2024-2025学年新教材高中数学第三章函数3.2函数与方程不等式之间的关系第1课时函数的零点二次函数的零点及其与对应方程不等式解集之间的关系学案含解析新人教B版必修第一册

PAGE3.2函数与方程、不等式之间的关系素养目标·定方向课程标准学法解读1．结合学过的函数图像，了解函数零点、方程的解与不等式的关系．2．结合详细连续函数及其图像的特点，了解函数零点存在定理，了解用二分法求函数零点近似值具有一般性.本节在学习中首先利用方程的解引出函数的零点，体现数学素养中的数学抽象，再把函数的零点、方程的解与函数的图像与x轴交点横坐标三者统一，结合函数的图像及性质会推断函数零点问题.第1课时函数的零点、二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系必备学问·探新知基础学问1．函数的零点(1)零点的概念：假如函数y＝f(x)在实数__a处的函数值等于0__，即__f(a)＝0__，则a为函数f(x)的零点．(2)零点的意义思索1：(1)函数的零点是点吗？(2)全部的函数都有零点吗？提示：(1)函数的零点是实数，而不是点．如函数f(x)＝x＋1的零点是－1，而不是(－1,0)．(2)并不是全部的函数都有零点，如函数f(x)＝eq\f(1,x)，y＝x2＋1均没有零点．2．二次函数的零点及其对应方程、不等式解集之间的关系设f(x)＝ax2＋bx＋c，方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的判别式Δ＝b2－4判别式Δ＞0Δ＝0Δ＜0方程f(x)＝0的根有两个不等的实数解x1，x2有两个相等的实数解x1，x2没有实数解函数y＝f(x)的图像f(x)＞0的解集__{x|x＜x1或x＞x2}____{x|x≠－eq\f(b,2a)}____R__f(x)＜0的解集__{x|x1＜x＜x2}____∅____∅__思索2：二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c中，二次项系数a＜0时，怎样求不等式f(x)＞0的解集？提示：对于二次项系数是负数(即a＜0)的不等式，可以先把二次项系数化成正数，再求解；也可以画出二次项系数为负数时的函数图像，再求解．基础自测1．函数y＝x2－2x的零点是(A)A．0,2 B．－2,0C．1,0 D．－1,0解析：函数y＝x2－2x的零点就是方程x2－2x＝0的实数根，解x2－2x＝0，得x1＝0，x2＝2.故选A．2．已知二次函数f(x)＝ax2＋6x－1有两个不同的零点，则实数a的取值范围是(A)A．a>－9且a≠0 B．a>－9C．a<－9 D．a>0或a<0解析：由题意可知f(x)＝0有两个根，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a≠0,Δ＝36＋4a>0))，∴a>－9且a≠0.3．下列各图像表示的函数中没有零点的是(D)解析：选项D中，函数图像与x轴没有交点，故该函数没有零点．4．不等式9x2＋6x＋1≤0的解集是__{x|x＝－eq\f(1,3)}__.解析：不等式可化为(3x＋1)2≤0，因此只有x＝－eq\f(1,3)，即解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＝－\f(1,3))).5．若函数f(x)＝x2＋ax＋b的零点是2和－4，则a＝__2__，b＝__－8__.[解析]由题意可知，2和－4是方程x2＋ax＋b＝0的两根，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2＋－4＝－a,2×－4＝b))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2,b＝－8)).关键实力·攻重难类型求函数的零点┃┃典例剖析__■典例1求下列函数的零点：(1)y＝x－1；(2)y＝x2－x－6.思路探究：把每一个函数解析式因式分解，化为几个因式之积的形式，最好为一次因式，然后令每一个因式等于零再解．解析：(1)令y＝x－1＝0，得x＝1，∴函数y＝x－1的零点是1.(2)y＝x2－x－6＝(x－3)(x＋2)，令(x－3)(x＋2)＝0，得x＝－2或x＝3，∴函数y＝x2－x－6的零点是－2和3.归纳提升：函数零点的求法：(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．(2)几何法：对于不能用求根公式的方程f(x)＝0，可以将它与函数y＝f(x)的图像联系起来，图像与x轴的交点横坐标即为函数的零点．┃┃对点训练__■1．求函数y＝(ax－1)(x＋2)的零点．解析：当a＝0时，y＝－(x＋2)，令y＝0；得x＝－2；当a≠0时，令y＝0，得x1＝eq\f(1,a)，x2＝－2.①当eq\f(1,a)＝－2，即a＝－eq\f(1,2)时，函数的零点为－2.②当eq\f(1,a)≠－2，即a≠－eq\f(1,2)时，函数的零点为eq\f(1,a)，－2.综上所述，当a＝0或－eq\f(1,2)时，所求函数的零点为－2，当a≠0且a≠－eq\f(1,2)时，所求函数的零点为eq\f(1,a)，－2.类型零点个数的推断┃┃典例剖析__■典例2推断下列函数的零点个数：(1)f(x)＝x2－7x＋12；(2)f(x)＝x2－eq\f(1,x)；(3)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≥0，,x－1，x＜0.))思路探究：由题目可知：(1)中f(x)为二次函数，解答本题可干脆推断对应的一元二次方程根的个数；(2)中求函数的零点可干脆解相应的方程或转化为两个熟知的基本初等函数y＝x2与y＝eq\f(1,x)，看两函数图像交点的个数即可．(3)分段函数求零点在每段上分别求出即可．解析：(1)由f(x)＝0，即x2－7x＋12＝0得Δ＝49－4×12＝1>0，∴方程x2－7x＋12＝0有两个不相等的实数根3,4，∴函数f(x)有两个零点，分别是3,4.(2)解法一：由f(x)＝0，得x2－eq\f(1,x)＝0，∴eq\f(x3－1,x)＝0，∴x3－1＝0且x≠0，∴x＝1.故函数f(x)＝x2－eq\f(1,x)只有一个零点．解法二：由x2－eq\f(1,x)＝0，得x2＝eq\f(1,x).令h(x)＝x2(x≠0)，g(x)＝eq\f(1,x)，在同一坐标系中画出h(x)和g(x)的图像，由图可知两函数图像只有一个交点，故函数f(x)＝x2－eq\f(1,x)只有一个零点．(3)当x≥0时，令f(x)＝0，得x＋1＝0，解得x＝－1，与x≥0冲突；当x＜0时，令f(x)＝0，得x－1＝0，解得x＝1，与x＜0冲突，∴函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≥0，,x－1，x＜0))没有零点．归纳提升：推断函数零点个数的方法(1)解方程法：转化为解方程f(x)＝0，方程有几个根，函数就有几个零点．(2)图像交点法：画出函数y＝h(x)与y＝g(x)的图像，依据图像的交点个数推断方程h(x)＝g(x)有几个根，或函数y＝h(x)－g(x)有几个零点．┃┃对点训练__■2．已知f(x)为偶函数，当x≥0时，f(x)＝－(x－1)2＋1，则满意f[f(a)]＝eq\f(1,2)的实数a的个数为(D)A．2 B．4C．6 D．8解析：作出f(x)的图像，如图，令f(t)＝eq\f(1,2)，结合图像知，t有4个值，记为t1，t2，t3，t4，易知－2＜t1＜－1，－1＜t2＜0,0＜t3＜1,1＜t4＜2.视察图像可知，f(a)＝t1有2个实根，f(a)＝t2有2个实根，f(a)＝t3有4个实根，f(a)＝t4没有实根，故f(a)＝ti(i＝1,2,3,4)共有8个实根，即满意f[f(a)]＝eq\f(1,2)的实数a的个数为8.类型已知零点个数求参数┃┃典例剖析__■典例3已知a是实数，函数f(x)＝2|x－1|＋x－a，若函数y＝f(x)有且仅有两个零点，则实数a的取值范围是__(1，＋∞)__.思路探究：把函数f(x)的两个零点问题转化为函数y＝2|x－1|＋x与y＝a的图像有且仅有两个交点问题，画出两个函数的图像，然后利用数形结合思想求出参数a的范围．解析：函数f(x)＝2|x－1|＋x－a有且仅有两个零点，即函数y＝2|x－1|＋x与y＝a有且仅有两个交点．分别作出函数y＝2|x－1|＋x与y＝a的图像，如图所示．由图易知，当a＞1时，两函数的图像有且仅有两个不同的交点，故实数a的取值范围是(1，＋∞)．归纳提升：已知函数有零点(方程有根)求参数的方法1．干脆法：依据题设条件构建关于参数的不等式(组)，通过解不等式(组)确定参数的取值范围．2．数形结合法：先对f(x)的解析式变形，将f(x)＝0转化为h(x)＝g(x)(h(x)，g(x)的图像易画出)，在同一平面直角坐标系中画出函数h(x)，g(x)的图像，然后利用数形结合思想求解．┃┃对点训练__■3．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(k,x)，x≥2，,x－12，x＜2.))若方程f(x)＝eq\f(1,2)有三个不同的实根，则实数k的取值范围是(B)A．(1,2] B．[1，＋∞)C．[1,2) D．[1,2]解析：当x＜2时，令(x－1)2＝eq\f(1,2)，解得x1＝eq\f(\r(2),2)＋1，x2＝－eq\f(\r(2),2)＋1，故f(x)＝eq\f(1,2)在x＜2时有两个不同的实根．又方程f(x)＝eq\f(1,2)有三个不同的实根，则x≥2时，f(x)＝eq\f(1,2)有一个实根，由f(x)＝eq\f(k,x)＝eq\f(1,2)，得x＝2k≥2，所以k≥1.类型解简洁的高次不等式┃┃典例剖析__■典例4求函数f(x)＝(x－2)(2x＋1)(3x－7)(x＋3)的零点，并作出函数的图像的示意图，写出不等式f(x)≥0和f(x)＜0的解集．解析：函数的零点为－3，－eq\f(1,2)，2，eq\f(7,3)，函数的定义域被这四个点分为五部分，每一部分函数值的符号如下表：x(－∞，－3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，－\f(1,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(7,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)，＋∞))f(x)＋－＋－＋所以函数的示意图如图：依据函数的图像，知不等式f(x)≥0的解集为(－∞，－3]∪eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，2))∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)，＋∞))，不等式f(x)＜0的解集为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，－\f(1,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(7,3))).归纳提升：解简洁高次不等式的一般步骤(1)将不等式右边化为0，左边分解因式．(2)计算对应方程的根，求出函数的零点．(3)列表，推断函数在各个区间上的正负．(4)依据函数在各个区间上的正负，画出函数的示意图．(5)依据函数图像与x轴的相关位置写出不等式的解集．┃┃对点训练__■4．求函数f(x)＝(x＋2)(3x－2)(2x－4)的零点，并作出函数的图像的示意图，写出不等式f(x)＜0和f(x)＞0的解集．解析：函数的零点为－2，eq\f(2,3)，2，函数的定义域被这三个点分为四部分，每一部分函数值的符号如表：x(－∞，－2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(2,3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，2))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，＋∞))f(x)－＋－＋所以函数的示意图如图：依据函数的图像，知不等式f(x)＜0的解集为(－∞，－2)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，2))，不等式f(x)＞0的解集为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，－\f(2,3)))∪(2，＋∞)．类型一元二次方程根的分布问题┃┃典例剖析__■典例5关于x的一元二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间[0,2]上有实数解，求实数m的取值范围．解析：设f(x)＝x2＋(m－1)x＋1，x∈[0,2]，若f(x)＝0在区间[0,2]上有一个实数解，∵f(0)＝1＞0，∴f(2)＜0或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f2＝0，,－\f(m－1,2)≥2.))又f(2)＝22＋(m－1)×2＋1，∴m＜－eq\f(3,2).若f(x)＝0在区间[0,2]上有两个实数解，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ≥0，,0＜－\f(m－1,2)＜2，,f2≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m－12－4≥0，,－3＜m＜1，,4＋m－1×2＋1≥0.))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m≥3或m≤－1，,－3＜m＜1，,m≥－\f(3,2)，))∴－eq\f(3,2)≤m≤－1.综上，实数m的取值范围为{m|m≤－1}．┃┃对点训练__■5．若函数f(x)＝ax2－x－1的负零点有且仅有一个，则实数a的取值范围是__eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,4)或a≥0))))__.解析：当a＝0时，f(x)＝－x－1，令f(x)＝0，得x＝－1，符合题意；当a>0时，函数图像开口向上，又f(0)＝－1<0，x＝－eq\f(－1,2a)＝eq\f(1,2a)>0，结合二次函数的图像知符合题意；当a<0时，函数图像开口向下，又f(0)＝－1<0，x＝－eq\f(－1,2a)＝eq\f(1,2a)<0，从而有Δ＝1＋4a＝0，即a＝－eq\f(1,4).综上可知，实数a的取值范围为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(a\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－\f(1,4)或a≥0)))).课堂检测·固双基1．函数y＝x