江西省南昌市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题

江西省南昌市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三四五六总分评分一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卡上.1．如图，是由6个棱长均为1的正方体组成的几何体，它的左视图为（）A． B．C． D．2．下列事件是不可能事件的是（）A．太阳从东方升起 B．三条线段组成一个三角形C．|a|<0（a为实数） D．购买一张大乐透，中奖500万3．如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径，若∠CAD=70°，则∠B的度数是（）A．20° B．25° C．30° D．35°4．如图，在平面直角坐标系中，已知点E(−4，2)，F(−1，−1).以原点O为位似中心，把△EFO扩大到原来的2倍，则点E的对应点E′的坐标为（）A．(−8，4) B．(8，−4)C．(8，4)或(−8，−4) D．(−8，4)或(8，−4)5．如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，左上角阴影部分是一个以格点为顶点的正方形（简称格点正方形）.若再作一个格点正方形，并涂上阴影，使这两个格点正方形无重叠，且组成的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，则这个格点正方形的作法共有（）A．2种 B．3种 C．4种 D．5种6．用绘图软件绘制出函数y=axA．a>0，b<0 B．a>0，b>0 C．a<0，b>0 D．a<0，b<0二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7．已知A(1，−2)、B(m，n)两点，若A、B8．一个不透明的口袋里装有若干除颜色外其他完全相同的小球，其中有6个黄球，将口袋中的球摇匀，从中任意摸出一个球记下颜色后再放回，通过大量重复上述试验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，由此估计口袋中共有小球个.9．“南昌之星”摩天轮，位于江西省南昌市红谷滩新区红角洲赣江边上的赣江市民公园，摩天轮高160m（最高点到地面的距离）．如图，点O是摩天轮的圆心，AB是其垂直于地面的直径，小贤在地面点C处利用测角仪测得摩天轮的最高点A的仰角为45°，测得圆心O的仰角为30°，则摩天轮的半径为m．（结果保留根号）10．如图，在矩形ABCD中，E是AD边上一点，且AE=2DE，BD与CE相交于点F，若△DEF的面积是3，则△BCF的面积是．11．如图，直角坐标系原点为Rt△ABC斜边的中点，∠ACB=90°，A点坐标为(−5，0)，且tanA=1312．如图，在半径为1的⊙O中，直线l为⊙O的切线，点A为切点，弦AB=1，点P在直线l上运动，若△PAB为等腰三角形，则线段OP的长为．三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13．计算：(−1)14．如图，l1∥l2∥l3，AB＝5，DE＝4，EF＝8，求AC的长．15．如图，在△OAB中，OA=OB=2，∠AOB=90°，将△OAB绕点O逆时针旋转角α(0°<α<90°)得到△A'OB'（1）当α=30°时，求A'（2）当A'A=A16．如图，已知反比例函数y=kx(k≠0，x<0)的图象与直线AB交于点C，A，B两点分别在x轴和y轴的正半轴上，B（1）求反比例函数的解析式；（2）求直线AC的表达式和cos∠BOC17．为了响应国家中小学生“课后服务”的政策．江西某学校结合学校实际课后情况开设了四门课程供学生选择．四门课程分别是A：快乐阅读；B：趣味数学；C：轻松英语；D：开心书法．学生需要从中选两门课程．（1）七年级学生小真第一次选择了课程A，如果她从其他三门学科中再选择一门课程，则她抽到课程C的概率是；（2）七年级学生小美从四门课程中抽取两门课程进行学习，请用树状图法，求恰好选中B和D两门课程的概率．18．如图，点C是以AB为直径的半圆O内任意一点，连接AC，BC，点D在AC上，且AD＝CD，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．（1）在图（1）中，画出△ABC的中线AE；（2）在图（2）中，画出△ABC的角平分线AF．四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）19．盒中有x枚黑棋和y枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别．（1）从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是38（2）往盒中再放进10枚黑棋，取得黑棋的概率变为1220．如图，直线y=x+2与反比例函数y=kx(k>0，x>0)的图象交于点A（1）当AB=BC时，求k的值；（2）判定AB与BC的比值能否与k相等？若有，求线段AB的长度；若没有，请说明理由．21．如图，在△ABC中，AB=BC=4，∠C=30°，D是BC上的动点，以D为圆心，DC的长为半径作圆交AC于点E，F，G分别是AB，AE上的点，将△AFG沿FG折叠，点A与点E恰好重合．（1）如图1，若CD=83−12，证明⊙D与直线（2）如图2，若⊙D经过点B，连接ED．①BE的长是▲；②判断四边形BFED的形状，并证明．五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）22．图1是一款厨房常用的防烫取盘器，图2是其侧面示意图．经测量：支架AB=AC=19cm，托盘器外沿BD=CE=3cm．支架AB，AC可绕点A转动，BD⊥AB，（参考数据sin25°≈0.42（1）当点D和点E重合时，求∠BAC的度数；（2）若一圆形盘盘口的直径为24cm，请判断此时操作人员用该取盘器手势是否自然；（3）当∠BAC=50°时，请计算点A到DE的距离．23．如图（1）课本再现：如图1，∠ACD是△ABC的一个外角，写出∠ACD与∠A，∠B的数量关系（2）类比探究：如图2，BC是△ACB与△ECB的公共边，∠ACB=∠BCE=α，∠ABE=180°−α．①∠ACE与∠ABE的数量关系是▲；②求证B（3）拓展应用：如图3，点D是正方形ABCO内一点，且在以O为圆心，OA为半径的圆弧上，若∠ADB=90°，AB=5，直接写出线段DC六、解答题（本大题共1小题，共12分）24．如图图1图2图3（1）【特例感知】如图1，点C1是正方形ABCD对角线AC上一点，C1B1⊥AB于点B①求证：四边形AB②BB1：（2）【规律探究】将正方形AB1C1D1绕点A旋转得到图2，连接BB（3）【拓展应用】如图3，在图2的基础上，点B2，C2，D2分别是BB1，C

答案解析部分1．【答案】D【解析】【解答】解：如图所示，几何体的左视图共有两列，第一列是竖直3个小正方体，第二列是1个小正方体，没有第三列，

A：有三列，不符合题意

B：第一列是一个小正方体，第二列是数值3个小正方体，不符合题意

C：有三列，不符合题意

D：第一列是竖直3个小正方体，第二列是1个小正方体，符合题意故答案为：D

【分析】了解左视图的含义，利用空间想象能力根据图示找到左视图。2．【答案】C【解析】【解答】解：

A：太阳从东方升起，描述正确，对于在地球上来说太阳东升西落是必然事件，不符合题意；

B：三条线段组成一个三角形，描述不完全正确，是可能事件，不符合题意；

C：|a|<0（a为实数），在实数范围内，一个数的绝对值小于0是不可能事件，符合题意；

D：购买一张大乐透，中奖500万，结合生活经验，是可能但极低概率事件，不符合题意。故答案为：C

【分析】了解事件的可能性和概率的评估，结合生活经验和所学的数学知识判定不可能事件。3．【答案】A【解析】【解答】解：如图所示

∵AD是⊙O的直径

∴∠ACD=90°

∴∠CDA=∠ACD-∠CAD=90°-70°=20°

∴∠B=∠CDA=20°故答案为：A

【分析】从已知条件入手，直径所对的圆周角是直角，已知角是这个直角三角形中的一个内角，另一内角可求，是20°；根据同弧所对的圆周角都相等，即可推出∠B等于这个内角，∠B=20°。4．【答案】D【解析】【解答】∵以原点O为位似中心，把△EFO扩大到原来的2倍，点E（−4，2），∴点E的对应点E'的坐标为（−4×2，2×2）或（4×2，−2×2），即（−8，4）或（8，−4），故答案为：D．

【分析】根据相似图形的性质求解即可。5．【答案】C【解析】【解答】解：如图所示：组成的图形是轴对称图形，又是中心对称图形，则这个格点正方形的作法共有4种．故答案为：C．

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义求解即可。6．【答案】C【解析】【解答】解：由图象得，当x＜0时，y＞0，∴a＜0；当x=−b时，函数值不存在，当−b＜0时，函数值不存在，∴b＞0.故答案为：C.

【分析】由图象得，当x＜0时y＞0，可知a＜0，当x=−b时，函数值不存在，则−b＜0，继而得解.7．【答案】1【解析】【解答】解：根据题意

A、B两点关于原点对称，

∴m=-1n=-（-2）故答案为：1

【分析】根据原点对称的点坐标的特征，可求出m和n的值，再代入求值即可，1的任何次幂都是1.8．【答案】20【解析】【解答】∵摸到黄球的频率稳定在30%，∴在大量重复上述实验下，可估计摸到黄球的概率为30%=0.3，而袋中黄球只有6个，∴推算出袋中小球大约有6÷0.3=20（个），故答案为：20．【分析】根据题意可估计摸到黄球的概率为30%=0.3，然后用袋中黄球的个数除以摸到黄球的概率即可算出袋中小球的总个数。9．【答案】160−【解析】【解答】解：如图所示，延长AB，AB⊥CD于D

根据题意AD=160m，∠ACD=45°

∴DC=AD=160m

∴在直角三角形COD中

tan∠COD=ODDC

即OD故答案为：160-

【分析】先根据题意补全图形，再从已知条件入手，已知AD，根据45°角可知CD，已知CD，根据直角三角形正切函数的定义，且30°角的正切值是3310．【答案】27【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，AD∥BC∴∠EDF=∠CBF，∵∠EFD=∠CFB，∠EDF=∠CBF∴△DEF∽△BCF，∵AE=2DE，AD=BC，∴DE：BC=1：3，∴S△DEF：S△BCF=DE∴S故答案为：27．

【分析】先证出△DEF∽△BCF，再利用相似三角形的性质可得S△DEF：S△BCF=DE2：BC2，即311．【答案】12【解析】【解答】如图，作CD⊥AB于点D．∵A(−5，0)，O为Rt△ABC斜边∴B(5，∴OB=5，AB=10．∵tanA=∴可设BC=x，AC=3x，由勾股定理得x2∴x=10∴BC=10，AC=3∵1∴10∴CD=3，∴BD=B∴OD=5−1=4，∴C(4，反比例函数y=kx(∴k=4×3=12．故答案为：12．

【分析】作CD⊥AB于点D．易得OB=OA=5，由tanA=13=BCAC可设BC=x，AC=3x，由勾股定理建立关于x方程，即得12．【答案】2或23【解析】【解答】解：∵AB=AO=OB=1，∴△ABO为等边三角形，∴∠OBA=∠OAB=∠AOB=60°，①当BP=AB=1时，如图①，∵直线l为⊙O的切线，点A为切点，∴OA⊥l，∴∠OAP=90°，∴∠BAP=30°，∵BP=AB，∴∠OPA=∠BAP=30°，∴∠PBA=120°，∴∠PAB+∠ABO=180°，∴点P、B、O在同一条直线上，∴OP=OB+BP=2；②当AP=PB时，如图，∵直线l为⊙O的切线，点A为切点，∴OA⊥l，∴∠OAP=90°，∴∠BAP=30°，∵AP=PB．∴∠PBA=∠PAB=30°．∴∠APB=120°，∴∠PBA+∠OBA=90°，∴OB⊥BP，∴BP是⊙O的切线，∵直线l为⊙O的切线，点A为切点，∴OP平分∠BPA，∴∠OPA=60°，在Rt△OAP中sin∠OPA=OAOP∴OP=23③当AP=AB时，若点P在点A左侧，如图③，连接OB，∵直线l为⊙O的切线，点A为切点，∴OA⊥l，∴∠OAP=90°，∵AP=AB=OA=1，∴在Rt△OAP中根据勾股定理得，OP=A若点P在点A右侧，如图③，同理可得OP=2．综上所述：OP的长：2或23故答案为：2或23【分析】先求出∠OBA=∠OAB=∠AOB=60°，再结合图形，分类讨论求解即可。13．【答案】解：(−1)=1+=1+=3【解析】【分析】掌握特殊值1或-1的n次幂的计算，-1的偶次幂是+1；掌握去绝对值符号的法则，负数的绝对值是它的相反数；了解非0数的0次幂是1；记住特殊角30°、45°、60°角的三角函数值。14．【答案】解：∵l1//l2//l3，∴ABBC即5BC∴BC＝10，∴AC＝AB+BC＝5+10＝15．【解析】【分析】根据平行线分线段对应成比例，可得关系式ABBC15．【答案】（1）解：∵∠AOB=90°，α=30°，∴∠A由旋转可知A'O=OA=OB，∴∴A'（2）解：∵A'A=A'B∴△AOA∴∠AOA'=∠【解析】【分析】（1）已知等腰直角三角形，根据旋转的性质，观图可知旋转后得到一个等腰三角形，再根据旋转角度可推出等腰三角形的顶角是60°，故可得出这个等腰三角形也是等边三角形的结论，A'B的长即等边三角形的边长；

（2）根据题意可知符合SSS定理，得到两个全等的三角形，由全等的性质对应角相等，且两个对应角的和是90度，可求16．【答案】（1）解：过C点作轴于点D∵A，B两点分别在x轴和y轴的正半轴上，B为AC的中点，OA=OB=1，∠CDB=∠AOB=90°∴△CDB≌△AOB∴A，B两点的坐标分别为(1，0)∴AO=OB=CD=1，DO=2OB=2∴C(−1，把C(−1，2)代入y=k∴反比例函数的解析式为y=−2（2）解：设直线AC的表达式为y=kx+b∵直线AC过点B，A，B两点的坐标分别为(1，0)，(0∴k+b=0即k=−1即直线AC的表达式为y=−x+1，由（1）知OD=2．DC=1，在Rt△COD中，由勾股定理，得OC=5在Rt△OCD中，cos∠BOC=OD∴cos∠BOC=2【解析】【分析】（1）根据题意结合图形，可由全等或者一次函数解析式求出C点的坐标为（-1，2），代入解析式即可求出k值；

（2）直线AC上的三点坐标都已知，任意选两点用待定系数法都可以求出解析式；求角的余弦值首先要把这个角放在直角三角形中，故过C作CD⊥Y轴于D，根据余弦的定义，利用C点坐标即可求得。17．【答案】（1）1（2）解：画树状图如下，共有12种等可能的结果，恰好选中B和D两门课程的结果有2种，∴恰好选中B和D两门课程的概率212【解析】【解答】解：根据题意

小真第二次选择了课程的可能结果有3种，B或C或D

她抽到C的可能只有1种，

故她抽到课程C的概率是1÷3=13

故第一空填：13

18．【答案】（1）解：如图（1），线段AE即为△ABC的中线；；根据三角形三条中线交于一点即可证明；（2）解：如图（2），线段AF即为△ABC的角平分线；证明：∵OA=OH，∴∠HAO=∠H，∵点O是AB的中点，点E是BC的中点，∴OE是△ABC的中位线，∴OE∥AC，∴∠CAH=∠H，∴∠CAF=∠BAF，∴AF为△ABC的角平分线．【解析】【分析】（1）根据题意作图即可；

（2）先求出∠HAO=∠H，再求出∠CAH=∠H，最后求解即可。19．【答案】（1）解：∵盒中有x枚黑棋和y枚白棋，∴袋中共有（x+y）个棋，∵黑棋的概率是38∴可得关系式x（2）解：如果往口袋中再放进10个黑球，则取得黑棋的概率变为12，又可得x+10联立求解可得x=15，y=25【解析】【分析】（1）根据盒中黑棋的数量盒中黑棋的数量+白棋的数量=320．【答案】（1）解：过点A作AD⊥y轴于D点，则∠ADB=∠COB．∵AB=BC．又∠ABD=∠CBO．∴△ADB≌△COB．∴AD=CO，DB=OB．∵直线y=x+2与y轴，x轴依次交于点B，点C，∴B(0，2)，∴A(2，∴k=8．（2）解：不能．理由如下：过点A作AD⊥y轴于D点，∵∠ADB=∠COB=90°，∠ABD=∠CDB，∴△ADB∽△COB．∴ABBC假设ABBC∵C(−2，0)∴OC=2，OB=2，∴AD=2k，OD=2+2k．∴A(2k，把A(2k，2+2k)代入y=k∴2k(2+2k)=k．∴k1=−3又k>0，故AB与BC的比值不能与k相等．【解析】【分析】（1）过点A作AD⊥y轴于D点，证明△ADB≌△COB（AAS），可得AD=CO，BD=OB，由y=x+2求出B、C的坐标，从而求出A的坐标，将其代入y=kx中，即得k值；

（2）不能．理由：过点A作AD⊥y轴于D点，证明△ADB∽△COB，可得ABBC=ADOC=BDOB21．【答案】（1）解：过点D作DH⊥AB的延长线于点H，则∠DHB=90°，∵AB=BC=4，∠C=30°，∴∠A=∠C=30°，∴∠DBH=∠A+∠C=30°+30°=60°，∵CD=83∴BD=BC−CD=4−(83在Rt△BDH中，∠BDH=90°−∠DBH=90°−60°=30°，∴BH=12BD=8−4∴DH=CD，∴⊙D与直线AB相切；（2）解：①2π3；②四边形BFED证明如下：由折叠可知，∠A=∠FEA=30°，∴∠DEF=180°−∠FEA−∠DEC=180°−30°−30°=120°，∠BFE=∠A+∠FEA=30°+30°=60°，∵∠DEF+∠BDE=120°+60°=180°，∠BFE+∠DEF=60°+120°=180°，∴EF∥BD，BF∥DE，∴四边形BFED为平行四边形，又∵BD=DE，∴四边形BFED为菱形．【解析】【解答】解：（2）①如图所示，⊙D经过点B

∴AB是圆的直径

∴⊙D的周长为4π

∵DE=DC

∴∠DEC=∠C=30°

∴∠BDE=∠DEC+∠C=30°+30°=60°

∴BE⏜=60°360°22．【答案】（1）解：如下图，在Rt△ABD中，tan∠BAD=∴∠BAD=9°，∵AB=AC，∴△ABD≌△ACD，∴∠BAC=2∠BAD=18°；（2）解：如下图，连接BC，过点A作AH⊥BC于点H，∵AB=AC，∴BH=1∴sin∴∠BAH=39°，∴∠BAC=78°>75°，∴此时操作人员用该取盘器手势不自然；（3）解：如下图，过点D作DF⊥BC于点F，过点A作AG⊥BC于点G，∵AB=AC，∴∠BAG=25°，∴∠ABG=75°，∴AG=ABcos∵∠ABD=90°，∴∠DBF=90°−75°=25°，∴DF=BDsin∵17.∴点A到DE的距离为18.【解析】【分析】（1）根据已知条件可求出∠BAD的正切值，从参考数据可得知∠BAD的度数，根据HL定理可推出∠BAC是2∠BAD，故∠BAC的度数可求；

（2）根据题意勾画草图，由等腰三角形三线合一定理的提示想到作出底边高线，可知顶角一半的正弦值，从参考数据可得知顶角一半的度数，然后可以求出顶角∠BAC的度数，如果所求的顶角度数在45°~75°之间则操作人员用该取盘器手势自然，否则为不自然；

（3）要求A到DE的距离，需要求出A到BC的距离和BC与DE之间的距离；在前两问的基础上，作出等腰三角形底边上的高即顶角的平分线也是底边的中线，用三角函数可求出A到BC的距离即AG，过点D作DF⊥BC于点F，DF即BC与DE之间的距离，同理根据三角函数可求DF，AG+DF的和即为所求。23．【答案】（1）∠ACD=∠A+∠B（2）解：①∠ACE=2∠ABE；②证明：∵△ACB中∠ACB=α，∴∠A+∠ABC=180°−α．又∵∠ABE=∠ABC+∠EBC=180°−α，∴∠A=∠EBC，∴△ACB∽△BCE，∴BC∴BC（3）解：CD=【解析】【解答】解：（1）∵∠ACD是△ABC的一个外角，∴∠ACD=∠A+∠B；故答案为：∠ACD=∠A+∠B；

（2）①∵∠ACB+∠BCE+∠ACE=360°，且∠ACB=∠B