2024-2025学年高中数学第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用3.3.2函数的极值与导数作业含解析新人教A版选修1-1

PAGE第三章3.33.3.2A级基础巩固一、选择题1．函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有微小值点(A)A．1个 B．2个C．3个 D．4个[解析]微小值点应有先减后增的特点，即f′(x)<0→f′(x)＝0→f′(x)>0.由图象可知只有1个微小值点．2．已知函数y＝x3－3x＋c的图象与x轴恰有两个公共点，则c＝(A)A．－2或2 B．－9或3C．－1或1 D．－3或1[解析]∵y′＝3x2－3，∴当y′＝0时，x＝±1，则x，y′，y的改变状况如下表：x(－∞，－1)－1(－1,1)1(1，＋∞)y′＋－＋yc＋2c－2因此，当函数图象与x轴恰有两个公共点时，必有c＋2＝0或c－2＝0，∴c＝－2或c＝2.3．已知a为函数f(x)＝x3－12x的微小值点，则a＝(D)A．－4 B．－2C．4 D．2[解析]f′(x)＝3x2－12，令f′(x)>0得x<－2或x>2，令f′(x)<0得－2<x<2，∴f(x)在(－∞，－2)，(2，＋∞)上单调递增，在(－2,2)上单调递减，∴当x＝2时，f(x)取微小值，即2是函数f(x)的微小值点，故a＝2.4．设函数f(x)＝xex，则(D)A．x＝1为f(x)的极大值点B．x＝1为f(x)的微小值点C．x＝－1为f(x)的极大值点D．x＝－1为f(x)的微小值点[解析]f′(x)＝ex＋xex＝ex(1＋x)，令f′(x)>0，得x>－1，令f′(x)<0，得x<－1，∴函数f(x)在(－∞，－1)上递减，在(－1，＋∞)上递增，∴当x＝－1时，f(x)取得微小值．5．设函数f(x)＝eq\f(2,x)＋lnx，则(D)A．x＝eq\f(1,2)为f(x)的极大值点B．x＝eq\f(1,2)为f(x)的微小值点C．x＝2为f(x)的极大值点D．x＝2为f(x)的微小值点[解析]本节考查了利用导数工具来探究其极值点问题．f′(x)＝－eq\f(2,x2)＋eq\f(1,x)＝eq\f(1,x)(1－eq\f(2,x))，由f′(x)＝0可得x＝2.当0<x<2时，f′(x)<0，f(x)递减，当x>2时，f′(x)>0，∴f(x)单调递增．所以x＝2为微小值点．对于含有对数形式的函数在求导时，不要忽视定义域．6．若a>0，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于(D)A．2 B．3C．6 D．9[解析]f′(x)＝12x2－2ax－2b，由条件知f′(1)＝0，∴a＋b＝6，∴ab≤(eq\f(a＋b,2))2＝9，等号在a＝b＝3时成立，故选D．二、填空题7．函数f(x)＝－eq\f(1,3)x3＋eq\f(1,2)x2＋2x取得微小值时，x的值是__－1__.[解析]f′(x)＝－x2＋x＋2＝－(x－2)(x＋1)，令f′(x)>0得－1<x<2，令f′(x)<0，得x<－1或x>2，∴函数f(x)在(－∞，－1)，(2，＋∞)上递减，在(－1,2)上递增，∴当x＝－1时，函数f(x)取得微小值．8．函数y＝xex在其极值点处的切线方程为__y＝－eq\f(1,e)__.[解析]∵y＝xex，∴y′＝ex＋xex＝ex(x＋1)，当x＝－1时y有微小值，此时y|x＝－1＝－eq\f(1,e)，而y′|x＝－1＝0，∴切线方程为y＝－eq\f(1,e).三、解答题9．(2024·长泰一中、南靖一中检测)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋1－lnx在x＝1处取极值．(1)求f(x)，并求函数f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)求函数f(x)的单调区间．[解析](1)因为f(x)＝－x2＋ax＋1－lnx，所以f′(x)＝－2x＋a－eq\f(1,x)(x>0)．因为f(x)在x＝1处取得极值，所以f′(1)＝0，即－2＋a－1＝0，解得a＝3.因为f′(x)＝－2x＋3－eq\f(1,x)(x>0)，f(2)＝3－ln2，f′(2)＝－eq\f(3,2)，所以函数f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y＝－eq\f(3,2)x＋6－ln2.(2)由(1)f′(x)＝－2x＋3－eq\f(1,x)(x>0)，令f′(x)>0，即－2x＋3－eq\f(1,x)>0，解得eq\f(1,2)<x<1，所以f(x)的单调递增区间为(eq\f(1,2)，1)．令f′(x)<0，即－2x＋3－eq\f(1,x)<0，解得0<x<eq\f(1,2)或x>1，所以f(x)的单调递减区间为(0，eq\f(1,2))，(1，＋∞)．综上，f(x)的单调递减区间为(0，eq\f(1,2))和(1，＋∞)，单调递增区间为(eq\f(1,2)，1)．B级素养提升一、选择题1．函数y＝x3－3x2－9x(－2<x<2)有(C)A．极大值5，微小值－27B．极大值5，微小值－11C．极大值5，无微小值D．微小值－27，无极大值[解析]y′＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)，∵－2<x<2，∴令y′>0得－2<x<－1，令y′<0得－1<x<2，∴函数在(－2，－1)上递增，在(－1,2)上递减，∴当x＝－1时，f(x)取极大值f(－1)＝－1－3＋9＝5，f(x)无微小值．2．(2024·杭州二模)已知a＞0且a≠1，则函数f(x)＝(x－a)2lnx(C)A．有极大值，无微小值B．有微小值，无极大值C．既有极大值，又有微小值D．既无极大值，又无微小值[解析]∵a＞0且a≠1，函数f(x)＝(x－a)2lnx，∴f′(x)＝2(x－a)lnx＋eq\f(x－a2,x)＝(x－a)(2lnx＋1－eq\f(a,x))，由f′(x)＝0，得x＝a或2lnx＋1－eq\f(a,x)＝0，由方程2lnx＋1－eq\f(a,x)＝0，作出g(x)＝2lnx＋1和h(x)＝－eq\f(a,x)的图象，结合图象得g(x)＝2lnx＋1和h(x)＝－eq\f(a,x)的图象有交点，∴方程2lnx＋1－eq\f(a,x)＝0有解，由此依据函数的单调性和极值的关系得到：函数f(x)＝(x－a)2lnx既有极大值，又有微小值．故选C．3．已知函数f(x)＝x3－px2－qx的图象与x轴切于(1,0)点，则f(x)的极大值、微小值分别为(A)A．eq\f(4,27)，0 B．0，eq\f(4,27)C．－eq\f(4,27)，0 D．0，－eq\f(4,27)[解析]f′(x)＝3x2－2px－q，由f′(1)＝0，f(1)＝0得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3－2p－q＝0,1－p－q＝0))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝2,q＝－1))，∴f(x)＝x3－2x2＋x.由f′(x)＝3x2－4x＋1＝0得x＝eq\f(1,3)或x＝1，易得当x＝eq\f(1,3)时f(x)取极大值eq\f(4,27).当x＝1时f(x)取微小值0.4．(多选题)对于函数f(x)＝x3－3x2，给出下列结论中正确的是(CD)A．f(x)是增函数，无极值B．f(x)是减函数，无极值C．f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，单调递减区间为(0,2)D．f(0)＝0是极大值，f(2)＝－4是微小值[解析]f′(x)＝3x2－6x.令f′(x)＝3x2－6x>0，得x>2或x<0；令f′(x)＝3x2－6x<0，得0<x<2.∴函数f(x)在区间(－∞，0)，(2，＋∞)上单调递增，在区间(0,2)上单调递减，当x＝0和x＝2时，函数f(x)分别取得极大值0和微小值－4.故选CD．5．(多选题)已知函数f(x)＝xlnx＋eq\f(1,2)x2，x0是函数f(x)的极值点，下列选项正确的是(AC)A．0<x0<eq\f(1,e) B．x0>eq\f(1,e)C．f(x0)＋x0＜0 D．f(x0)＋x0＞0[解析]∵函数f(x)＝xlnx＋eq\f(1,2)x2，(x＞0)∴f′(x)＝lnx＋1＋x，易得f′(x)＝lnx＋1＋x在(0，＋∞)递增，∴f′(eq\f(1,e))＝eq\f(1,e)＞0，∵x→0，f′(x)→－∞，∴0＜x0＜eq\f(1,e)，即A正确，B不正确；∵lnx0＋1＋x0＝0，∴f(x0)＋x0＝x0lnx0＋eq\f(1,2)xeq\o\al(2,0)＋x0＝x0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(lnx0＋\f(1,2)x0＋1))＝－eq\f(1,2)xeq\o\al(2,0)＜0，即C正确，D不正确．故选AC．二、填空题6．设x＝1与x＝2是函数f(x)＝alnx＋bx2＋x的两个极值点，则常数a＝__－eq\f(2,3)__.[解析]f′(x)＝eq\f(a,x)＋2bx＋1，由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋2b＋1＝0,\f(a,2)＋4b＋1＝0))，∴a＝－eq\f(2,3).7．已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋6，其导数f′(x)的图象如图所示，则函数的微小值是__6__.[解析]依题意f′(x)＝3ax2＋2bx.由题图象可知，当x<0时，f′(x)<0，当0<x<2时，f′(x)>0，故x＝0时函数f(x)取微小值f(0)＝6.三、解答题8．(2024·北京文，19)设函数f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex.(1)若曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为0，求a；(2)若f(x)在x＝1处取得微小值，求a的取值范围．[解析](1)解：因为f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex，所以f′(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex，f′(2)＝(2a－1)e2.由题设知f′(2)＝0，即(2a－1)e2＝0，解得a＝eq