2024-2025学年新教材高中数学第五章三角函数5.5.2简单的三角恒等变换二课时素养评价含解析新人教A版必修第一册

PAGE11-简洁的三角恒等变换(二)(15分钟35分)1.设sinQUOTE=QUOTE，则sin2θ= ()A.-QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.sin2θ=-cosQUOTE=2sin2QUOTE-1=2×QUOTE-1=-QUOTE.2.已知等腰三角形的顶角的余弦值等于QUOTE，则它的底角的余弦值为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.设等腰三角形的顶角为α，底角为β，则cosα=QUOTE.又β=QUOTE-QUOTE，所以cosβ=cosQUOTE=sinQUOTE=QUOTE=QUOTE.3.已知函数f(x)=sinx+acosx的图象的一条对称轴是x=QUOTE，则函数gQUOTE=asinx+cosx的最大值是 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.由于函数f(x)的图象关于x=QUOTE对称，则f(0)=fQUOTE，所以a=-QUOTE-QUOTE，所以a=-QUOTE，所以g(x)=-QUOTEsinx+cosx=QUOTEsinQUOTE，所以g(x)max=QUOTE.【补偿训练】函数f(x)=sinx-cosQUOTE的值域为 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.f(x)=sinx-cosQUOTE=QUOTEsinx-QUOTEcosx=QUOTEsinQUOTE，所以f(x)∈QUOTE.4.函数y=cos2QUOTE+sin2QUOTE-1的最小正周期为_______.

【解析】y=cos2QUOTE+sin2QUOTE-1=QUOTE+QUOTE-1=QUOTE=QUOTEsin2x，所以T=QUOTE=π.答案：π【补偿训练】函数y=QUOTE的最小正周期等于 ()A.QUOTE B.π C.2π D.3π【解析】选C.y=QUOTE=tanQUOTE，T=QUOTE=2π.5.如图，l1，l2，l3是同一平面内的三条平行直线，l1与l2之间的距离是1，l2与l3之间的距离是2，正三角形ABC的三个顶点分别在l1，l2，l3上，则△ABC的边长等于_______.

【解析】设其边长为a，AB与l2的夹角为θ，易知1=asinθ，2=asinQUOTE，所以2sinθ=sinQUOTE，即QUOTEcosθ-QUOTEsinθ=0，可得tanθ=QUOTE，所以sinθ=QUOTE，所以a=QUOTE=QUOTE.答案：QUOTE6.已知tan(α+β)=λtan(α-β)，其中λ≠1，求证：QUOTE=QUOTE.【证明】QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分，共20分)1.已知sinQUOTE=QUOTE，则cos2QUOTE的值为 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】选D.因为sinQUOTE=QUOTE，则cos2QUOTE=cos2QUOTE=sin2QUOTE=QUOTE.2.若函数f(x)=5cosx+12sinx在x=θ时取得最小值，则cosθ等于()A.QUOTE B.-QUOTE C.QUOTE D.-QUOTE【解析】选B.f(x)=5cosx+12sinx=13QUOTE=13sin(x+α)，其中sinα=QUOTE，cosα=QUOTE，由题意知θ+α=2kπ-QUOTE(k∈Z)，得θ=2kπ-QUOTE-α(k∈Z)，所以cosθ=cosQUOTE=cosQUOTE=-sinα=-QUOTE.3.已知f(x)=sin2QUOTE，若a=fQUOTE，b=fQUOTE，则 ()A.a+b=0 B.a-b=0C.a+b=1 D.a-b=1【解析】选C.a=fQUOTE=sin2QUOTE=QUOTE=QUOTE，b=fQUOTE=sin2QUOTE=QUOTE=QUOTE，则可得a+b=1.4.已知a∈R，f(x)=cosx(asinx-cosx)+cos2QUOTE满意fQUOTE=f(0)，则当x∈QUOTE时，f(x)的值域为 ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】选D.由题意得f(x)=QUOTEsin2x-QUOTE+QUOTE=QUOTEsin2x-cos2x.又fQUOTE=f(0)，所以a=2QUOTE，所以f(x)=QUOTEsin2x-cos2x=2sinQUOTE，所以当x∈QUOTE时，2x-QUOTE∈QUOTE，f(x)∈QUOTE.【补偿训练】若函数f(x)=QUOTEcosx，0≤x<QUOTE，则f(x)的最大值是()A.1 B.2C.QUOTE+1 D.QUOTE+2【解析】选B.f(x)=QUOTEcosx=QUOTEcosx=QUOTEsinx+cosx=2sinQUOTE.因为0≤x<QUOTE，所以QUOTE≤x+QUOTE<QUOTEπ，所以当x+QUOTE=QUOTE时，f(x)取到最大值2.二、多选题(共10分，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)5.函数y=cosQUOTE+sinQUOTE具有性质 ()A.最大值为QUOTEB.最大值为1C.图象关于QUOTE对称D.图象关于直线x=-QUOTE对称【解析】选BD.y=cosQUOTE+sinQUOTE=-sinx+QUOTEcosx+QUOTEsinx=QUOTEcosx-QUOTEsinx=cosQUOTE，所以函数的最大值为1，令x+QUOTE=0，求得x=-QUOTE，可得函数图象关于直线x=-QUOTE对称.6.已知cosQUOTE·cosQUOTE=QUOTE，θ∈QUOTE，则 ()A.sin2θ=QUOTE B.sin2θ=-QUOTEC.sinθ+cosθ=-QUOTE D.sinθ+cosθ=QUOTE【解析】选BC.cosQUOTE·cosQUOTE=sinQUOTEcosQUOTE=QUOTEsinQUOTE=QUOTEcos2θ=QUOTE，所以cos2θ=QUOTE.因为θ∈QUOTE，所以2θ∈QUOTE，所以sin2θ=-QUOTE，且sinθ+cosθ<0.所以(sinθ+cosθ)2=1+sin2θ=1-QUOTE=QUOTE.所以sinθ+cosθ=-QUOTE.三、填空题(每小题5分，共10分)7.函数f(x)=sinx+cosx的单调递增区间为_______，已知sinα=QUOTE，且α∈QUOTE，则fQUOTE=_______.

【解析】f(x)=sinx+cosx=QUOTEsinQUOTE，当2kπ-QUOTE≤x+QUOTE≤2kπ+QUOTE，k∈Z，即2kπ-QUOTE≤x≤2kπ+QUOTE，k∈Z时，函数f(x)单调递增，所以f(x)的递增区间是QUOTE，k∈Z.因为sinα=QUOTE，α∈QUOTE，所以cosα=QUOTE，所以fQUOTE=QUOTEsinQUOTE=QUOTEsinQUOTE=QUOTEsinα+QUOTEcosα=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.答案：QUOTE，k∈ZQUOTE8.在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示).假如小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为θ，那么cos2θ的值等于_______.

【解析】由题意知5cosθ-5sinθ=1，θ∈QUOTE.所以cosθ-sinθ=QUOTE.因为(cosθ+sinθ)2+(cosθ-sinθ)2=2，所以cosθ+sinθ=QUOTE，所以cos2θ=cos2θ-sin2θ=(cosθ+sinθ)(cosθ-sinθ)=QUOTE.答案：QUOTE【补偿训练】如图所示，有一块正方形的钢板ABCD，其中一个角有部分损坏，现要把它截成一块正方形的钢板EFGH，其面积是原正方形钢板面积的三分之二，则应按角度x=_______来截.

【解析】设正方形钢板的边长为a，截后的正方形边长为b，则QUOTE=QUOTE，QUOTE=QUOTE，又a=GC+CF=bsinx+bcosx，所以sinx+cosx=QUOTE，所以sinQUOTE=QUOTE.因为0<x<QUOTE，所以QUOTE<x+QUOTE<QUOTE，所以x+QUOTE=QUOTE或QUOTE，x=QUOTE或QUOTE.答案：QUOTE或QUOTE四、解答题(每小题10分，共20分)9.已知函数f(x)=sinx·(2cosx-sinx)+cos2x.(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)若QUOTE<α<QUOTE，且f(α)=-QUOTE，求sin2α的值.【解析】(1)因为f(x)=sinx·(2cosx-sinx)+cos2x，所以f(x)=sin2x-sin2x+cos2x=sin2x+cos2x=QUOTEsinQUOTE，所以函数f(x)的最小正周期是π.(2)f(α)=-QUOTE，即QUOTEsinQUOTE=-QUOTE，sinQUOTE=-QUOTE.因为QUOTE<α<QUOTE，所以QUOTE<2α+QUOTE<QUOTE，所以cosQUOTE=-QUOTE，所以sin2α=sinQUOTE=QUOTEsinQUOTE-QUOTEcosQUOTE=QUOTE×QUOTE-QUOTE×QUOTE=QUOTE.10.点P在直径AB=1的半圆上移动，过点P作切线PT，且PT=1，∠PAB=α，则当α为何值时，四边形ABTP的面积最大？【解析】如图所示.因为AB为半圆的直径，所以∠APB=QUOTE，又AB=1，所以PA=cosα，PB=sinα.又PT切半圆于P点，所以∠TPB=∠PAB=α，所以S四边形ABTP=S△PAB+S△TPB=QUOTEPA·PB+QUOTEPT·PB·sinα=QUOTEsinαcosα+QUOTEsin2α=QUOTEsin2α+QUOTE(1-cos2α)=QUOTEsinQUOTE+QUOTE.因为0<α<QUOTE，所以-QUOTE<2α-QUOTE<QUOTE，所以当2α-QUOTE=QUOTE，即α=QUOTE时，S四边形ABTP取得最大值QUOTE+QUOTE.已知函数f(x)=sin4x+cos4x，x∈QUOTE，若f(x1)<f(x2)，则肯定有()A.x1<x2