吉林省长春市双阳区2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷

吉林省长春市双阳区2023-2024学年九年级上学期期末数学试卷姓名：__________班级：__________考号：__________题号一二三总分评分一、选择题（共8小题，每小题3分，共24分）1．若二次根式x−3在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x＞0 B．x≥﹣3 C．x≥3 D．x≤32．在平面直角坐标系中，点A（2，3）关于y轴对称的点的坐标是（）A．（﹣2，﹣3） B．（﹣2，3）C．（2，﹣3） D．（﹣3，﹣2）3．如图，平地上A、B两点被池塘隔开，测量员在岸边选一点C，并分别找到AC和BC的中点D、E，测量得DE=16米，则A、B两点间的距离为（）A．30米 B．32米 C．36米 D．48米4．如图，在一个直角三角板ABC中，∠A=60°，则cosA的值为（）A．12 B．1 C．32 5．将抛物线y＝3（x﹣1）2+1向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线的表达式为（）A．y＝3（x﹣3）2﹣1 B．y＝3（x+1）2+3C．y＝3（x+1）2﹣1 D．y＝3（x﹣3）2+36．如图，AD∥BE∥CF，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F．已知AB=2，BC=4，EF=3，则DE的长为（）A．1 B．1.5 C．2 D．2.57．如图，某学习小组为测量学校A与河对岸凉亭B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得∠C=90°，∠A=α，AC=4km.据此，可求得学校与凉亭之间的距离AB等于（）A．4sinαkm B．4sinαkm C．8．如图，小明以抛物线为灵感，在平面直角坐标系中设计了一款高OD为13的奖杯，杯体轴截面ABC是抛物线y=4A．6 B．7 C．8 D．9二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）9．计算：2×8=10．若3n＝4m（mn≠0），则nm＝11．抛物线y＝x2﹣2x+4的顶点坐标是．12．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+c＝0有两个不相等的实数根，则c的值可以是.（写出一个即可）13．南宋数学家杨辉所著《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长及阔各几步．”译文：一块矩形田地的面积是864平方步，它的长和宽共60步，问它的长和宽各是多少步？设这块矩形田地的长为x步，根据题意可列方程为．14．如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心，OB：BE=1，若S△ABC＝2，则S△DOF＝．三、解答题（共78分）15．计算2716．阅读材料，并回答问题．小明在学习一元二次方程时，解方程2x2﹣8x+5＝0的过程如下：解：2x2﹣8x+5＝0．2x2﹣8x＝﹣5．①x2−4x=−x2−4x+4=−(x−2)x−2=62x=2+62问题：（1）上述过程中，从步开始出现了错误（填序号）；（2）发生错误的原因是：；（3）写出这个方程的解：．17．杭州第19届亚运会吉祥物“江南忆”，具体指A．琮琮、B．宸宸、C．莲莲．如图是三张吉祥物的不透明卡片（卡片除内容外，其余均相同）．将这三张卡片背面朝上洗匀放好，小李同学从这三张卡片中随机抽取一张后，再从剩余的两张卡片中随机抽取一张，请用树状图法或列表法，求两次抽到卡片恰好是琮琮和宸宸的概率．18．抛物线y＝ax2+bx﹣4上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：x…﹣2﹣1012…y…0﹣4﹣408…根据上表填空或求值：（1）抛物线与y轴的交点坐标是；（2）求a和b的值；（3）当x＝﹣3时，则y的值为．19．某数学实践小组准备测量路灯杆的高度．先从水平地面上一点C处，测得C到路灯杆AB底部B的距离为10米，在C处放置高为1米的测角仪CD，测得路灯杆顶部A的仰角为60°，求路灯杆AB的高度（结果保留根号）．20．如图①、图②、图③均是6×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，且每个小正方形的边长均为1，点A、B、C、D、F、G、K、M、H、N均在格点上．在给定的网格中画图或填空，要求只用无刻度的直尺，保留作图痕迹，不要求写出画法．（1）图①中，DEAE的值为（2）图②中，在FG上找一点P，使FP＝3．（3）图③中，在KM上找一点Q，连接HQ、NQ，使△HKQ∽△NMQ．21．某课外活动小组准备围建一个矩形实践基地，其中一边靠墙，另外三边用长为36米的篱笆围成．已知墙长为19米（如图所示），设这个基地垂直于墙的一边长为x米．（1）当矩形实践基地的面积为160平方米时，求垂直于墙的边长x．（2）当这个基地的面积最大时，求垂直于墙的边长x，并求这个面积最大值．22．【教材呈现】华师版九年级上册63页例1．

如图，在△ABC中，点D是边AB的三等分点，DE∥BC，DE=5，求BC的长．【应用拓展】（1）如图①，在△ABC中，点D是边AB的中点，点F为BC延长线上一点，连接DF交AC于点E，若DE：EF=3：1，DG∥AC，EC=2，则AC的长为．

（2）如图②，在△ABC中，点D为边BA延长线上一点，点E为BC上一点，连接DE交AC于点F，若点A为DB的中点，CE：EB=1：2，△DBE的面积为4，则△CFE（阴影部分）面积为．

23．如图，在△ABC中，∠BCA＝90°，AC=8，sinB＝45（1）AB的长为．（2）求PF长度（用含x的代数式表示）．（3）当点F落在直线CD上时，求x的值．（4）当直线PF与△ABC的边BC或AC垂直时，直接写出x的值．24．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx﹣3的对称轴为直线x＝1．（1）求这条抛物线的解析式．（2）当﹣1≤x≤4时，求y的最大值和最小值．（3）点P为这条抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m（m＞0），以点P为中心作正方形ABCD，AB=2m，且AB⊥x轴．

①当抛物线落在正方形内部的点的纵坐标y随x的增大而减小时，求m的取值范围．②正方形ABCD的边与抛物线只有两个交点，且交点的纵坐标之差为12

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：∵二次根式x−3在实数范围内有意义，∴x−3≥0，解得x≥3．故答案为：C．

【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．2．【答案】B【解析】【解答】解：点A（2，3）关于y轴对称的点的坐标是（-2，3）．故答案为：B．【分析】关于y轴对称的两个点的坐标，纵坐标相同，横坐标互为相反数，据此求解．3．【答案】B【解析】【解答】解：∵点M、N是分别是AC和BC的中点，∴MN是△ABC的中位线，MN=16，

∴MN=12AB=16，

故答案为：B．

【分析】三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。据此求解。4．【答案】A【解析】【解答】解：∵∠A=60°，cos60°=∴cosA=故答案为：A．

【分析】利用60°的余弦值是125．【答案】D【解析】【解答】解：抛物线y=3(x−1)2+1故答案为：D．

【分析】抛物线平移的规律：上加下减，左加右减，据此求解．6．【答案】B【解析】【解答】解：∵AD∥BE∥CF，∵AB∵AB=2，BC=4，EF=3，∴2解得：DE=1.故答案为：B．

【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．7．【答案】C【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠A=α，∠C=90°，AC=4km，∴cos解得：AB=4即学校与凉亭之间的距离AB等于4cos故答案为：C．

【分析】利用余弦三角函数的定义式可得cosα=8．【答案】B【解析】【解答】解：∵OD=13，∴点D的坐标为D(当y=13时，47解得x=±7∴A(−72,∴AC=7故答案为：B．

【分析】把y=13代入二次函数的解析式，建立方程求出点A，C的坐标，即可求出杯口的口径AC长．9．【答案】4【解析】【解答】解：原式=2×8=16=4．故答案为：4【分析】原式利用二次根式的乘法法则计算，将结果化为最简二次根式即可．10．【答案】4【解析】【解答】解：∵3n=4m（mn≠0），∴nm故答案为：43

【分析】利用内项之积等于外项之积求解．11．【答案】（1，3）【解析】【解答】解：∵抛物线y=x∴该抛物线的顶点坐标为(1故答案为：(1

【分析】通过配方，把抛物线解析式化为顶点式，即可写出该抛物线的顶点坐标．12．【答案】0【解析】【解答】解：∵一元二次方程x2∴Δ=9−4c>0，解得：c<9∴c的值可以是0．故答案为：0（答案不唯一）．【分析】一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与Δ=b2−4ac有如下关系：①当Δ>0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当13．【答案】x（60﹣x）＝864【解析】【解答】解：若设这块矩形田地的长为x步，则宽为(60−x)步，依题意，得x(60−x)=864．故答案为：x(60−x)=864．

【分析】基本关系：矩形的面积=长×宽，由矩形田地的长与宽的和是60步，可得出矩形田地的宽为（60-x）步，根据矩形田地的面积是864平方步，即可得出关于x的一元二次方程．14．【答案】8【解析】【解答】解：∵OB:∴OB:∵△ABC与△DEF是位似图形，∴△ABC∽△DEF，BC∥EF，∴△BOC∽△EOF，∴BC∴S△ABCS解得：S△DEF故答案为：8．【分析】根据位似图形的概念得到△ABC∽△DEF，BC∥EF，证明△BOC∽△EOF，求出BCEF15．【答案】解：27＝3＝53【解析】【分析】先化简，再合并同类二次根式．16．【答案】（1）⑤（2）开方后正负号丢失（3）x＝2±6【解析】【解答】解：（1）∵(x−2)∴x−2=±∴上述过程中，从⑤步开始出现了错误，故答案为：⑤；（2）由（1）知，发生错误的原因是：开平方后正负号丢失，故答案为：开平方后正负号丢失；（3）∵(x−2)∴x−2=±∴x故答案为：x1【分析】（1）观察发现第⑤步直接开平方法，得x−2=±6（2）由（1）得发生错误的原因是：开方后正负号丢失，（3）配方法解一元二次方程的一般步骤：移项，化二次项系数为1，配方，写成标准形式，用直接开平方法求解．17．【答案】解：画树状图如下：共有6种等可能的结果，其中两次抽到卡片恰好是琮琮和宸宸有2种结果，所以两次抽取的卡片上都是莲莲的概率为26【解析】【分析】先画树状图，确定共有6种等可能的结果，两次抽到卡片恰好是琮琮和宸宸的结果有2种，再利用概率公式求解即可．18．【答案】（1）（0，﹣4）（2）解：∵当x=−2时，y=0，当x=1时，y=0，

∴4a−2b−4=0a+b−4=0，

解得a=2b=2，

（3）8【解析】【解答】解：（1）观察表格可得，当x=0时，y=-4，∴抛物线与y轴的交点坐标是(0，−4)；故答案为：(0，−4)；（3）由（2）得y=2x∴当x=−3时，则y的值为2×9−6−4=8．故答案为：8．【分析】（1）抛物线与y轴的交点的横坐标是0，在表中找出x值为0对应的函数值即可；（2）在表格中确定两组值，利用待定系数法建立方程组求解即可；（3）把x=−3代人所求的解析式，计算求出y的值．19．【答案】解：由题意，知四边形BCDE是矩形，∴DE＝BC＝10米，EB＝CD＝1米，∠AED=90°，在Rt△ADE中，∵∠ADE＝60°，tan∠ADE＝AEDE∴AE＝DE•tan60°＝103（米），∴AB＝AE+EB＝103答：路灯杆AB的高度为（103+1）米【解析】【分析】在Rt△ADE中，根据tan∠ADE＝AEDE求出AE，再利用AB=AE+EB20．【答案】（1）3（2）解：如图②，取格点L、J，连接LF、JG，

由勾股定理得，FG=32+42=5，

∵LF∥JG，LF=3，JG=2，

∴△LFP∽△JGP，

∴FPPG=FL（3）解：如图③，取格点Q、连接QN，QH，

∵KH=KQ=3，MN=MQ=2，

∴KHMN=32=KQMQ，

∵∠HKQ=∠NMQ=90°，

∴△HKQ∽△NMQ【解析】【解答】解：（1）如图①，∵DC∥AB，AB=2，CD=3，∴△DEC∽△AEB，∴DEAE故答案为：32【分析】（1）利用△DEC∽△AEB可得DEAE（2）取格点L、J，连接LF、JG，由勾股定理得FG=5，利用△LFP∽△JGP得FPPG=FLJG=（3）取格点Q、连接QN，QH，根据KHMN=32=KQMQ，∠HKQ=∠NMQ=90°21．【答案】（1）解：∵垂直于墙的一边长为x米，三边用长为36米的篱笆围成，∴平行于墙的一边长为（36﹣2x）米，根据题意，得x（36﹣2x）＝160，解得x1＝8，x2＝10，当x1＝8时，36﹣2x＝20＞19，舍去；当x2＝10时，36﹣2x＝16，符合题意，答：垂直于墙的边长为10米（2）解：设矩形实践基地的面积为y平方米，根据题意，得y＝x（36﹣2x）＝﹣2x2+36x＝﹣2（x﹣9）2+162，∵﹣2＜0，∴当x＝9时，y取最大值，最大值为162米2．答：垂直于墙的一边长为9米时，这个矩形实践基地的面积最大，最大面积为162米2．【解析】【分析】（1）利用矩形三边的长为36米，用x表示出矩形另一边的长，再利用“矩形实践基地的面积为160平方米”列方程求解即可；（2）列出矩形实践基地的面积与垂直于墙的边长x间的函数关系式，利用二次函数的最值求出这个基地的面积最大时和垂直于墙的边长x．22．【答案】（1）16（2）1【解析】【解答】解：[教材呈现]∵点D是边AB的三等分点，∴AD∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABE，∴AD∵DE=5，∴BC=15；[应用拓展]（1）∵DE:∴EF∵DG∥AC，∴△FEC∽△FDB，∴EFDF=解得DG=16；故答案为：16．（2）过点A作AG∥DE，∵点A为DB的中点，∴AB∵CE:∴BG=CE=EG，∵△DBE的面积为4，∴△ABG的面积为1，∴△ACG的面积2，∴S△CFES∴△CFE的面积为12故答案为：12【分析】[教材呈现]利用DE∥BC可得△ADE∽△ABE，再利用相似比即可求解．[应用拓展]（1）由DE:EF=3:1得出EFDF（2）过点A作AG∥DE，根据平行线分线段成比例得出ABBD=BGBE=12，结合题意可证BG=CE=EG23．【答案】（1）10（2）解：∵点D是斜边AB的中点，AB＝10，∴CD＝12∵DP长为x，∴CP＝5﹣x，∵作点C关于直线EP对称点F，∴PF＝PC＝5﹣x；（3）解：如图，当点F落在直线CD上时，

∵点E是边AC的中点，

∴CE=12AC=4，

∵D为AB的中点，

∴CD=AD=12AB，

∴∠A=∠ECP，

∴cos∠A=cos∠ECP=ACAB=45，

由轴对称的性质可得∠CPE=∠FPE，

∵∠CPE+∠FPE=180°，

∴∠CPE=∠FPE=90°，

∴（4）解：x＝1或3【解析】【解答】解：(1)∵在△ABC中，∠BCA=90°，AC=8，sinB=∴AB=AC故答案为：10；(4)当PF⊥AC时，延长FP交CA于点G，在Rt△ABC中，BC=A∴sinA=由轴对称的性质可得∠F=∠PCE=∠A，PC=PF，EC=EF=4，∴cos∠F=∴PGPC∴PG=∴FG=PF+PG=8∵在Rt△EFG中，cos∠F=∴85解得x=3；当PF⊥BC时，延长FP交BC于点M，则MF∥AC，∴∠CEN=∠F=∠ACD=∠A=∠MPC，∴sin∠MPC=∴Rt△MPC中，sin∴MC=∵在Rt△CEN中，CE=4，∴EN=5，∴CN=E∴MN=CM+CN=6−35在Rt△MNF中，sin∠F=∴6−3解得x=1．综上所述，x的值为1或3．【分析】（1）在Rt△ABC中，利用正弦的定义式求解即可；（2）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得CD=5，进而得到CP=5−x，再由轴对称的性质可得PF=CP=5−x；（3）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到CD=AD=12AB，由等边对等角得∠A=∠ECP，于是有cos∠A=cos∠ECP=ACAB=（4）分两种情况：当PF⊥AC时，延长FP交CA于点G，利用勾股定理求得BC=6，则sinA=BCAB=35，利用轴对称的性质可得∠F=∠PCE=∠A，PC=PF，EC=EF=4，则cos∠F=cos∠PCG=cos∠A=45，sin∠PCG=s