2024-2025学年新教材高中数学第2章等式与不等式2.2不等式2.2.1不等式及其性质第2课时不等式及其性质学案含解析新人教B版必修第一册

PAGE8-第2课时不等式及其性质学习目标核心素养1.驾驭不等式的性质．(重点)2.能利用不等式的性质进行数或式的大小比较或不等式的证明．(难点)3.通过类比等式与不等式的性质，探究两者之间的共性与差异．1.通过不等式性质的推断与证明，培育逻辑推理实力．2.借助不等式性质求范围问题，提升数学运算素养．糖水跟煲汤一样，具有滋补养生的功效．可以作为糖水的材料有许多，不同的材料具有不同的功效，有的具于凉爽性，有的具有燥热性．依据不同的主料来配搭不同辅料，可以达到相辅相成的效果．专家称，喝糖水可缓解烦躁失眠，在烦躁而不简洁入眠时，喝糖水可使体内产生大量血清素，亦可助眠．问题(1)假如向一杯糖水里加糖，糖水变甜了，为什么？(2)把原来的糖水(淡)与加糖后的糖水(浓)混合到一起，你能得出什么不等关系？如何证明？性质1(可加性)：a＞b⇒a＋c＞b＋c．性质2(可乘性)：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a＞b，,c＞0))⇒ac＞bc．性质3：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a＞b，,c＜0))⇒ac＜bc．性质4(传递法)：a＞b，b＞c⇒a＞c．推论1(移项法则)：a＋b＞c⇒a＞c－b．推论2(同向可加性)：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a＞b，,c＞d))⇒a＋c＞b＋d．推论3(同向同正可乘性)：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a＞b＞0，,c＞d＞0))⇒ac＞bd．推论4(正数乘方性)：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n＞1).推论5(正数开方性)：a＞b＞0⇒eq\r(a)＞eq\r(b)．[拓展](1)性质1说明不等式两边都加上同一个实数，所得的不等式与原不等式同向．性质1是不等式移项法则的基础，不等式中任何一项变更符号后，可以把它从一边移到另一边．(2)性质2，3证明过程中的关键步骤是依据“同号相乘得正，异号相乘得负”的法则来完成的．肯定要留意性质2，3中c的符号，因为c的符号不同，结论恰好相反．性质2，3中的a，b可以是实数，也可以是式子．(3)推论2中，同向不等式可相加，但不能相减，即由a＞b，c＞d，可以得出a＋c＞b＋d，但不能得出a－c＞b－d.(4)不等式的性质中，对表达不等式性质的各不等式，要留意“箭头”是单向的还是双向的，即符号“⇔”表示等价关系，可以相互推出，而符号“⇒”只能从左边推向右边，该性质不具备可逆性．尤其在证明不等式时，要留意是否可逆．1．思索辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)假如a＞b，c＜0，那么ac＜bc. ()(2)假如a＜b＜0，那么a2＞b2. ()(3)假如eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)＜0，那么|a|＞|b|. ()[答案](1)√(2)√(3)×2．与a>b等价的不等式是()A．|a|>|b| B．a2>b2C．eq\f(a,b)>1 D．a3>b3D[可利用赋值法．令a＝－5，b＝0，则A，B正确而不满意a>b，再令a＝－3，b＝－1，则C正确而不满意a>b，故选D.]3．设x<a<0，则下列不等式肯定成立的是()A．x2<ax<a2 B．x2>ax>a2C．x2<a2<ax D．x2>a2>axB[∵x<a<0，∴x2>a2.∵x2－ax＝x(x－a)>0，∴x2>ax.又ax－a2＝a(x－a)>0，∴ax>a2.∴x2>ax>a2.故选B.]4．(教材P63练习B②改编)若a＜b＜0，则下列不等式中不成立的是()A．a2＞b2 B．eq\f(1,a－b)＞eq\f(1,a)C．eq\f(1,a)＞eq\f(1,b) D．a5＋b5＜a2b3＋a3b2B[由于a＜b＜0，则|a|＞|b|，即a2＞b2，故A成立；当a＝－2，b＝－1时，eq\f(1,－2－（－1）)＝－1＜－eq\f(1,2)，故B不成立；由a＜b＜0，两边同时除以ab可得eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)，故C成立；a5＋b5－(a2b3＋a3b2)＝a2(a3－b3)－b2(a3－b3)＝(a2－b2)(a3－b3)＝(a－b)2(a＋b)(a2＋ab＋b2)＜0，故D成立．故选B.]利用不等式性质推断命题真假【例1】对于实数a，b，c，下列命题中的真命题是()A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b＞0，则eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)C．若a＜b＜0，则eq\f(b,a)＞eq\f(a,b)D．若a＞b，eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)，则a＞0，b＜0[思路点拨]本题可以利用不等式的性质干脆推断命题的真假，也可以采纳特别值法推断．D[法一：∵c2≥0，∴c＝0时，有ac2＝bc2，故A为假命题；由a＞b＞0，有ab＞0⇒eq\f(a,ab)＞eq\f(b,ab)⇒eq\f(1,b)＞eq\f(1,a)，故B为假命题；a＜b＜0⇒－a＞－b＞0⇒－eq\f(1,b)＞－eq\f(1,a)＞0⇒eq\f(a,b)＞eq\f(b,a)，故C为假命题；eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a＞b⇒b－a＜0，,\f(1,a)＞\f(1,b)⇒\f(1,a)－\f(1,b)＞0⇒\f(b－a,ab)＞0))⇒ab＜0.∵a＞b，∴a＞0且b＜0，故D为真命题．法二：特别值解除法．取c＝0，则ac2＝bc2，故A错；取a＝2，b＝1，则eq\f(1,a)＝eq\f(1,2)，eq\f(1,b)＝1.有eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)，故B错；取a＝－2，b＝－1，则eq\f(b,a)＝eq\f(1,2)，eq\f(a,b)＝2，有eq\f(b,a)＜eq\f(a,b)，故C错．故选D.]运用不等式的性质推断时，要留意不等式成立的条件，不要弱化条件，尤其是不能凭想当然随意捏造性质．解有关不等式选择题时，也可采纳特别值法进行解除，留意取值肯定要遵循如下原则：一是满意题设条件；二是取值要简洁，便于验证计算．eq\a\vs4\al([跟进训练])1．下列命题正确的是()A．若a2＞b2，则a＞bB．若eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)，则a＜bC．若ac＞bc，则a＞bD．若eq\r(a)＜eq\r(b)，则a＜bD[A错，例如(－3)2＞22；B错，例如eq\f(1,2)＞eq\f(1,－3)；C错，例如当c＝－2，a＝－3，b＝2时，有ac＞bc，但a＜b.故选D.]利用不等式性质证明简洁不等式[探究问题]1．证明不等式的常用方法有哪些？[提示]比较法，综合法，分析法，反证法．2．综合法证明不等式的基本思路是什么？[提示]从已知条件动身，综合利用各种结果，经逐步推导，最终得出结论．【例2】若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：eq\f(e,（a－c）2)＞eq\f(e,（b－d）2).[思路点拨]可结合不等式的基本性质，分析所证不等式的结构，有理有据地导出证明结果．[证明]∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.又∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0.∴(a－c)2＞(b－d)2＞0.两边同乘以eq\f(1,（a－c）2（b－d）2)，得eq\f(1,（a－c）2)＜eq\f(1,（b－d）2).又e＜0，∴eq\f(e,（a－c）2)＞eq\f(e,（b－d）2).本例条件不变的状况下，求证：eq\f(e,a－c)＞eq\f(e,b－d).[证明]∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0.∵a＞b＞0，∴a－c＞b－d＞0，∴0＜eq\f(1,a－c)＜eq\f(1,b－d).又∵e＜0，∴eq\f(e,a－c)＞eq\f(e,b－d).利用不等式的性质证明不等式的留意事项(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题肯定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并留意在解题中敏捷精确地加以应用．(2)应用不等式的性质进行推导时，应留意紧扣不等式的性质成立的条件，切不行省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．不等式性质的应用[探究问题]1．小明同学做题时进行如下变形：∵2<b<3，∴eq\f(1,3)<eq\f(1,b)<eq\f(1,2)，又∵－6<a<8，∴－2<eq\f(a,b)<4.你认为正确吗？为什么？[提示]不正确．因为不等式两边同乘以一个正数，不等号的方向不变，但同乘以一个负数，不等号方向变更，在本题中只知道－6<a<8，不明确a值的正负，故不能将eq\f(1,3)<eq\f(1,b)<eq\f(1,2)与－6<a<8两边分别相乘，只有两边都是正数的同向不等式才能分别相乘．2．由－6<a<8，－4<b<2，两边分别相减得－2<a－b<6，你认为正确吗？[提示]不正确．因为同向不等式具有可加性，但不能相减，解题时要充分利用条件，运用不等式的性质进行等价变形，而不行随意“创建”性质．3．你知道下面的推理、变形错在哪儿吗？∵2<a－b<4，∴－4<b－a<－2.又∵－2<a＋b<2，∴0<a<3，－3<b<0，∴－3<a＋b<3.这怎么与－2<a＋b<2冲突了呢？[提示]利用几个不等式的范围来确定某不等式的范围要留意：同向不等式两边可以相加(相乘)，这种转化不是等价变形．本题中将2<a－b<4与－2<a＋b<2两边相加得0<a<3，又将－4<b－a<－2与－2<a＋b<2两边相加得出－3<b<0，又将该式与0<a<3两边相加得出－3<a＋b<3，多次运用了这种转化，导致了a＋b范围的扩大．【例3】已知1＜a＜4，2＜b＜8，试求a－b与eq\f(a,b)的取值范围．[思路点拨]依据不等式的性质，找到－b与eq\f(1,b)的范围，进而求出a－b与eq\f(a,b)的取值范围．[解]因为1＜a＜4，2＜b＜8，所以－8＜－b＜－2，所以1－8＜a－b＜4－2，即－7＜a－b＜2.又因为eq\f(1,8)＜eq\f(1,b)＜eq\f(1,2)，所以eq\f(1,8)＜eq\f(a,b)＜eq\f(4,2)＝2，即eq\f(1,8)＜eq\f(a,b)＜2.求含字母的数(或式子)的取值范围时，一要留意题设中的条件，二要正确运用不等式的性质，尤其是两个同方向的不等式可加不行减，可乘不行除．eq\a\vs4\al([跟进训练])2．已知－eq\f(π,2)≤α＜β≤eq\f(π,2)，求eq\f(α＋β,2)，eq\f(α－β,2)的取值范围．[解]∵－eq\f(π,2)≤α＜β≤eq\f(π,2)，∴－eq\f(π,4)≤eq\f(α,2)＜eq\f(π,4)，－eq\f(π,4)＜eq\f(β,2)≤eq\f(π,4)，两式相加，得－eq\f(π,2)＜eq\f(α＋β,2)＜eq\f(π,2).又∵－eq\f(π,4)＜eq\f(β,2)≤eq\f(π,4)，∴－eq\f(π,4)≤－eq\f(β,2)＜eq\f(π,4)，∴－eq\f(π,2)≤eq\f(α－β,2)＜eq\f(π,2)，又知α＜β，∴eq\f(α－β,2)＜0.故－eq\f(π,2)≤eq\f(α－β,2)＜0.学问：1．在应用不等式性质时，肯定要搞清它们成立的前提条件，不行强化或弱化成立的条件．2．要留意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性．3．证明不等式常选用综合法，对于不便利用综合法证明的不等式可以敏捷选择分析法与反证法．方法：证明不等式常用的方法有：作差(商)比较法、综合法、分析法、反证法．1．若a＞b＞0，c＜d＜0，则肯定有()A.eq\f(a,c)＞eq\f(b,d) B．eq\f(a,c)＜eq\f(b,d)C．eq\f(a,d)＞eq\f(b,c) D．eq\f(a,d)＜eq\f(b,c)D[法一：∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0，∴eq\f(1,－d)＞eq\f(1,－c)＞0.又a＞b＞0，所以eq\f(a,－d)＞eq\f(b,－c)，所以eq\f(a,d)＜eq\f(b,c).法二：令a＝3，b＝2，c＝－3，d＝－2.则eq\f(a,c)＝－1，eq\f(b,d)＝－1，解除选项A，B.又eq\f(a,d)＝－eq\f(3,2)，eq\f(b,c)＝－eq\f(2,3)，所以eq\f(a,d)＜eq\f(b,c)，解除选项C.]2．假如a＞b＞0，c＞d＞0，则下列不等式中不正确的是()A．a－d＞b－c B．－eq\f(a,d)＜－eq\f(b,c)C．a＋d＞b＋c