《软件无线电原理与技术》课件-第4章

4.1低通采样

4.2带通采样或欠采样

4.3过采样

4.4正交采样

4.5采样率变换

4.6数字转换器软件无线电的实现是以数字技术为基础的，因此数字转换是非常重要的环节。软件无线电中所采用的ADC/DAC是连接模拟部分和数字部分的桥梁，ADC/DAC的性能将直接影响系统的性能。其中的重点是模/数转换，即A/D变换。A/D转换分为两步：首先实现连续时间信号离散化，这由对连续时间信号的采样来实现；随后完成量化。

在软件无线电中，对采样技术的要求比通常数字无线电的要求高。首先软件无线电的工作频带很宽，对ADC/DAC器件性能要求高；其次，软件无线电有特殊的工作方式，比如可以同时多频段、多模式收/发信号，这样对采样的具体实现方法也提出了要求。无论怎样，软件无线电要求能够实现在宽的频带范围内无缝隙、多频段地采样，这是实现软件无线电功能的基础。在采样技术中，我们会遇到不同的采样概念，如低通采样、带通采样、多频带带通采样、正交采样、过采样、二阶采样、非均匀采样等。无论如何，读者需要把握的基本原则是，采样后获得的离散序列应该能够保证从中恢复原始的模拟信号，这是采样实施时必须注意的。采样过程所应遵循的规律又称采样定理或抽样定理。采样定理说明采样速率与信号频谱之间的关系，是连续信号离散化的基本依据。采样定理是1928年由美国电信工程师H.奈奎斯特首先提出来的，因此称为奈奎斯特采样定理。1933年，苏联工程师科捷利尼科夫首次用公式严格地表述了这一定理，因此在苏联文献中称为科捷利尼科夫采样定理。1948年，信息论的创始人C.E.香农对这一定理加以明确说明并正式作为定理引用，因此在许多文献中又称为香农采样定理。采样定理有许多表述形式，但其最基本的表述方式是时域采样定理和频域采样定理。采样定理在信息处理、数字通信等领域中均得到了广泛的应用。采样方式一般分为均匀采样和非均匀采样两种。非均匀采样指采样点之间的间隔是非等间隔的，不论采样信号频率高低，非均匀采样均可根据采样信号的频率自动调节采样点数，保持周期内的采样点数固定，根据输入信号合理分配后续计算和存储资源。但采用该方法会加重后续数字信号处理的负担，这对软件无线电的实现不利。均匀采样以等时间间隔采样，采样后的信号频谱呈周期性分布，有利于理论分析和具体实现的信号还原，适合于软件无线电平台。

在本章中，我们将就软件无线电中所可能涉及到的均匀采样技术予以详细介绍。4.1低通采样低通采样(LowpassSampling)是最基本的采样形式，也称Nyquist采样。低通采样定理的表述如下：设有一个频带限制在(0，fH)内的连续信号x(t)，如果以不小于fs=2fH的采样速率对x(t)进行等间隔采样，则x(t)可以被所得到的采样值完全确定。所谓带限信号，是指对于连续信号x(t)，如果|f|>fH，则其傅立叶变换X(f)=0，如图4-1所示。图4-1带限信号示意图对于给定的最高信号频率fH，系统所需要的最低采样速率2fH

称为Nyquist速率。T=1/2fH称为Nyquist间隔，它是抽样所可能取得的最大间隔。当给定系统采样速率fs时，所可能输入的最高信号频率为fs/2，称为Nyquist频率。下面给出该采样定理的数学说明。已知一个频带限制在(0，fH)内的连续信号x(t)，采样过程就是将该信号与周期性冲激函数δT(t)相乘，该周期函数是均匀间隔为T=1/fs单位强度的冲激序列，即

(4-1)式中：δ(t)为单位冲激函数；所得到的乘积函数xs(t)也是间隔均匀的冲激序列，其强度xn等于相应时间x(t)的值，表示对x(t)的抽样，即

(4-2)令x(t)、δT(t)、xs(t)的频谱分别为X(f)、、Xs(f)，则有

(4-3)式中：式(4-3)表明，已抽样信号xs(t)的频谱Xs(f)是无穷多个间隔为fs的原信号x(t)的频谱X(f)叠加而成的，如图4-2所示。从图4-2中可以看到，当fs≥2fH时，Xs(f)是X(f)的周期性重复且不重叠，因而在xs(t)中包含了x(t)的全部信息。图4-2采样频谱如果该要求不能满足，则频谱之间会发生重叠而导致失真，该失真称为混叠(Alising)。图4-3所示为采样的混叠现象。图4-3采样的混叠现象如果采样速率满足要求，则频移后有效的频谱分量相互不会发生混叠，仅需要采用一个带宽不小于fH(fs/2)的理想低通滤波器作为重构滤波器(ReconstructionFilter)就可以恢复原始信号。理想低通滤波器的特性为

(4-4)

其冲激响应为h(t)=TfsSa(fst)

(4-5)则通过采样信号恢复原信号的内插公式为

(4-6)以上论述清楚地表明带限信号可以用其采样值来代替，具体的证明推导可参见相关参考文献，这里不多做说明。当然，完全带限信号是不存在的。在实际应用中，一个信号只要高频分量所引入的误差可以被忽略，则该信号就可以认为是带限信号。在理想情况下，ADC可以采用略高于最高频率两倍的采样速率进行采样，这样系统采样所得到的信息带宽将包含从直流到fs/2的整个范围。处理器可以通过软件实现数字滤波、抽取以及其他的射频处理，从而使得一个单片结构的接收机就可以通过软件获得多种不同接收机的实现。这是一个非常理想的软件无线电结构。这种结构非常简单，在整个工作频段内仅需要一种采样速率，所有处理均可由数字器件完成。但是问题出现了，如果采用这种工作方式，那么对器件的工作能力就提出了相当高的要求。如果系统可应用的最高频率为1.6GHz，带宽为2MHz，则所需要的采样速率不低于3.2GHz。这对ADC的采样速率提出了相当高的要求，而且其数据率也相当高，对信号处理的工作速度要求也相当高，以当前的技术水平，这是难以想象的，也是不经济的。

因此，在软件无线电中，对低通采样的应用受到了限制，即只能应用于系统的最高频率不高的场合(如接收机工作在短波段的情况下)，或者采用传统的多级变换体制接收机(外差式接收机)将射频频率变换为固定的中频频率，然后再进行ADC操作，其射频前端包括多级放大器、滤波器、混频器等，但是这样在天线和ADC之间增加了其他硬件部分，并不符合软件无线电的设计思想。因而为了能够在现实中实现软件无线电的设计目标，应该采用的是带通采样。4.2带通采样或欠采样4.2.1带通采样定理为了解决低通采样所造成的采样速率过高的问题，需要实现采用低于2倍最高频率的采样，这种采样一般称为带通采样(BandpassSampling)或欠采样(UnderSampling)，其理论基础是带通采样定理。所谓带通信号，是指信号频谱幅度在(fL，fH)外为0的信号。其中，fH为上边界频率，fL为下边界频率，带宽B=fH-fL，如图4-4所示。图4-4带通信号示意图为了描述带通信号的位置，可以采用频带位置(BandPosition)的概念，它由下边界频率相对于信号带宽倍数的整数部分描述，即

(4-7)其中，［a］表示a的整数部分。一般情况如图4-5(a)所示。一个特殊的情况是，整数频带位置(即频带)位于信号带宽的整倍数处，即fL=c(fH-fL)=cB

(4-8)当c=0时，为低通情况。另一个特殊的情况是半整数频带位置，如图4-5(b)所示。

(4-9)

带通采样定理说明：对于一个频带限制在(fL，fH)的带通信号x(t)，其采样速率为

(4-10)式中，n为正整数，满足：

(4-11)图4-5频带位置示意图(a)一般情况；(b)整数、半整数频带情况

带通采样的结果如图4-6所示。带通采样后信号的频谱也同样出现周期性的重复。具体就不再推导，请参阅相关文献。由图4-6可以看出：

(1)带通采样速率远低于低通采样速率。

(2)时域高频的信号经过带通采样后成为了低频信号，这是带通的混叠现象，如图4-6(a)所示。

(3)实信号具有对称的正负频率部分，带通采样后由于混叠造成正频率谱部分和负频率谱部分交替出现，带通采样速率必须保证正负频率部分不发生混叠。这一点对带通采样速率的选取非常重要。

下面分别详细说明这些问题。图4-6带通采样的结果(a)带通采样的时域表示；(b)带通采样的频域表示前面提到的低通采样定理表明：如果信号以被采样最高频率的两倍采样，则当信号重构时没有信息损失。fs/2称为Nyquist频率，从直流到fs/2的频率范围称为第1Nyquist区，fs/2到fs的频率范围称为第2Nyquist区，依次类推，如图4-7所示。所有在第1Nyquist区的模拟信号可被低通采样且可被恢复。当输入信号高于fs/2时，进入带通采样，频谱以fs/2反射或折叠进第1Nyquist区，此时绝对频率信息丢失了。对这样的信号用采样速率进行带通采样，其结果是把位于

((n-1)fs，nfs)不同Nyquist区上的信号都用位于(0，fs/2)上第1Nyquist区的相同的基带信号频带来表示，即进行了频谱的搬移，其前提条件是只允许其中一个Nyquist区上存在信号，否则将引起频谱混叠，这可通过抗混叠滤波器在采样前进行滤波，滤出所需要的带通信号，然后再进行采样。其采样速率不再依赖于射频载波频率，而是信号带宽。对于上面提到的最高频率为1.6GHz，带宽为2MHz的信号，采样速率约为4MHz。这样，所需要的处理速度就大大降低了。图4-7带通信号的带通采样频谱(包括Nyquist区)输入模拟信号频率fc经过采样速率fs的带通采样后所得到的进入第1Nyquist区的频率为(4-12)

式中，［2fc/fs］+1表示模拟信号频率所处的Nyquist区；rem(a，b)为a/b的余数。例如，若采样速率为78MSPS，则Nyquist频率为39MHz。第1Nyquist区为(0，39)MHz，输入信号为40MHz，处于第2Nyquist区，则采样输出为38MHz。若输入信号为68MHz，则采样输出为10MHz。注意：输入信号在10MHz、68MHz、88MHz、146MHz等点都将采样输出10MHz，此时没有办法确定原始输入信号的频率，因为已经违反了Nyquist准则。所以带通采样是有意的混叠。但是为了保证采样后信号自身不发生混叠现象，必须确保带通信号整个位于某个Nyquist区内。若带宽为B，带通信号载波频率为fc，则采样后信号位于第1Nyquist区内。基载频采样后的频率为fA，有

(4-13)

另外，由式(4-12)知，当整个带通信号位于偶数Nyquist区时，经过采样后会发生频率的“反折”，即高频分量对应基带上的低频分量，低频分量对应高频分量。当整个带通信号位于奇数Nyquist区时，不会发生“反折”现象，如图4-8所示。图4-8带通采样的“反折”现象为了能比较直观地掌握这个特点，我们采用混叠三角形，如图4-9所示。该混叠三角形可以这样构成，在频谱上从0开始画一组等腰三角形，其底边长为fs，对每个等腰三角形又可以分为两个相互对称的直角三角形，这些三角形在频谱轴上的底边恰好构成Nyquist区，以第1Nyquist区上的直角三角形为基准，若信号所在的Nyquist区上的混叠三角形与第1Nyquist区的混叠三角形一致，则采样得到的信号不会发生“反折”，反之，会发生“反折”。图4-9混叠三角形还有一种直观的方法就是折扇法。想象用一叠半透明纸，如图4-10所示，将纸的叠痕按垂直方向固定，沿底边从左到右绘制频率轴，然后在A/D采样速率fs的倍数(即fs/2的偶数倍)处向内折，在fs/2的奇数倍数处向外折。这样，折出的各页就代表Nyquist区。图4-10折扇法观察带通采样结果纵轴表示信号(如宽带RF信号)频谱的幅值。为了查看采样后的情况，只需要将这一叠纸叠起来，然后对着灯光看过去，就可以看到这些纸上的频谱互相重叠，上面就是A/D转换输出样本中的频率值。如图4-10所示，高于fs/2的信号都被折到0~fs/2之间。对于奇数页上的信号，其频率相当于改变了fs的整数倍，而偶数页上的信号首先对频率轴进行翻转，然后改变fs/2的奇数倍，这种概念通过折纸模型比较容易理解。在应用中如果不希望产生“反折”现象，则可以通过选择合适的采样速率或在采样后进行FFT，然后将结果进行逆序排列。

为了获得较理想的带通信号，防混叠滤波器是非常重要的，而且可跟随输入信号相应变化。但是高Q滤波器(模拟的或是级联的)是不易实现的。为了解决这个问题，在软件无线电接收机的设计中一般采用一个固定的中频，在中频进行采样，这样防混叠滤波器的设计就变得相对容易，这就是所谓的外差式接收机。4.2.2带通采样速率的选择

1.最小采样速率与低通采样相同，最小带通采样速率是非常重要的指标。由式(4-10)我们得到：

(4-14)

根据式(4-14)可得到最小采样速率，如图4-11所示。图4-11中，横坐标为信号的边界频率，纵坐标为采样速率，图中斜线表明相应的最小采样速率。图4-11带通采样最小采样速率由图4-11可见，当带通信号处于整数频带位置时，可以取到理论上的最小采样速率为2B。随着频率的增高，当n较大时，最小采样速率也接近2B

，因此，通常认为带通采样的最小速率为2B

。但需要注意的是，理论上的最小采样速率是病态的，它会在应用中造成频谱混叠，因此，一般需要大于最小采样速率进行采样，或者对信号设置保护频带。

这个图虽然非常直观，但仅仅给出了最小允许采样速率，这与带通采样允许采样速率是有差别的，而且可能给人一个误导，比如可能认为如果采用4B进行采样，则不会发生频谱混叠，或者说大于4B的采样速率都是允许的。这显然是不对的。

2.允许的采样速率为了了解带通采样可能允许的采样速率，再次考虑带通采样定理，其均匀采样速率为

(4-15)

注意：当等式成立时，信号处于整数频带位置，在fH或fL的频率分量会发生混叠。根据式(4-15)，我们把图4-11进行修正，于是得到图4-12。图4-12允许采样速率和不允许采样速率与频带位置关系图图4-12中的白色锲形区域是无混叠的采样速率存在的区域，阴影区域为发生混叠的采样速率所处的区域，用n来表示每个锲形区域，n就称为锲形区的阶数，最大的锲形区阶数可由式(4-11)得到，它与带通信号的频带位置密切相关，为

(4-16)

对于一个带通信号，可用从横坐标相应频率点出发的一条与纵坐标平行的直线穿过的锲形区域来描述其可采用的采样速率。可以看到，这条直线将按n的可能取值从大到小穿越不同的锲形区，最后，进入n=1的锲形区，这个区所对应的采样速率满足Nyquist低通采样定理。锲形区的顶点表明当信号处于整数频带位置时，带通采样所能取的最小采样速率为2B，此时信号所处的Nyquist区的阶数就为nmax。在实际应用时，由于各种应用误差的出现，采用该频率进行采样很容易造成问题。

当然，在某些特殊的场合，带通采样定理可以违反。例如，对于平衡双边带信号，其双边频谱可以互相反折混叠而没有信息损失，这样对于一个总带宽为B的双边带信号，可以采用的最小采样速率为B。这种情况是相当特殊的，如果采样速率出现一点变化，则会引起不正确的折叠，使信息受到损失。不在最小采样速率2B进行采样意味着给原信号增加了一个保护带宽。实际上，任何远离锲形区域顶点的采样速率都可以认为是在将要发生混叠的频谱位置处增加了保护带宽。总的保护带宽BGT可以这样定义：BGT=fs-2B

(4-17)

保护带宽在图4-13的右侧横坐标上标出，则总带宽(信号带宽加保护带宽)为BT=B+BGT

(4-18)图4-13有保护频带的n′阶锲形区以及采样频率的容许范围令该带宽所在位置为(

)，其中，

(4-19)(4-20)式中：BGL、BGH分别是上、下保护频带带宽，且有BGT=BGL+BGH

(4-21)

这样，考虑保护频带的最大的锲形区阶数为

(4-22)

在该区域内取最小可能允许的采样速率。在n′锲形区中，采样速率的允许范围是:

(4-23)

图4-13表示有保护频带的n′阶锲形区以及采样速率的容许范围。在这个范围内，以正常工作点为中心，可以将该范围分成上、下两个部分，即Δfs=ΔfsH+ΔfsL

(4-24)这上、下两部分的选取(也就是工作点的选取)也确定了保护带宽，有(4-25)(4-26)

值得注意的是，保护带宽对称意味着采样速率的容许范围不对称。但是，随着n的增加，这种不对称会越来越小。如果采样速率的工作点选择为锲形区域中点(即采样速率容许范围对称)，那么采样速率为

(4-27)

此时，保护带宽为(4-28)(4-29)

【例4-1】若有一个带宽为25kHz的信号，位于(10.7025MHz，10.7275MHz)，设定对称的保护频带为2.5kHz，这样该信号的区间就为(10.7MHz，10.73MHz)，则最大锲形区阶数为在357阶锲形区，最大允许采样速率为

最小允许采样速率为采样速率的容许范围很小，为如果不考虑保护频带，则最大锲形区阶数为最大允许采样速率为

最小允许采样速率为采样速率的容许范围更小了，为0.02Hz。注意：在这个例子中，从理论最小采样速率到包括保护频带的最小采样速率之间，横跨了429-357=72个锲形区，这表明在带通采样中不能随意增加采样速率。最小采样速率的相对精度随带通信号频率的增加而增加，即随着n的增加而增加。从上面的例子可以初步看到这一点，如果采样速率工作点在n阶锲形区域内，则采样速率的容许范围是(4-30)所以采样速率的相对精度为(4-31)当fH/B-n=1时，等式成立。其相对精度与所在锲形区域的阶数的平方成反比。对于上面所提到的例子，若n=429，则采样速率的相对精度为显然，在阶数为429的锲形区域内，对采样速率精度的要求是很高的。当然，我们可以选择较小的锲形区域阶数，这样就可以降低对采样速率精度和保护带宽的要求，但是这样会增加采样速率。图4-14给出了相对精度与最小允许采样速率之间的关系，图中也给出了RC振荡器和晶体振荡器所能达到的精度，可以作为选择采样方案的参考。图4-14相对精度与最小允许采样速率之间的关系4.2.3采样的噪声

在通信系统中，噪声性能的好坏对系统性能的影响至关重要。在软件无线电通信系统中，由于采样以及量化所引起的噪声是相对于背景噪声不同的噪声形式，因此对性能的影响也非常大。这里主要考虑量化噪声(QuantizationNoise)以及带通采样引起的噪声混叠。

1.量化及其噪声

模拟信号经过采样后，其采样值还是随信号幅度连续变化，即采样值可以取无穷多个可能值。为了能够利用数字系统处理采样值，必须将采样值用有限个离散取值表示。利用预先规定的有限个电平来表示模拟采样值的过程称为量化。

模拟向数字转换的理想转换函数具有均匀的阶梯特性，如图4-15所示。该图表示在一定的输入范围内所有模拟输入可以唯一用有限位数字字表示。图中还给出了每个数字字表示的模拟输入区间。因为模拟信号是连续的，数字字是离散的，所以量化过程必然会产生误差。当数字字位数增加时，量化间隔将减小，转换函数将趋近于一条理想直线。图4-15A/D的理想转换函数量化间隔的宽度定义为1LSB(最低有效位)，这是转换精度的度量。若输出数字字为Nbit，则可以有2N个可能的数字字表示2N个量化阶，但是由于第一阶和最后一阶只有正常量化间隔的一半，因此满刻度范围(FSR，FullScaleRange)被分为2N-1个区间。对于Nbit的转换器，幅度量化间隔q(或1LSB)的大小为

(4-32)式中：VFSR是量化的满量程输入电压范围。例如，峰峰值满量程电压是2.2V，N=14bit，则其量化间隔为量化过程所产生的误差称为量化误差(QuantizationError)。这里对量化噪声功率和信噪比(平均信号功率与量化噪声功率比)进行简单计算。假设一个模拟输入为正弦波，满量程峰峰值为A，量化间隔为(4-33)

这里假设量化误差e是在(-q/2，q/2)之间均匀分布的0均值随机变量，其方差即量化噪声功率为(4-34)即量化噪声功率与量化间隔的平方成正比。由于正弦信号功率为

(4-35)因此，信噪比为

(4-36)由此可以得到结论，信噪比与量化位数有关，每提高1位，信噪比提高6dB。如果转换位数为14bit，则对于一个满量程正弦信号，理论上信噪比为86dB。若为10bit，则为62dB。另外必须注意，在实际软件无线电应用中，量化噪声是分布在整个Nyquist带宽范围内的，因此一个更为有用的信噪比的计算方式是仅考虑信号带宽内的噪声。(4-37)这里SNRN是全Nyquist带宽范围内的信噪比，SNRI是考虑实际信号带宽后的信噪比。

2.带外噪声的混叠效应

在应用带通采样的时候，带通信号会反折进入低通(第1Nyquist区)，即从直流开始到输入ADC的信号频率之间的能量会折叠进入第1Nyquist区，这样将造成信噪比下降。我们用折扇法来进行形象说明，如图4-16所示。图4-16噪声混叠示意图考虑在一个系统中，带通信号的功率谱密度为S，带内噪声功率谱密度为Np，带外噪声功率谱密度为N0，这样输入的模拟信号的信噪比为S/Np，而采样后信号的信噪比下降为(4-38)其中，n为信号所在Nyquist区的阶数。除非Np>>N0，可以不考虑信噪比下降的影响。如果Np=N0，且假定n>>1，那么信噪比的下降因子可以表示为DSNR=10lgn

(4-39)等效地，噪声温度至少增加n。

【例4-2】仍以例4-1给出的信号为例，B=30kHz，n=357，则DSNR=10lgn=25.5dB

可以看到，信噪比的恶化是相当大的。在实际应用中，即使仅存在热噪声，带通采样所可能造成的信噪比恶化也必须充分考虑到。因此防混叠滤波器是非常必需的，而且防混叠滤波器必须保证混叠成分低于最小可接收水平(即1/2LSB)4.2.4多频段信号的带通采样

前面主要针对单一频段信号进行了分析。为了能够充分利用软件无线电结构的灵活性，非常有必要讨论采用单一前端处理多个信号的能力。按照以前学习过的内容，我们很直接地想到可对多个信号所分布的频带进行带通采样，然后进行数字处理，如滤波等。

图4-17中给出了两个分布于不同频段的信号。对其分布的频带进行带通采样，这样就实现了多个信号的采样，而且不混叠。图4-17常规的多频带信号带通采样采用这种方法非常简单，但是如果两个信号相隔较远，则即使采用带通采样，其采样速率和所要求的后处理速率仍然是相当大的。例如，两个带宽为20MHz的信号，其中心频率分别位于1.2GHz和1.6GHz，采用带通采样所需要的采样速率至少为800MHz，这显然是十分浪费的，因为两个信号的信息带宽不过是40MHz。那么能否再一次像提出带通采样一样，采用一种新的采样方法来采样多频段信号，其采样速率不依赖于这些信号的分布范围，而仅仅依赖于多频段信号总的信息带宽呢？由于带通采样会使频谱发生混叠，因此一个合理的想法是：对射频上分离的多个频段的信号进行带通采样，它们都会混叠进入第1Nyquist区，只要采样速率能够保证他们互不重叠就可以实现信号的分离，如图4-18所示。图4-18多频带信号带通采样如何确定采样速率呢？我们已经知道通过带通采样后，频率的变换情况见式(4-12)，另外还需要依靠带通采样的限制条件。

(1)保证带通采样后频谱完整位于第1Nyquis区内，采样前信号载频为fc，采样后混叠进第1Nyquis区内的频率为fA，则有：

(4-40)

(2)保证多频段信号带通采样后频谱相互之间不发生混叠。对于两频段信号，有

(4-41)

若包含N个频段信号，则有

(4-42)式中：i,j=1,2,…,N，且i≠j。利用式(4-40)以及式(4-41)我们可以通过反复迭代来获得所需要的采样速率，也可以通过图4-19所示的方法进行辅助设计。下面通过一个实例来具体说明。

【例4-3】拟设计一软件无线电卫星导航接收机，可以同时接收美国GPS信号和俄罗斯GOLNASS信号。已知GPS：中心频率fc_GPS=1575.42MHz，3dB带宽3.2MHz；GOLNASS：中心频率fc_GLO=1605.656MHz，3dB带宽7.5MHz。对其采样策略进行考察。

解：若按照传统低通采样，则由于最高频率在1.6GHz以上，因此至少需要3.2GHz的采样速率。

若按照传统带通采样，则由于两个信号的覆盖范围大约为(1573.82，1609.41)，带宽为35.59MHz，需要71MHz采样速率。而实际总的信息带宽为10.7MHz，所以最低的采样速率应该为21.4MHz。考虑一定的余量，取24MHz左右。为了保证采样后采样速率可以完成采样要求，必须满足限制条件。

(1)求GPS在24MHz左右的采样速率范围。

GPS的最低频率：GPS的最高频率：所处锲形区的最大的阶数：为了使采样速率在24MHz左右，锲形区的阶数n=131，则采样速率范围为由式(4-12)我们可以得到，GPS信号在不同采样速率情况下所对应的进入第1Nyquist区的频率如图4-19深色区域所示。其中，混叠区域是指采样速率选择在这里会造成自身信号混叠，该部分不能用于采样，因为不满足条件(1)。

(2)求GLONASS在24MHz左右的采样速率范围。

GLONASS的最低频率：GLONASS的最高频率：所处锲形区的最大的阶数：为了使采样速率在24MHz左右，锲形区的阶数n=133，则采样速率范围为由式(4-12)我们可以得到，GLONASS信号在不同采样速率情况下所对应的进入第1Nyquist区的频率如图4-19中浅色区域所示。其中，混叠区域是指采样速率选择在这里会造成自身信号混叠，该部分不能用于采样，因为不满足条件(1)。为了保证条件(2)，两个区域采样后的结果必须保证在纵坐标上没有重合，那么只有图中网点状的区域符合条件，其范围是(24.2015，24.2126)，这里选24.205MHz为采样速率。这样对于GPS，可计算其载波经过带通采样后进入第1Nyquist区的频率。由于［2fc_GPS/fs］+1=［2×1575.42/24.205］+1=131为奇数，因此有：fIF_c_GPS=rem(fc_GPS,fs)=2.095GPS信号经过带通采样后进入第1Nyquist区的频率范围是：

这样对于GLONASS，可计算其载波经过带通采样后进入第1Nyquist区的频率。由于［2fc_GLO/fs］+1=［2×1605.656/24.205］+1=133为奇数，因此有：fIF_c_GLO=rem(fc_GLO,fs)=8.126

GLONASS信号经过带通采样后进入第1Nyquist区的频率范围是(8.13-7.5/2=4.376，8.13+7.5/2=11.876)，两个恰好不重叠，如图4-19所示。图4-19GPS-SPS和GLONASS在不同采样速率下的中频示意图4.3过采样

所谓过采样(OverSampling)，是指信号的采样速率大于两倍的信号带宽或信号的最高频率。我们用采样系数β表示采样速率高于Nyquist采样速率的倍数，此时采样速率为fs=2βfH

(4-43)这里，fs是采样速率，fH是信号带宽或信号最高频率。为什么需要采用这样“浪费”的方式进行采样呢？我们再次回顾输入模拟信号进行低通采样的过程，采样的步骤可以分为三步：

(1)信号首先通过高性能的模拟低通滤波器来限制其频带。

(2)滤波后的带限信号(或近似带限信号)按照Nyquist速率进行采样。

(3)将采样后的值进行量化。在采样过程中，为了防止混叠，需要具有陡峭的截止特性(像“砖墙”一样)的模拟低通滤波器作为防混叠滤波器。当然，这样做是不现实的，在实际中，滤波器都会有过渡带，然而过渡带会增加输出信号的带宽，原来的采样速率(二倍于最高频率)必须相应增加。这样，采样后的信号频谱之间会出现额外的间隔，这个频谱间隔不意味着有用信号的带宽的增加，只是用来防止信号受到采样所造成的混淆的影响。当然完全消除混淆是不可能的，只是说可以将混淆降低到容许的程度，因为事实上信号不可能是带限的。典型的过渡带大约增加10%~20%的带宽。为了使系统能够在最低的采样率上采样以降低后处理的数据量，我们必须实现一个复杂的具有窄过渡带的模拟滤波器。然而，采用模拟滤波器具有两个不好的特性：首先，由于过渡带较窄，因此将产生失真(非线性失真)；其次，必须采用高阶的滤波器实现这种窄带滤波器，因此需要数量较大的高质量的元器件，相比数字器件，在信号处理中采用高性能的模拟器件要比采用数字处理器件成本高且性能不稳定。

现在我们改变一下思路，即不再强调采用高性能的模拟滤波器进行限带，而选用廉价的、简单的、过渡带较宽的模拟预滤波器来限制频带，由于过渡带加宽，因此必须采用高的采样速率。一般地，采样速率为原来的两倍，这就是所谓的过采样。图4-20中表明了Nyquist采样和过采样后信号频谱的不同。从图4-20中可以很清楚地看到，由于采用了过采样，因此对于模拟防混叠滤波器的要求大大降低了。图4-20Nyquist采样和过采样后信号频谱对比为了和Nyquist采样进行对比，这里也给出采用过采样的步骤。

(1)信号首先通过一个低性能(廉价的)模拟低通滤波器来限制其带宽。

(2)滤波后近似带限信号通过高于Nyquist速率的速率进行采样。

(3)将采样后的值进行数字化。

(4)数字化后的样值通过高性能的数字滤波器降低数字样值的带宽。

(5)降低数字滤波器的输出速率使之与数字滤波器输出的带宽缩减的信号相适应。

结合上述采样步骤，对过采样的特点作进一步说明。首先，过采样将原来集中在模拟滤波器上的任务进行了分解，主要采用数字滤波器实现信号的限带，以获得窄的且无失真的过渡带。虽然数据速率较高，但采用数字器件实现的成本较低，而且可以提高采集数据的质量。一般前级的模拟滤波器会引入幅度和相位失真，在准确掌握失真情况的基础上，后级采用数字滤波器不仅可以完成防混叠滤波器的任务，而且可以补偿幅度和相位失真，可以获得较为理想的合成响应，这样我们就采用较小的付出得到了具有更高质量的信号(失真小)。其次，通过高性能的数字滤波，信号频带受到有效限制，因此此时较高的数据速率相对有冗余，需要降低数据速率以适应现时的需要。一般希望将数字滤波和降低数据速率结合在一起完成。从以上论述可以看到，无论是Nyquist采样还是过采样，对于一个给定的输入信号，我们实际上都希望得到的输出是速率上尽可能与输入信号带宽相适应、失真尽可能小的采样数据。这两种采样方法都可以获得相当的效果，但很明显，过采样是一种非常经济的解决方案，类似的原理也用于数/模转换中，DAC后的模拟滤波器如果具有窄的过渡带，则将引入较大的失真，如果送入DAC的数据速率大于Nyquist速率，则该滤波器的过渡带将有所放宽，这样DAC后面的模拟滤波器的过渡带要求就放宽了。

除了上面所说明的原因外，过采样还是一种在数字域提高信噪比的方法，可以获得信噪比的增益。对于一个ADC，其采样引起的量化噪声的功率是确定的，如果采用Nyquist速率进行采样，则获得的信号信噪比如式(4-36)所示。这种平均分布的噪声落在信号带宽内的功率可能对信号造成影响，而这部分噪声的功率与信号带宽和功率谱密度有关。若采样速率提高，则这个噪声会扩展到更宽的频带上，噪声功率谱密度会降低。这样，进入信号带宽内的噪声功率就会下降，此时采用滤波器对带外噪声进行滤除，信噪比将相应提高，如图4-21所示。此时信号信噪比计算公式为式(4-37)。图4-21过采样引起的信噪比增益根据式(4-37)可知，若采样速率加倍，则转换噪声功率谱密度下降3dB。如果数字滤波器用于滤除有用信号周围的噪声，则过采样得到的处理增益为

(4-44)

该处理增益就称为过采样增益，该公式假定滤波器是理想的并满足信号需求。过采样增益是通过过采样操作和数字滤波获得的。在实际操作中，数字滤波可以通过样点平均来实现，降低采样率可用过抽取实现，即每隔k个值取一个值。这两个过程可以合在一起，即将样点分成组，每个组包含k个样点，这些

样点平均后得到一个平均值，此时，数据速率也就下降为原来的1/k，如图4-22所示。图4-22过采样样点平均示意图这里，通过数字平均角度也可以看到输入参考噪声的减少。以一个16位的ADC为例，该ADC以100kSPS采样率工作，过采样系数为2，具有15位无噪声码分辨率。对同一个信号的每次输出采样做两次测量结果平均，将使有效采样率减少到50kSPS，信噪比(SNR)提高3dB，这样无噪声码分辨率可提高到15.5位。如果过采样系数为4，对每次输出采样做四次测量平均，则采样率将减少到25kSPS，SNR将提高6dB，并且无噪声码分辨率将提高到16位。表4-1列出了过采样系数与信噪比提高以及相应增加的位数之间的关系。这样，从整体上讲，过采样、数字滤波、抽取都可以提高信号的信噪比或提高ADC的分辨率。如果输出的数据速率与信号带宽相适应，则要想增加1bitADC的有效位，相当于增加6dB信噪比，等效于进行系数为4的过采样。这一点在实际中用处非常大，过采样的应用可以获得相对廉价的较高精度的ADC或DAC。例如，为了实现一个24bit转换器，可以采用20bit的转换器工作在256倍的原采样速率上，对一组256样点20bit精度进行平均，则信噪比提高256倍，约为24dB，将增加24/6=4bit分辨率，获得一个24bit的分辨率。注意：当信号中包含的是等分布白噪声时，这个平均是可能的。为了在样点平均操作时不进行除法，一般采用将样点和的结果(二进制)向右移n位，移出的位就不要了。这是因为若增加nbit精度，则需要4n倍过采样，将4n个样点相加后，位数增加2nbit，此时不进行除法，只需向右移走nbit即可获得增加的nbit精度。如在10bitADC希望获得12bit的精度，则需要42=16倍过采样，16个10bit数取和得到一个14bit数，然后向右移2位，就得到12bit数，最后两位不要。在上面的例子中，若增加4bit精度，则需要256倍过采样，相加得到20+8=28bit，向右移4位，得到24bit的结果。

需要强调的是，过采样和欠采样(带通采样)不是完全对立的，因为欠采样是按照绝对最高频率定义的，而过采样是可以按照信号带宽定义的。例如，一个带宽为5MHz，中心频率为100MHz的信号若采样速率大于10MSPS，则可以称为过采样，同时也是欠采样。4.4正交采样在进行实带通采样的时候会有不少的限制，这是因为信号存在正谱和负谱，在采样时，正负谱形成的分延拓分量之间必须保证不混叠。如果采用复采样(ComplexSampling)或正交采样(QuadratureSampling)，则会降低这些限制，相当于对一个通过Hilbert变换得到的解析信号进行采样，如图4-23所示。图4-23Hilbert变换产生无负谱的复信号过程这将产生两组采样数据，其中：I(n)=r(nTs)

(4-45)(4-46)这里，为r(t)的Hilbert变换。由于复信号的负频率部分被完全抑制，因此在两个支路上分别进行采样速率为fs=B的采样就可以完全消除有害的混叠现象，而且这与信号的中心频率位置是无关的。这与常规的带通采样相比具有很大的优势，如图4-24所示。图4-24复带通采样示意图如果fs=fc/k≥B，这里k为正整数，则对带通复采样等效于对基带信号采样。令z(t)表示带通信号r(t)的复基带信号，即

(4-47)

对解析信号进行采样，则采样序列可以表示为(4-48)这里，采样间隔Ts=1/fs=k/fc。在频域，这意味着位于中心频率fc的第k个频谱样本与位于零频的样本一致，而且这些相继的频谱样本没有混叠。

在实际应用中，对于信号进行Hilbert变换是较为困难的，为此一般采用正交下变频方式实现两路正交信号，如图4-25所示。

虽然理论上是非常有吸引力的，但是正交采样的实现是具有挑战的，参看图4-25，每路的调制器、信号路径、低通滤波器必须是严格匹配的，这样才能保证复信号的表示是输入信号的正确表示，否则任何幅度和相位的不匹配都将导致失真。图4-25正交采样技术示意图4.5采样率变换通过了解前面三种基本的采样形式，我们有了这样一个认识，在接收端，从采样性能角度上看，采样速率应该是越高越好，这样不仅可以使被采样带宽增加，而且有利于降低量化噪声，但是，随着采样速率的增加，将使采样后的数据速率很高，这将导致后续信号处理的负担加重，非常有必要在ADC后进行降速处理；在发射端，我们希望输入到DAC的数据速率尽可能高，以降低噪声并减小射频输出滤波器的实现难度，但是同样地，由于数字信号处理能力的限制，输出速率也不能很高，因此也非常有必要进行升速处理。另外，由于软件无线电系统所传输的信号可能是多种多样的，既可能是语音信号，也可能是图像信号，这些信号的频率成分相差很远，因此系统应该具有多种采样速率，并可完成采样率的变换，即使是同一种信号，使用对象的不同所要求的数据速率也是不同的，比如，质量较高的系统数据其速率自然会高。因此，对采样率进行变换是非常重要的。这就是重采样或采样率转换所需要介绍的内容。

一般认为，在满足采样率的前提下，首先将以采样率fs1采集到的数字信号进行D/A变换，再按照采样率fs2进行A/D变换，这样就可以实现从fs1到fs2的采样率转换。但这样比较麻烦，且容易使信号受到损伤，所以实际上改变采样率并不是数字信号变成模拟信号后再进行一次不同速率的采样，而是在数字域内实现。采样率转换通常分为“内插”和“抽取”，“上采样”和“下采样”。“内插”和“上采样”是指提高采样率以增加数据的过程；“抽取”和“下采样”是指降低采样率以去掉多余数据的过程。在本节中，首先介绍整数倍的采样率的变换方式，并以此为基础介绍分数倍的采样率的变换方式。4.5.1重建后重采样

已知一个数字信号采样率为fs1=1/T1，现将其采样率变换为fs2=1/T2，采用的一个较为直观的方法是通过DAC重构这个信号，然后对这个重构信号进行重采样(Resampling)，该方法如图4-26所示。图4-26信号重构后进行重采样示意图这种方法在实际中并不合适，但是它可以使我们非常清楚地了解采样率变换的特点。图4-27给出了采样率变换时谱结构的变化情况。

图4-27(a)为一个低通信号在采用Nyquist速率采样后的谱情况，采样后信号的谱为原信号频谱按照周期1/T1进行延拓得到的，那些新产生的频谱分量称为镜像分量；图4-27(b)为重构滤波器特性，其通带为fpa；采样信号通过该滤波器实现重构，见图4-27(c)，此时，信号会引入两个失真，一个是由于过渡带引起的本身信号失真，另一个是由于镜像信号不可能完全抑制引起的失真；该信号再通过采样速率1/T2进行重采样，所得到的谱为图4-27(d)。如果信号频带在fpa内，则必须要求重采样后所可能造成的混叠成分不能进入fpa。图4-27采样率变换时谱结构的变化情况(T2>T1)必须强调的是，防混叠是任何采样速率变换系统必须服从的要求。因此，在采样率变换时首要的设计目标是滤波器的设计，其目的就是控制混叠。一般情况下，当采样速率下降时出现混叠成分，采样率上升时出现镜像成分，而混叠成分一旦混入有用信号就不可能消除，所以采样速率下降时必须非常小心。4.5.2内插或上采样

上采样(Upsampling)和内插(Interpolation)是两个非常相似的概念，其作用是使目标采样率大于原始采样率。有的文献认为上采样就是插0，内插是上采样+滤波，而有的文献又恰好相反或认为两个概念相同。为了不至于引起混乱，这里明确认为这两个概念相同，包括插值和滤波两个过程。

1.上采样的实现

上采样最简单的方法是在原来的数据流中插0来提高采样速率。另一种实现方法是对原信号样值进行加权平均，产生新的额外样值。几乎在所有的情况中，上采样均包括内插滤波器，以消除原信号的镜像，如图4-28所示。图4-28上采样的实现框图图4-8中，符号“L↑”表示插值，一般是插零，即在两个原始抽样点之间插入L-1个0。若原始抽样序列为x(n)，则插值后的序列为

(4-49)

插值的过程如图4-29所示。图4-29插值的过程(图中仅表示插入一个0)进行Z变换，可以得到：Y(z)=X(zL)

(4-50)

将z=ejω带入，得到其DTFT(离散时间傅立叶变换)：Y(ejω)=X(ejωL)

(4-51)

式(4-51)表明，内插后信号的频谱为原始频谱经L倍压缩后得到的谱。图4-30表示内插引起的谱的变化，其中，图(a)是原始信号谱，插零后原始频谱经过压缩并产生镜像分量，如图(b)所示。图4-30上采样的频谱变化情况这时频谱中不仅含有基带分量，而且含有频率大于π/L的高频镜像分量。为了从中恢复原始频谱，必须对内插后的信号进行低通滤波，滤波器通带为π/L。注意，这是通过数字滤波实现的。

(4-52)

滤波后得到的结果如图4-30(c)所示。

只要系统的内插系数不为素数，就可以采用多级内插的方式，如图4-31所示。图4-31多级内插示意图各级内插倍数应该按照由小到大的顺序进行安排。例如，若内插倍数为60，则60=3×4×5，可以分为3级进行内插，首先进行3倍内插，然后进行4倍内插，最后进行5倍内插，即保

证最高的数据速率对应最大的内插倍数，使系统总运算量较小。内插的级数以2或3级为佳。

另外，还有一种内插方式是采用信号样点值加权平均进行内插，这里就不作说明了。

2.上采样和过采样的关系

在数学层面上，上采样与过采样类似，它们都包含有采样速率或数据速率从一个较低的速率变到另一个较高速率的含义，但两者之间还是有很大差别，在此做特别说明。

过采样是一种状态，指采样速率比Nyquist采样速率高的采样。

上采样是指采样速率提高的过程。

上采样会造成过采样，但是过采样并不一定由上采样造成，比如，在发射端数据速率快就可以造成过采样，并不一定需要上采样过程。在实际应用中，过采样典型地用于描述在进行ADC时，信号的采样速率几倍于Nyquist速率的情况，同样在DAC工作中，输入DAC的数据速率高于Nyquist速率的情况也可称为过采样，其所出现或使用的数据速率大于实际所需要的数据速率。采用过采样大大减轻了模拟防混叠滤波器的设计难度，可以使滤波器的过渡带放宽，减小了信号失真，扩展了量化噪声的分布范围，降低了量化噪声的功率谱密度，非常有利于系统的实现。

上采样是一个纯粹的数字域处理过程，就是通过数字信号处理手段，完成数据速率的提高。为了清楚起见，图4-32给出了某一系统实现框图。该系统分为数字部分和模拟部分，过采样发生在数字部分和模拟部分的衔接处，而上采样发生在数字部分处。但实际上，过采样的实现仍旧依赖于上采样，因此如果针对DAC，则过采样与上采样是相同的，有的地方做了更细的划分。如果速率增加倍数为较大的整数，则称为过采样；如果不为整数或较小，则称为上采样。

无论怎样，这两种采样的最终数据速率必须满足采样定理，以防止混叠的发生。图4-32上采样与过采样的实现框图4.5.3抽取或下采样

下采样(Downsampling)是包括防混叠滤波的降低信号采样速率的过程，通常用于降低数据速率和减小数据规模。下采样系数用M表示，该系数表明下采样后的数据速率降为原速率的1/M，M通常是整数或者有理小数。下采样有时称为子采样或亚采样(Subsampling)。

抽取(Decimation)也是一个类似的概念，这两个概念的异同没有一个确定的说法。一种观点认为，抽取是下采样的一部分。因为抽取这个词来源于古罗马军团的一个残酷的惩罚制度“十杀一”令，即若兵败，则对士兵每十人为一组抽出一个当场杀掉。所以该观点认为，抽取是保持原采样值，并按照顺序将样点分为M个为一组，用所有第M个样点形成一个新的信号；下采样是一个完整的在低采样速率下的重采样过程，它在抽取前一般包括防混叠滤波器，可以说在抽取前有插值(有新的样点值形成)。

另外一种观点恰好相反，认为所谓抽取，就是采用合适防混叠滤波器的下采样，而下采样并不包含滤波操作。第三种观点认为，两者是相同的。

在本书中我们采用最后一种观点，即两个概念相同。因为无论怎么做，我们只需要把握住我们的目的是在没有混淆现象发生的情况下降低数据速率，一旦混淆现象发生，则无法修正。在下采样中，防混叠滤波器一定是低通滤波器，这与欠采样有所不同。

抽取使系统可以工作在较低的速率下，降低了处理的成本，比如降低了用于信号处理的计算或存储能力，可以降低系统的实现成本。特别需要注意的是，若数据速率降低M，则系统所需的工作量可能降低远大于M。例如，如果采样速率加倍，则同样的滤波器将需要4倍于原来的运算量，这是因为数据速率和滤波器长度都加倍，所以卷积运算量就增加4倍。这样，如果能够将采样速率减半，则显然运算量将减为原来的1/4。

1.抽取的实现设x(n)是连续信号xa(t)的采样序列，采样速率为fs1=1/T1，T1称为采样间隔，则有x(n)=xa(nT1)

(4-53)

若希望将采样速率降低到原来的1/M，那么最简单的方法就是把原始采样序列每M点抽取一点，抽取的样点依次组成新的序列，其采样间隔为T2，这样采样速率fs2=1/T2，降低到原来的1/M。新序列和原始序列之间的关系为y(m)=x(nM)

(4-54)式中，M为抽取系数。该抽取系统如图4-33所示。图4-33下采样的实现框图图4-33中，符号“M↓”表示抽取。进行Z变换，可以得到：(4-55)

将z=ejω带入，得到其DTFT(离散时间傅立叶变换)：(4-56)

式(4-56)表明，抽取后信号的频谱为原始频谱按最终采样速率频移以及M倍展宽后得到的谱的叠加和。下采样过程中频谱的变化如图4-34所示。图4-34下采样过程中频谱的变化(2倍抽取)如果采用简单的抽取，且没有其他措施，则会引起频谱的混淆现象，如图4-35所示。

因此，必须采用低通滤波器进行带限。抽取后信号的最高频率π就是抽取前的π/M，所以如果采用理想低通滤波器，则滤波器的截至频率为π/M。

滤波器可以采用FIR或IIR滤波器。由于FIR滤波器没有反馈结构，因此在应用时没有必要计算所有点的滤波值，仅计算需要抽取点处的滤波值就可以了，这样将滤波和抽取合并在一起完成，而IIR滤波器没有这样的优势。所以一般选用FIR滤波器。图4-35下采样过程中频谱的混叠在具体实现时，抽取可以单级实现，即一次实现M倍抽取，但是当抽取倍数非常大的时候，所需要的低通滤波器的阶数会非常高，不宜于实现。在这种情况下，可以多级抽取的方式实现，如图4-36所示。下面进一步通过例题说明这个问题。图4-36多级抽取示意图

【例4-4】已知用Kaiser窗设计FIR滤波器的经验公式为

若信号带宽为50kHz，原有采样速率为fs=100MHz，希望得到的目标速率为200kHz，则抽取系数为500。现要求δp=δs=0.001。

若采用单级抽取，通带最高频率fpa为50kHz(即π/1000)，滤波器阻带fst为100kHz(即π/500)，则

如果采用二级抽取，第一级抽取系数为50，采样率降为

2MHz，则在第一级有阻带最低频率为1MHz(即π/50)，有第二级原始采样速率为2MHz，抽取系数为10，目标采样率为200kHz，则第二级通带最高频率为50kHz(即0.05π)，阻带最低频率为100kHz(即π/10)，有

由此可见，分级抽取后，滤波器的阶数大为减小，降低了对滤波器的设计要求。

只要系统总的抽取系数不为素数，就可以采用多级抽取的方式。各级抽取倍数应该按照由大到小的顺序进行安排。例如，若抽取倍数为60，则可以分为3级进行抽取，首先进行5倍抽取，然后进行4倍抽取，最后进行3倍抽取，即保证最高的数据速率对应最大的抽取倍数。抽取的级数以2或3级为佳。

多级抽取有一种特殊的形式，即如果抽取倍数为2的N次幂，则可以采用半带滤波器实现抽取。

2.下采样、欠采样和过采样的关系

欠采样通常针对于低通采样定理，即采样速率低于低通采样的Nyquist速率；过采样通常针对于带通采样定理，即采样速率大于带通采样的Nyquist速率；下采样是采样速率降低的一个过程。这样，欠采样可能是过采样，过采样也可能是欠采样。只有已经过采样的信号才能进行下采样。下采样的防混叠滤波器是低通滤波器，而欠采样可能是低通滤波器，也可能是带通滤波器。4.5.4半带滤波器实现内插和抽取半带滤波器是具有如图4-37所示特性的一种特殊的对称FIR滤波器，其脉冲响应{hn}具有如下特点：h2p=0,p≠0

(4-57)即半带滤波器的冲激响应在除零点以外的所有偶数点均为0，因此，一个长度为N=4M-1的半带滤波器每计算一个滤波输出，仅需要M+1次乘法和2M次加法，而对于常规的对称FIR滤波器则需要2M次乘法和4M-2次加法，这样运算量几乎减少了一倍。我们已知半带滤波器具有如下特点：H(ejω)+H(ej(π-ω))=2h0

(4-58)一般取2h0=1

(4-59)

取fpa为通带截止频率，fst为阻带截止频率。通带和阻带满足：(4-60)

若采用归一化频率，则通带和阻带满足：(4-61)式中，为归一化通带截止频率，为归一化阻带截止频率。若采用数字频率，则通带和阻带满足：ωpa+ωst=π(4-62)图4-37半带FIR滤波器的频率特性

这里，ωpa为通带截止数字频率，ωst为阻带截止数字频率。另外，取δp为最大通带纹波，δa为最大阻带纹波，有δp=δa

δp=δa

(4-63)

半带FIR滤波器的频率特性如图4-37所示。

如果能将半带滤波器用于抽取/内插滤波器(因为抽取/内插滤波器都工作在高采样率的情况下，归一化频率以高采样率为参照)，则可以大大提高处理速度。

1.抽取半带滤波器

图4-38为抽样率为2的抽取半带滤波器框图，其中，HD(z)为抽取滤波器，fs为滤波器的数据速率(以此为基准计算滤波器的数字域频率，即fs对应数字域频率为2π)。当进行2倍抽取的时候，π/2以上的高频分量会混叠进低频处，为了保证抽取后不产生混叠，必须将频率为π/2以上的频率分量全部滤除。图4-38抽取半带滤波器如果采用半带滤波器，那么原则上是不满足这个条件的，因为半带滤波器过渡带的中点为π/2，它不可能将频率为π/2以上的频率分量全部滤除。但是有用信号位于通带截止频率ωpa内，经过2倍抽取后，能够影响到通带信号的混叠信号位于π-ωpa以上。根据半带滤波器的定义可知，该位置恰好是半带滤波器的阻带起始频率，所以这种有害的混叠成分可以完全被

滤除，而位于(π/2，ωst)中的分量不会被滤除，进而产生混叠，但是混叠出现在过渡带中，因此没有什么影响。这就是半带抽取滤波器的基本原理，如图4-39所示。图4-39抽取半带滤波器混叠频带的出现位置(数字域频率以高速率为基准)当抽取因子为2M时，可以用M个半带滤波器完成高倍数抽取/内插，如图4-40所示。图4-40半带滤波器多级抽取实现框图

2.内插半带滤波器

图4-41为内插率为2的框图，其中，HI(z)为内插滤波器，fs为滤波器的数据速率(以此为基准计算滤波器的数字域频率，即fs对应数字域频率为2π)。当进行2倍内插的时候，π/2以上的高频分量会混叠进低频处，为了保证抽取后不产生混叠，必须将频率为π/2以上的频率分量全部滤除。图4-41内插半带滤波器当进行2倍内插时，会出现频率大于π/2的镜像频率，这样在内插完成后，需要一个滤波器滤除π/2以上的成分。

如果这个滤波器采用半带滤波器，见图4-42，则信号应该位于通带截至频率ωpa内，经过2倍内插后，镜像频率应该出现于π-ωpa以上。根据半带滤波器的定义，该位置恰好是半带滤波器的阻带起始频率，所以镜像频率可以完全被滤除。图4-42内插半带滤波器镜像频率的出现位置(数字域频率以高速率为基准)当内插因子为2M时，可以用M个半带滤波器完成高倍数内插，如图4-43所示。

半带滤波器的具体设计方法请参阅相关文献。图4-43半带滤波器多级内插实现框图4.5.5级联积分梳状滤波器实现内插和抽取

CIC滤波器即级联积分梳状滤波器，它是一种高效的窄带低通数字滤波器的实现形式，常用于软件无线电系统的内插和抽取过程。它是两个基本单元的级联，这两个基本单元是积分器和梳状滤波器。积分器是单极点具有单位反馈系数的IIR滤波器，其z域的传输函数为

(4-64)

其基本结构如图4-44所示。图4-44积分器的基本结构梳状滤波器其z域的传输函数为HCO(z)=1-z-RM

(4-65)式中：R为速率改变因子；M称为差分延迟，可以是任何正整数，但一般限制为1或2。其基本结构如图4-45所示。图4-45梳状滤波器的基本结构

RM=1时，功率响应是高通，每倍频程20dB，当RM≠1时，功率响应是0到2π的RM个升余弦。如果要构成CIC滤波器，则将N个积分器和N个梳状滤波器级联即可，其z域响应为(4-66)

这种滤波器在用于抽取的时候，首先级联N个积分器，其采样速率为fs，经过R倍抽取，采用N个级联的梳状滤波器，这时样点速率为fs/R，如图4-46所示。图4-46CIC抽取滤波器这种滤波器在用于内插的时候，首先级联N个梳状滤波器，其采样速率为fs/R，经过R倍内插，采用N个级联的积分器，这时样点速率为fs，如图4-47所示。

这样我们可以看到，作为数字滤波器，CIC滤波器具有如下特点：

(1)不需要乘法器，不需要系数存储。

(2)与等效FIR滤波器级联实现方式相比，由于在高速率状态下进行积分，在低速率状态下进行梳状滤波，因而降低了中间存储。图4-47CIC内插滤波器

(3)CIC滤波器非常规则，仅包括两个基本组成。

(4)外部控制少，本地同步简单。

(5)相同的滤波器设计可以通过简单变化应用于宽范围速率变换系数R。

(6)积分运算以高速率(内插后/抽取前)完成，梳状滤波器在低速率下(内插前/抽取后)工作。外部同步以及控制较少。当然，CIC滤波器也存在许多问题：

(1)对于大的速率变换因子，存储器的宽度将变大。

(2)频率响应完全由三个整数确定，导致滤波器特性受限。

CIC的主要应用领域如下：

(1)在高采样率的情况下，此时使用乘法器是不经济的。

(2)大的速率变换系数，大量参数需要保存的场合。

(3)快速脉冲响应产生的情况。下面具体了解一下CIC滤波器的工作状况。我们首先来了解CIC滤波器的频率响应。

CIC滤波器的限制因素就是存储器的长度，频率响应完全由(R，M，N)控制，由于梳状滤波器工作在低速率部分，样点速率为fs/R，因此取以fs/R进行归一化频率为f′，令(4-67)则式(4-66)为(4-68)(4-69)

CIC滤波器的频率响应如图4-48所示。图4-48CIC滤波器的频率响应相应的功率响应为(4-70)

功率零点就在f′=k/M处，k为整数。若M=1，则就在k处。关于在抽取和内插情况下CIC的工作状况，下面分别予以说明。

1.抽取CIC滤波器

CIC滤波器的频率响应如图4-48所示，其目的是作为防混叠滤波器滤除混叠成分。在进行抽取的时候，抽取后的采样速率为fs/