杂图象变换复杂图象变换实例将多种图象变换综合应用，得到新的函数图象。如函数y=x^2，先将其图象向左平移2个单位，再在x轴方向压缩2倍，得到新的函数y=(2(x+2))^2。复杂图象变换综合问题06章节复习与测试01020304函数概念函数表示法函数的性质一次函数掌握函数的定义，了解自变量、因变量的关系，能够判断两个变量之间是否构成函数关系。熟悉函数的三种表示方法（解析式、表格、图象），能够根据实际问题选择合适的表示方法。掌握一次函数的定义、图象和性质，能够求解一次函数的解析式，并根据实际问题进行应用。理解函数的单调性、奇偶性等基本性质，能够运用性质解决相关问题。关键知识点回顾总结例题1例题2例题3例题4解析式求函数值，通过给定自变量求因变量的值，强化函数概念的理解。函数图象的识别与绘制，根据函数解析式绘制图象，或根据图象判断函数类型。一次函数的应用题，运用一次函数解决实际问题，如求解速度、时间、距离等问题。函数性质的运用，利用函数的单调性、奇偶性解决相关问题。典型例题剖析讲解自测题1自测题3自测题2自测题4选择题，选择正确的函数图象或解析式。判断题，判断关于函数概念的叙述是否正确。应用题，运用所学知识解决实际问题。计算题，求解一次函数的解析式，并计算特定自变量下的函数值。自测题设置与答案提示难题2函数图象的变换与识别，通过平移、伸缩等变换得到新的函数图象，并判断其类型和性质。难题4函数综合题，涉及多个知识点和方法的综合运用，旨在提高学生的综合解题能力。难题3分段函数的求解与应用，掌握分段函数的定义和求解方法，能够解决实际问题中的分段情况。难题1复杂一次函数应用题，涉及多个变量和条件，需要综合运用一次函数知识解决问题。拓展延伸：挑战难题感谢您的观看THANKS2024-11-272024年初中数学人教版八年级上册函数目录CONTENTS函数基础概念一次函数与正比例函数反比例函数二次函数初步认识函数图象变换规律函数思想在其他学科中应用01函数基础概念变量在数学中，可以取不同数值的量称为变量，常用字母表示，如x、y等。常量变量与常量在一定情境下，始终保持不变的量称为常量，如圆周率π、自然对数的底数e等。0102对于两个非空数集A和B，如果按照某种对应关系f，对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都存在唯一确定的元素y与之对应，则称f为从集合A到集合B的函数。函数定义包括单调性、奇偶性、周期性等。这些性质有助于我们更深入地理解函数的变化规律和图像特征。函数性质函数定义及性质通过数学表达式来表示函数关系，如y=f(x)。解析法通过列出自变量与因变量的对应值来表示函数关系。表格法通过绘制函数图像来表示函数关系，可以直观地反映函数的性质和变化趋势。图象法函数表示方法010203线性函数形如y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的函数，其图象为一条直线。线性函数具有均匀变化的特性，是初中数学中重要的函数类型之一。经典函数类型简介二次函数形如y=ax²+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数，其图象为一条抛物线。二次函数具有极值点，可以描述某些具有最大值或最小值的问题。反比例函数形如y=k/x（k为常数，k≠0）的函数，其图象为双曲线。反比例函数描述了两个量之间的反比关系，即一个量增大时，另一个量减小。02一次函数与正比例函数一次函数定义及图像特征图像特征一次函数的图像是一条直线，该直线在坐标轴上的截距为$b$，斜率为$k$。当$k>0$时，随着$x$的增大，$y$也增大；当$k<0$时，随着$x$的增大，$y$减小。一次函数定义一次函数是形如$y=kx+b$（$kneq0$）的函数，其中$x$为自变量，$y$为因变量，$k$和$b$为常数。正比例函数定义形如$y=kx$（$kneq0$）的函数称为正比例函数，其中$x$为自变量，$y$为因变量，$k$为比例系数。性质正比例函数定义及性质正比例函数的图像是一条过原点的直线，其斜率等于比例系数$k$。当$k>0$时，图像位于第一、三象限；当$k<0$时，图像位于第二、四象限。0102在一次函数$y=kx+b$中，$k$称为斜率，表示函数图像相对于$x$轴倾斜的程度。斜率等于函数图像上任意两点间纵坐标差与横坐标差之商。斜率在一次函数$y=kx+b$中，$b$称为$y$轴上的截距，表示函数图像与$y$轴交点的纵坐标。截距的绝对值等于函数图像与$y$轴之间的距离。截距斜率与截距概念解析求解问题利用一次函数可以求解一些实际问题，如计算距离、时间、速度等。例如，当速度一定时，路程与时间成正比，可以用一次函数表示。实际问题中一次函数应用预测问题根据已知数据，可以利用一次函数预测未来的趋势。例如，根据近几年的销售额数据，可以预测未来某一年的销售额。决策问题在决策过程中，可以利用一次函数对方案进行评估和选择。例如，在定价问题中，可以利用一次函数求出最大利润对应的售价。03反比例函数反比例函数定义形如y=k/x(k≠0)的函数称为反比例函数。图像特征反比例函数的图像是两条经过原点的曲线，分别位于第一、三象限和第二、四象限。反比例函数定义及图像特征反比例函数图像关于原点对称。当k>0时，反比例函数图像位于第一、三象限，在各象限内，y随x的增大而减小。当k<0时，反比例函数图像位于第二、四象限，在各象限内，y随x的增大而增大。反比例函数性质探讨010203与一次函数对比分析一次函数图像是一条直线，而反比例函数图像是两条曲线。01一次函数在整个定义域内单调，而反比例函数在各象限内单调。02一次函数与反比例函数在图像上可能有交点，但交点的坐标不易求解。03实际问题中反比例函数应用反比例函数在实际问题中有着广泛的应用，如速度和时间的关系、压力和体积的关系等。在解决实际问题时，需要根据具体情况确定反比例函数的解析式，并利用其性质求解相关问题。04二次函数初步认识定义形如y=ax^2+bx+c（a、b、c为常数，且a≠0）的函数称为二次函数。基本形式二次函数定义及基本形式一般式y=ax^2+bx+c，顶点式y=a(x-h)^2+k，交点式y=a(x-x1)(x-x2)。0102当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。开口方向对于一般式y=ax^2+bx+c，顶点坐标为(-b/2a,c-b^2/4a)；对于顶点式y=a(x-h)^2+k，顶点坐标为(h,k)。顶点坐标抛物线开口方向与顶点坐标判别式Δ=b^2-4ac。当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点。当Δ=0时，方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有一个交点。当Δ<0时，方程无实数根，抛物线与x轴无交点。判别式Δ和根关系探讨经典二次函数题型解析求二次函数解析式01根据已知条件，选择合适的二次函数形式，利用待定系数法求解。二次函数与一元二次方程关系02理解二次函数与一元二次方程的联系，掌握利用二次函数图像解决一元二次方程问题的方法。最值问题03对于开口向上的抛物线，函数在顶点处取得最小值；对于开口向下的抛物线，函数在顶点处取得最大值。学会利用顶点坐标求解最值问题。抛物线平移问题04理解抛物线平移的规律，掌握平移后的抛物线解析式的求解方法。05函数图象变换规律函数图像在平面内移动，形状和大小不发生变化。平移变换规律总结平移变换概念函数图像沿x轴方向移动，左加右减。横向平移函数图像沿y轴方向移动，上加下减。纵向平移函数图像关于x轴对称，即y值取反。关于x轴对称函数图像关于y轴对称，即x值取反。关于y轴对称01020304函数图像关于某条直线或点对称。对称变换概念函数图像关于原点对称，即x和y值同时取反。关于原点对称对称变换规律总结函数图像在x轴方向上拉伸或压缩，改变x的系数。横向伸缩函数图像在y轴方向上拉伸或压缩，改变y的系数。纵向伸缩函数图像在某一方向上拉伸或压缩。伸缩变换概念伸缩变换规律总结先进行平移变换，再进行对称变换，最后进行伸缩变换。变换顺序将多种变换组合在一起，形成复杂的图象变换