吉林省长春市新区2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷

吉林省长春市新区2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三总分评分一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若使二次根式x-2在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x≥2 B．x>2 C．x<2 D．x≤22．用配方法解方程x2A．(x+3)2=7 B．(x-3)2=73．如图，直线a//b//c，直线m、n分别与直线a、b、c相交于点A、B、C和点D、E、F，若AB=2，BC=3，DE=3，则EF=（）A．103 B．152 C．4 4．如图，在综合实践活动中，小明在学校门口的点C处测得树的顶端A仰角为37°，同时测得BC=20米，则树的高AB(单位：米)为（）A．20tan37° B．20tan37∘ C．205．a是方程x2+x-1=0的一个根，则代数式A．2019 B．2021 C．2022 D．20236．已知点(-4，y1)、(-1，y2)、(2，y3)A．y1>y2>y3 B．7．在△ACB中，∠ABC=90°，用直尺和圆规在AC上确定点D，使△BAD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是（）A． B．C． D．8．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE：CE=2：3，连结AE，BD交于点F，若△DEF的面积为4，则四边形CEFB的面积等于（）A．50 B．35 C．31 D．20二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。9．如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，若DF：AC=1：3，则OE：OB=．10．如果关于x的一元二次方程x2+2x+m=0有两个同号实数根，则m的取值范围是11．将抛物线y=-x2向右平移2个单位所得函数解析式为12．二次函数y=x2-x-2的图象如图所示，则函数值y≥0时，x13．拦水坝横断面如图所示，迎水坡AB的坡比是1：3，坝高BC=10m，则坡面AB的长度是14．如图，同学们在操场上玩跳大绳游戏，绳甩到最高处时的形状是抛物线型，摇绳的甲、乙两名同学拿绳的手的间距为6米，到地面的距离AO与BD均为0.9米，绳子甩到最高点C处时，最高点距地面的垂直距离为1.8米.身高为1.4米的小吉站在距点O水平距离为m米处，若他能够正常跳大绳(绳子甩到最高时超过他的头顶)，则m的取值范围是．三、解答题：本题共10小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15．计算：2cos30°-tan60°+sin45°cos45°．16．2023年第19届亚运会在杭州举办.小蔡作为亚运会的志愿者“小青荷”为大家提供咨询服务.现有如图所示“杭州亚运会吉祥物”的三盒盲盒供小蔡选择，分别记为A，B，C.小蔡从中随机抽取两盒.请用列表或画树状图的方法，求小蔡抽到的两盒吉祥物恰好是A和C的概率．17．每当秋冬季节交替的时间，感冒药品的销量就会大幅增长，药店利润也有所提高，某药店九月份的销售利润是5000元，而十一月份的销售利润为11250元，求该药店利润平均每月的增长率．18．在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高．（1）证明：△ABD∽△CBA；（2）若AB=6，BC=10，求BD的长．19．图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上.只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹．（1）在图①中，画出△ABC中BC边上的中线AD．（2）在图②中，在AC边上找到一点E，连结BE，使S△ABE：S△BCE=2（3）在图③中，在AB边上找到一点F，连结CF，使tan∠ACF=20．下表是某厂质检部门对该厂生产的一批排球质量检测的情况．抽取的排球数描取格品数5001000150020003000合格品数4719461425b2853合格品频率a0.9460.9500.9490.951（1）求出表中a=，b=．（2）从这批排球中任意抽取一个，是合格品的概率约是.(精确到0.01)（3）如果生产25000个排球，那么估计该厂生产的排球合格的有多少个？21．已知，抛物线y=x2+2x-3与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A（1）直接写出A、B、C三点的坐标；（2）当-3≤x≤2时，求y的最大值与最小值之差．22．【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点，根据画出的图形，可以猜想：DE//BC，且DE=12BC．

对此，我们可以用演绎推理给出证明.(无需证明（1）【感知】如图①，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=4，AD、CE是Rt△ABC的中线，M、N分别是AD和CE的中点，求MN的长；（2）【应用】如图②，在Rt△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，连接DE，将△ADE绕点A逆时针旋转一定的角度α(0°<α<∠BAC)，连接BD、CE，若ABBC=12（3）【拓展】如图③，在等边△ABC中，D是射线BC上一动点(点D在点C右侧)，连接AD，把线段CD绕点D逆时针旋转120°得到线段DE，连接BE，F是BE中点，连接DF、CF，若AB=8，CF=12CD，则23．如图，在▱ABCD中，AD=10，AB=8，BD⊥AB.点P从点A出发，沿折线AB-BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动(点P不与点A、B、C重合).在点P的运动过程中，过点P作AB所在直线的垂线，交边AD或边CD于点Q，以PQ为一边作矩形PQMN，且QM=4，MN与BD在PQ的同侧.设点P的运动时间为t(秒)．（1）tanA的值为．（2）直接写出线段BP的长.(用含t的代数式表示)（3）当△BDQ的面积等于6时，求t的值．（4）连接BQ，当BQ将矩形PQMN分成的两部分的面积比为1：7时，直接写出t的值．24．如图①，在平面直角坐标系内，抛物线与x轴交于O、B两点，与直线y=13x交于O、C两点，且抛物线的顶点A（1）直接写出点B的坐标；△AOB的形状为：；（2）求抛物线的解析式；（3）如图②，点T(t，0)是线段OB上的一个动点，过点T作y轴的平行线交直线y=13x于点D，交抛物线于点E，以DE为一边，在DE的右侧作矩形DEFG，且DG=2．

①当矩形DEFG的面积随着t的增大而增大时，求t的取值范围；

②当矩形DEFG与△AOB

答案解析部分1．【答案】A【解析】【分析】根据被开方数大于等于0列式进行计算即可得解．

【解答】根据题意得，x-2≥0，

解得x≥2．

故答案为：x≥2．故选A

【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．2．【答案】C【解析】【解答】解：∵x2﹣6x+7＝0，∴x2﹣6x＝﹣7，则x2﹣6x+9＝﹣7+9，即（x﹣3）2＝2，故答案为：C．【分析】配方法的一般步骤：移项，化二次项系数为1，配方，写成标准形式，据此求解。3．【答案】D【解析】【解答】解：∵a∥b∥c，∴AB：BC＝DE：EF，∵AB＝2，BC＝3，DE＝3，∴2：3＝3：EF，∴EF＝9故答案为：D．

【分析】根据平行线分线段成比例，列出比例式求解即可。4．【答案】A【解析】【解答】解：如图，在直角△ABC中，∠B＝90°，∠C＝37°，BC＝20m，∴tanC＝则AB＝BC•tanC＝20tan37°．故答案为：A．

【分析】仰角的正切等于对边与邻边的比值，据此求解。5．【答案】A【解析】【解答】解：∵a是方程x2+x+1＝0的一个根，∴a2+a﹣1＝0，∴a2+a＝1，∴2021﹣2a2﹣2a＝2021﹣2（a2+a）＝2021﹣2×1＝2019．故答案为：A．

【分析】把x=a代入方程，整理得a2+a＝1，把代数式变形为2021﹣2（a2+a），然后整体代入计算即可。6．【答案】C【解析】【解答】解：∵y＝﹣x2+5，∴函数图象的对称轴是y轴，图象的开口向下，∴当x＜0时，y随x的增大而增大，∵点（2，y3）关于对称轴的对称点的坐标是（﹣2，y3），且﹣4＜﹣2＜﹣1，∴y2＞y3＞y1，故答案为：C．

【分析】先确定对称轴是y轴，图象的开口向下，再求出点（2，y3）关于对称轴的对称点的坐标是（﹣2，y3），根据当x＜0时，y随x的增大而增大求解即可。7．【答案】C【解析】【解答】解：当BD是AC的垂线时，△BAD∽△CBD.∵BD⊥AC，∴∠ADB=∠BDC=90°，∵∠ABC=90°，∴∠A+∠ABD=∠ABD+∠CBD=90°，∴∠A=∠CBD，∴△BAD∽△CBD.根据作图痕迹可知，A选项中，BD是∠ABC的角平分线，不与AC垂直，不符合题意；B选项中，BD是AC边的中线，不与AC垂直，不符合题意；C选项中，BD是AC的垂线，符合题意；D选项中，BD不与AC垂直，不符合题意.

故答案为：C.【分析】根据作图痕迹可知，A中，BD为∠ABC的角平分线，构成的△BAD与△CBD不相似；B中，BD为AC边的中线，构成的△BAD与△CBD不相似；C中，BD是AC的垂线，△BAD与△CBD相似，符合题意；D中，AB=BD，构成的△BAD与△CBD不相似.8．【答案】C【解析】【解答】解：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，CD＝AB．∴△DFE∽△BFA，∴S△DEF：S△BAF＝DE2：AB2，EFAF∵DE：EC＝2：3，∴DE：DC＝DE：AB＝2：5，∴S△DEF：S△ABF＝4：25，∵△DEF的面积为4，∴S△ABF＝25，∵△DEF和△ADF的高相等，且EFAF∴S△ADF＝5∴S△ABD＝S△BAF+S△ADF＝25+10＝35，∴S△BCD＝35，∴四边形EFBC的面积＝S△BCD﹣S△DEF＝35﹣4＝31，故答案为：C．

【分析】根据平行四边形的性质证明△DFE∽△BFA，根据相似三角形的性质，结合等高三角形的面积与底边的关系求解即可。9．【答案】1：3【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，若DF：AC＝1：3，∴△ABC∽△DEF，EF∥BC，∴EF：BC＝DF：AC＝1：3，∴OE：OB＝EF：BC＝1：3，故答案为：1：3．【分析】利用位似三角形的性质可得△ABC∽△DEF，根据相似三角形的性质求解即可。10．【答案】0<m≤1【解析】【解答】解：根据题意得Δ＝22﹣4m≥0，解得m≤1，设方程两根分别为x1，x2，而x1+x2＝﹣2＜0，则x1x2＝m＞0，所以m的取值范围为0＜m≤1．故答案为0＜m≤1．【分析】根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x111．【答案】y=-(x-2【解析】【解答】解：将抛物线y＝﹣x2向右平移2个单位所得函数解析式为y＝﹣（x﹣2）2．故答案为：y＝﹣（x﹣2）2．【分析】抛物线平移的规律：左加右减，上加下减，据此求解。12．【答案】x≤-1或x≥2【解析】【解答】解：由x2﹣x﹣2＝0可得，x1＝﹣1，x2＝2，观察函数图象可知，当x≤﹣1或x≥2时，函数值y≥0．故答案为：x≤﹣1或x≥2．【分析】y≥0指的是函数图象在x轴上方的部分，确定这部分图象对应的x的取值范围即可。13．【答案】20【解析】【解答】解：∵迎水坡AB的坡比是1：3，坝高BC＝10m，∴BCAC解得：AC＝103，则AB＝BC2故答案为：20．【分析】坡比i=tan14．【答案】1<m<5【解析】【解答】解：如图，由题意可知C（3，1.8），设抛物线的解析式为y＝a（x﹣3）2+1.8，把A（0，0.9）代入y＝a（x﹣3）2+1.8，得a＝﹣0.1，∴所求的抛物线的解析式是y＝﹣0.1（x﹣3）2+1.8，当y＝1.4时，﹣0.1（x﹣3）2+1.8＝1.4，解得x1＝1，x2＝5，∴则m的取值范围是1＜m＜5．故答案为：1＜m＜5．【分析】先确定顶点C的坐标，设二次函数的解析式为顶点式，再把A（0，0.9）代入求出a＝﹣0.1，写出解析式求解即可。15．【答案】解：2cos30°-tan60°+sin45°cos45°

=2×32-3+【解析】【分析】先把特殊角的三角函数值代入，再根据二次根式的运算法则计算即可。16．【答案】解：画树状图如下：

共有6种等可能的结果，其中小蔡抽到的两盒吉祥物恰好是A和C的结果有2种，

∴小蔡抽到的两盒吉祥物恰好是A和C的概率为26=【解析】【分析】先画树状图，确定所有等可能的结果和小蔡抽到的两盒吉祥物恰好是A和C的结果，再根据概率的公式计算即可。17．【答案】解：设该药店利润平均每月的增长率为x，

依题意得：5000(1+x)2=11250，

整理得：(1+x)2=2.25，

解得：x1=0.5=50%，【解析】【分析】基本关系：初量×（1+增长率）2=末量，据此列方程求解即可。18．【答案】（1）证明：∵∠BAC=90°，AD是斜边BC上的高．∴∠ADB=90°，∠B+∠C=90°∴∠B+∠BAD=90°，∴∠BAD=∠C又∵∠B=∠B∴△ABD∽△CBA，（2）解：∵△ABD∽△CBA∴ABCB又AB=6，BC=10∴BD=A【解析】【分析】（1）先根据题意结合直角三角形的性质即可得到∠ADB=90°，∠B+∠C=90°，进而即可得到∠BAD=∠C，再运用相似三角形的判定即可求解；

（2）根据相似三角形的性质结合题意代入数值即可求解。19．【答案】（1）解：如图①，AD即为所求．

（2）解：如图②，取格点M，N，使AM=2，CN=3，AM//CN，连接MN交AC于点E，连接BE，

则△AEM∽△CEN，

∴AECE=AMCN=23，

∴S（3）解：如图③，取格点G，使AC=AG，AC⊥AG，取AG与网格线的交点H，

则AHGH=13，

即AHAG=AHAC=14，

连接CH交【解析】【分析】（1）取BC的中点D，连接AD即可；

（2）在网格中找出AM：CN=2：3的两个格点M、N，连接MN交AC于点E，连接AE即可；

（3）正切值等于对边与邻边的比值，结合网格求作即可。20．【答案】（1）0.942；1898（2）0.95（3）解：25000×0.95=23750(个)．

答：估计该厂生产的排球合格的有23750个．【解析】【解答】解：（1）471÷500＝0.942，2000×0.949＝1898．故答案为：0.942，1898；（2）由题意知，从这批排球中任意抽取一个是合格品的概率估计值是0.95；故答案为：0.95；【分析】（1）基本关系：合格率=合格品数÷描取格品数×100%，据此求解；

（2）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率，据此求解。

（3）用样本的合格率估计总体的合格率，利用合格数量=总数量×合格率，据此求解即可。21．【答案】（1）A(-3，0)（2）解：∵y=x2+2x-3=(x+1)2-4，

∵抛物线的对称轴为直线x=-1，开口向上，

∴在-3≤x≤2范围当x=-1时，y最小值=-4；

当x=2【解析】【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣3，∴C（0，﹣3），当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1，∴A（﹣3，0），B（1，0）；【分析】（1）分别令x＝0和y＝0，代入函数解析式求解即可；

（2）先确定抛物线的对称轴和开口方向，再确定-3≤x≤2范围内y的最大值和最小值，据此求解。22．【答案】（1）解：如图①，设AC、CE交于点G，连接DE，

∵∠ABC=90°，AB=BC=4，

∴AC=AB2+BC2=42+42=42，

∵AD、CE是Rt△ABC的中线，

∴D、E分别为CB、AB的中点，

∴DE//AC，DE=12AC=22，

∴△DGE∽△AGC，

∴DGAG=EGCG=DEAC=12，

∴DG=13AD，EG=13CE，

∵M、N分别是AD和CE的中点，

∴DM=（2）5（3）4或2【解析】【解答】解：(2)【应用】如图②，∵ABBC=12，

∴BC=2AB，

∵∠ABC=90°，

∴AC=AB2+BC2=AB2+(2AB)2=5AB，

∴ABAC=55，

∵AD=12AB，AE=∵△ABC是等边三角形，AB=8，

∴BC=AB=8，

∵F是BE中点，

∴FE=BF，

∴CDBC=FEBF=1，

∴CD=BC=8，

∴CF=12CD=4；

如图④，CF

∵CGBC=FEBF=1，

∴CG=BC=8，

∴CF=12GE，

由旋转得DE=CD，∠CDE=120°，

∴CF=12CD=12DE，∠EDG=180°-∠CDE=60°，

∴12GE=12DE，

∴GE=DE，

【分析】（1）设AC、CE交于点G，连接DE，用股定理求出AC的长，利用中位线定理求出DE的长，证△DGE∽△AGC和△MGN∽△DGE，利用相似三角形的性质求解即可；

（2）根据旋转的性质证明△ABD∽△ACE，根据相似三角形的性质计算即可；

（3）分两种情况：CF和DE平行，CF和DE平平行，根据等边三角形的判定和性质，平行线分线段成比例的性质求解即可。23．【答案】（1）3（2）解：BP=8-2t(0<t<4)（3）解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴BC=AD=10，CD=AB=8，

当点P在AB边上时，0<t<4，则AP=2t，如图1，

∴BP=8-2t，

∴S△BDQ=12BD⋅BP=12×6(8-2t)=24-6t，

由题意得24-6t=6，

解得：t=3；

当点P在BC边上时，4<t<9，如图2，BP=2t-8，

∴CP=BC-BP=10-(2t-8)=18-2t，

∵PQ//BD，

∴DQBP=CDBC，即DQ2t-8=810，

∴DQ=45(2t-8)=85t-325（4）解：t的值为72或26-5【解析】【解答】解：（1）在Rt△ABD中，AD=10，AB=8，BD⊥AB，

∴BD=AD2-AB2=102-82=6，

∴tanA=BDAB=68=34，

故答案为：34．

（2）当点P在AB边上时，0＜t＜4，则AP＝2t，

∴BP＝AB（4）当点P在AB边上时，0<t<4，则AP=2t，BP=8-2t，

令8-2t=4，

解得：t=2，

∵PQ∥BD，

∴△APQ∽△ABD，

∴PQAP=BDAB，即PQ2t=68，

∴PQ=32t，

当0<t≤2时，如图3，设BQ交MN于K，

∵四边形PQMN是矩形，

∴MN∥PQ，MN=PQ=32t，

∴△BKN∽△BQP，

∴KNPQ=BNBP，即KN32t=8-2t-48-2t，

∴KN=6t-3t28-2t，

∴MK=MN-KN=32t-6t-3t28-2t=3t4-t，

由题意得：S△MQKS矩形PQMN=18，

∴S矩形PQMN=8S△MQK，

即4×32t=8×12×4×3t4-t，

解得：t=-4(不符合题意，舍去)；

当2<t<4时，如图4，BP=8-2t，

由题意得：S△BPQS矩形PQMN=18，

∴S矩形PQMN=8S△BPQ，

即4×32t=8×12×32t(8-2t)，

解得：t1=0(不符合题意，舍去)，t2=72；

当点P在BC边上时，4<t<9，则BP=2t-8，

如图5，当4<t≤6时，设BQ交PN于K，

【分析】（1）正切的值等于对边与邻边的比值，据此求解即可；

（2）分两种情况：①当点P在AB边上时，0＜t＜4，当点P在BC边上时，4＜t＜9；（3）分两种情形：当点P在AB边上时，0＜t＜4，当点P在BC边上时，4＜t＜9，根据平行四边形的性质和三角形的面积建立方程求解即可；（4）分四种情形分别求解即可，当0＜t≤2时，当2＜t＜4时，当4＜t≤6时，当6＜t＜9时．根据平行四边形的性质，结合平行线分线段成比例和相似三角形的判定和性质求解即可。24．【答案】（1）(8，0（2）解：设抛物线的解析式为y=a(x-4)2+4，

∵该抛物线经过点(0，0)，

∴16a+4=0，

∴a=-1（3）解：①∵点T(t，0)，过点T作y轴的平行线交直线y=13x于点D，交抛物线于点E，

∴D(t，13t)，E(t，-14t2+2t)，

当D，E重合时，13t=-14t2+2t，

∴t=0或t=203．

∴C(203，209).当点D在点C的左侧时，t<203，

∴DE=-14t2+2t-13t=-14t2+53t，

∴矩形DEFG的面积=DE⋅DG

=-12t2+103t=-12(t-103