专题05 函数的概念及其表示（考点清单+知识导图+ 10个考点清单-题型解读）（解析版）-25学年高一数学上学期期末考点大串讲（人教A版必修一）

清单05函数的概念及其表示（个考点梳理+题型解读+提升训练）【清单01】函数的定义一般地，设，是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数(function)，记作，.其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集.函数的四个特征：①非空性：，必须为非空数集（注意不仅非空，还要是数集），定义域或值域为空集的函数是不存在的.②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值.③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应（可以多对一，不能一对多）.④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定的关系就不一定是函数关系.【清单02】函数的三要素（1）定义域：函数的定义域是自变量的取值范围．（2）对应关系：对应关系是函数的核心，它是对自变量实施“对应操作”的“程序”或者“方法”．（3）值域：与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域(range).【清单03】求函数解析式（1）待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数，反比例等），可用待定系数法．（2）换元法：主要用于解决已知这类复合函数的解析式，求函数的解析式的问题，在使用换元法时特别注意，换元必换范围.（3）配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式，（4）方程组（消去）法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式。【考点题型一】求常规函数的定义域核心方法：使得函数有意义的范围，如，，如，则；【例1-1】（24-25高一上·宁夏银川·期中）函数的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】B【知识点】具体函数的定义域【分析】根据偶次根式被开方数大于等于以及分式分母不为列出不等式组，则结果可求.【详解】由题意可得，解得，所以定义域为，故选：B.【例1-2】（24-25高一上·宁夏银川·期中）若函数的定义域为，则实数的取值范围是.【答案】【知识点】具体函数的定义域、一元二次不等式在实数集上恒成立问题【分析】根据分式不等式及偶次根式有意义，再结合函数定义域即可转化为不等式恒成立问题，利用一元二次不等式的性质即可求解.【详解】由题意可知，函数的定义域为，所以不等式在上恒成立.当时，在上恒成立，当时，则满足，解得，综上，实数的取值范围是.故答案为：【变式1-1】（24-25高一上·江苏扬州·期中）函数的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】C【知识点】具体函数的定义域【分析】依题意可得，解得即可.【详解】对于函数，则，解得且，所以函数的定义域为.故选：C【变式1-2】（24-25高一上·四川成都·期中）函数的定义域为，则（

）A．2 B．－2 C．－1 D．1【答案】A【知识点】已知函数的定义域求参数、具体函数的定义域、由一元二次不等式的解确定参数【分析】根据定义域知不等式的解集，再由不等式解集得出对应方程的根，即可得解.【详解】因为的定义域为，所以的解集为，得，解得，，故.故选：A．【考点题型二】求抽象函数、复合函数的定义域核心方法：对应关系“”作用下的整体取值范围相同，另外注意，定义域是指单独一个“”的取值范围【例2-1】（24-25高一上·吉林白城·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】D【知识点】抽象函数的定义域【分析】根据条件，利用抽象函数定义域的确定方法，先确定的定义域，即可求解.【详解】因为函数的定义域为，则，由，解得，所以函数的定义域为，故选：D.【变式2-1】（24-25高一上·辽宁鞍山·阶段练习）已知的定义域为，则的定义域为（

）A． B． C． D．12,1【答案】C【知识点】抽象函数的定义域【分析】应用抽象函数定义域求解即可.【详解】因为的定义域为，所以，所以，所以，所以的定义域为.故选：C.【变式2-2】（24-25高一上·重庆·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】具体函数的定义域、抽象函数的定义域【分析】根据抽象函数及具体函数的定义域求解即可.【详解】因为函数的定义域为，所以函数的定义域为，则对于函数，需满足，解得，即函数的定义域为.故选：D.【变式2-3】（24-25高一上·河北邯郸·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B．C． D．【答案】A【知识点】具体函数的定义域、抽象函数的定义域【分析】由求的取值范围得函数的的定义域.【详解】由题意：且.所以函数的定义域为：.故选：A.【考点题型三】值域问题核心方法：图象法，分离常数法，换元法，判别法【例3-1】（24-25高一上·四川成都·期中）函数的值域为．【答案】【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、解不含参数的一元二次不等式【分析】将函数式转化为方程，即该方程在上有解，讨论和，结合判别式法即可求值域.【详解】由解析式知：函数的定义域为R，且，整理可得，即该方程在上有解，当时，，显然成立；当时，有，整理得，即，综上，有函数值域为.故答案为：.【例3-2】（24-25高一上·江西南昌·期中）函数的值域为【答案】【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域【分析】根据换元法得到有关的函数，根据取值可得到值域.【详解】令，则，，则在上是减函数，所以，所以，故的值域为，故答案为：.【变式3-1】（多选）（23-24高一上·四川广安·期中）在下列函数中，最小值是2的是（

）．A． B．C． D．【答案】BD【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、求二次函数的值域或最值、基本不等式求和的最小值【分析】对于AB，均可由基本不等式判断，但注意使用条件、取等条件是否成立；对于C，直接由复合函数的值域即可判断；对于D，直接由二次函数的性质即可判断.【详解】对于A选项，当时,，当且仅当时等号成立；但当时，，当且仅当时等号成立；对于B选项，，当且仅当时等号成立；对于C选项，，当且仅当时等号成立；对于D选项，，当且仅当时等号成立．故选：BD.【变式3-2】（23-24高一上·广东广州）函数的值域是．【答案】【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域【分析】利用二次函数的图像和性质结合根式有意义求解即可.【详解】由二次函数的性质可得当时取得最大值4，所以的值域为，又由根式有意义，所以的值域为，故答案为：【变式3-3】（23-24高一上·河北张家口）求下列函数的值域(1)(2)【答案】(1)(2)【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域【分析】（1）利用常数分离法，求函数的值域；（2）利用换元，设，转化为二次函数求值域.【详解】（1），因为，所以函数的值域是；（2）设，，所以，当时，函数取得最小值1，所以函数是值域是.【考点题型四】求函数的解析式（待定系数法）核心方法：设出函数解析式，对比系数求解【例4-1】（23-24高一上·云南昆明）已知为一次函数，且，则的值为．【答案】【知识点】求函数值、已知函数类型求解析式【分析】设，代入已知关系式可构造方程组求得解析式，代入即可得到结果.【详解】为一次函数，可设，，，解得：或，或，.故答案为：.【例4-2】（23-24高一上·山东济宁·期中）已知二次函数满足条件，及.(1)求的解析式；(2)解不等式.【答案】(1)(2)答案见解析【知识点】已知函数类型求解析式、求二次函数的解析式、解含有参数的一元二次不等式【分析】（1）设，，利用已知条件列出方程，求出，，即可得到解析式．（2）依题意可得，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集.【详解】（1）设，，则，又，，所以，恒成立，，解得，所以；（2）不等式，即，即，即，当时,解得，当时,解得，当时,解得，综上可得,当时,不等式的解集为，当时,不等式的解集为，当时,不等式的解集为.【变式4-1】（23-24高一上·江苏泰州）若一次函数满足：对任意都有，则的解析式为．【答案】【知识点】已知函数类型求解析式【分析】设，代入题干等式，化简，即可求得.【详解】设一次函数，，化简得：，因为对任意，上式都满足，取和代入上式得：，解得：，所以.故答案为：.【变式4-2】（23-24高一·浙江）已知二次函数满足，且的图象经过点．（1）求的解析式;（2）若，不等式恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）；（2）.【知识点】已知函数类型求解析式、根据二次函数的最值或值域求参数【解析】（1）设出函数的解析式，得到关于，，的方程，求出即可；（2）设，结合二次函数的性质得到关于的不等式组，解出即可．【详解】（1）设，则．因为，所以，得，．因为的图象经过点，所以，即．故．（2）设．因为当时，不等式恒成立，所以，即，解得．故的取值范围是．【点睛】本题考查了待定系数法求函数的解析式问题，考查二次函数的性质，考查转化思想，属于中档题．根据二次函数的图象和性质可知在闭区间上满足的充分必要条件是.这是十分简洁的一种不等式恒成立问题，一定要熟练掌握.【考点题型五】求函数的解析式（换元法）核心方法：换元法（注意，换元必换范围；）【例5】（24-25高一上·广东广州·期中）已知函数，则（

）A． B．C． D．【答案】B【知识点】已知f（g（x））求解析式【分析】利用换元法计算函数解析式即可.【详解】令，则，所以，所以.故选：B【变式5-1】（24-25高一上·浙江·期中）已知，则的解析式为（

）A． B．C． D．【答案】B【知识点】已知f（g（x））求解析式【分析】利用换元法即可得到答案.【详解】令，则，且，则，，则.故选：B.【变式5-2】（24-25高一上·广西南宁·期中）已知，则（

）A． B．C． D．【答案】C【知识点】已知f（g（x））求解析式【分折】利用挽元法，结合题目的等量关系，可得答案.【详解】令，，，．故选：C.【考点题型六】求函数的解析式（方程组（消去）法）核心方法：联立方程组消元【例6】（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）（1）已知是一次函数，且，求的解析式；（2）已知函数，求的解析式；（3）已知函数满足，求函数的解析式；【答案】（1）或；（2）；（3）【知识点】已知函数类型求解析式、已知f（g（x））求解析式、函数方程组法求解析式【分析】（1）设，可用待定系数法求解析式；（2）令，用换元法求解析式；（3）将换成，得，用解方程组法求解析式.【详解】（1）设，则.，解得，或，或.（2）令，则，，即.（3）在已知等式中，将换成，得，与已知方程联立，得，解得.【变式6-1】（24-25高三上·黑龙江佳木斯·开学考试）求下列函数解析式函数满足，求函数的解析式.【答案】【分析】用替换的，得到，与原式组成方程组，解方程组即可得到的解析式.【详解】∵，∴用替换上式中的，得到，解方程组，得.【变式6-2】（24-25高三上·海南·开学考试）已知，求的解析式.【答案】【知识点】已知函数类型求解析式、已知f（g（x））求解析式、函数方程组法求解析式【分析】利用方程组法求解即可.【详解】用替换中的x，得，由，解得.【考点题型七】函数概念中新定义题【例7】（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）对于函数，若，则称为的“不动点”，若，则称为的“稳定点”，函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，，那么，（1）求函数的“不动点”和“稳定点”；（2）求证：；（3）若，且，求实数的取值范围．【答案】（1）“不动点”为4，“稳定点”为4；（2）证明见解析；（3）【知识点】函数新定义【解析】（1）由即可求出“不动点”，求方程中的值，即为“稳定点”；（2）若，有这是不动点的定义，此时得出，，如果，则直接满足；（3）先求出即存在“不动点”的条件，同理取得到存在“稳定点”的条件，而两集合相等，即条件所求出的结果一直，对结果进行分类讨论.【详解】（1）由，解得，由有，解得，所以函数的“不动点”为4，“稳定点”为4；（2）证明：若，则，显然成立；若，设，有，则有，所以，故，综上，；（3）因为，所以方程有实根，即有实根，所以或，解得，又由得：，即，由（1）知，故方程左边含有因式，所以，又，所以方程要么无实根，要么根是方程的解，当方程无实根时，或，即，当方程有实根时，则方程的根是方程的解，则有，代入方程得，故，将代入方程，得，所以.综上：的取值范围是.【点睛】关键点睛：作为新型定义题，题中需要求什么，我们就从条件中去得到相应的关系，比如本题中，求不动点，就去求；求稳定点，就去求，完全根据定义去处理问题.需要求出不动点及稳定点相同，则需要它们对应方程的解完全一样.【变式7-1】（24-25高一上·上海松江）设函数，函数，，其中为常数，且，令函数为函数和的积函数.（1）求函数的表达式，并求其定义域；（2）当时，求函数的值域（3）是否存在自然数，使得函数的值域恰好为？若存在，试写出所有满足条件的自然数所构成的集合；若不存在，试说明理由.【答案】（1）定义域为；（2）；（3）存在，【知识点】具体函数的定义域、复杂（根式型、分式型等）函数的值域、根据值域求参数的值或者范围【分析】（1）根据题意得的，再计算定义域得到答案.（2）设，化简得到，根据函数单调性得到值域.（3）计算当时，且时，根据单调性得到不等式，计算得到答案.【详解】（1），定义域为（2），设根据双勾函数性质知函数在单调递增，故，故值域为（3）存在；根据（2）知，，根据双勾函数性质知函数在单调递增，上单调递减.当时，且时，函数的值域恰好为故，构成的集合为【点睛】本题考查了函数的解析式，值域，意在考查学生对于函数知识的综合应用.提升训练一、单选题1．（24-25高一上·湖南永州·期中）函数定义域是（

）.A． B．C． D．【答案】C【知识点】具体函数的定义域【分析】根据题意，列出不等式，代入计算，即可得到结果.【详解】要使函数有意义，则，解得且.所以函数定义域为.故选：C.2．（24-25高一上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知函数，则（

）A． B． C．1 D．【答案】B【知识点】求分段函数解析式或求函数的值、求分段函数值【分析】根据分段函数解析式代入计算可得.【详解】，，.故选：B.3．（24-25高一上·广东中山·阶段练习）下列各组函数中，表示同一函数的是（

）A．与B．与C．与D．【答案】D【知识点】判断两个函数是否相等【分析】根据同一函数的定义域和对应法则相同判断各项即可.【详解】A：定义域为R，定义域为，不为同一函数；B：定义域为，定义域为R，不为同一函数；C：与的对应法则不同，不为同一函数；D：且，定义域都为，是同一函数.故选：D4．（24-25高一上·重庆·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域是（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】具体函数的定义域、抽象函数的定义域【分析】由的定义域列出不等式求解即可.【详解】因为的定义域为，所以，所以，所以的定义域为，又要满足，所以的定义域是，故选：B5．（24-25高一上·吉林延边·期中）对于函数，若满足，则称为函数的一对“类指数”.若正实数与为函数的一对“类指数”，的最小值为，则的值为（

）A． B．1 C． D．2【答案】A【知识点】已知函数值求自变量或参数、基本不等式“1”的妙用求最值、函数新定义【分析】根据定义先化简求得的等量关系，然后采用常数代换法表示出的最小值，最后根据最小值的结果求解出的值.【详解】因为正实数与为函数的一对“类指数”，所以，所以，所以，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，所以，故选：A.6．（24-25高一上·江苏无锡·期中）已知函数当时，函数的值域为，则实数的取值集合为（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】根据二次函数的最值或值域求参数【分析】先求出时，的范围，进而可知的范围为，因为时，或；时，或，所以当时，；当时，，求出的取值即可.【详解】函数的图象如图所示，当，，此时因为时，或；时，或又因为函数的值域为，当，即时，需满足，此时满足不等式；当，即时，需满足，此时满足不等式；综上所述：实数的取值集合为，故选：B.7．（24-25高一上·四川成都·期中）已知定义在上的函数满足，则的值为（

）A．7 B．8 C．13 D．14【答案】C【知识点】函数方程组法求解析式【分析】由构造方程法可先求出解析式，再求出的值.【详解】由题意得，因为，所以对于任意，，联立消去可得，，所以，故选：C.8．（2024·四川德阳·模拟预测）已知函数的定义域为，且，则（

）A．0 B．1 C．2024 D．2025【答案】D【知识点】求函数值、求抽象函数的解析式、函数方程组法求解析式【分析】利用赋值法，先令求出，再令x=0，结合方程组法可求解析式，则答案可得.【详解】令可得，所以，再令x=0可得，即①，将上式中的全部换成可得②，联立①②可得,所以，故选：D二、多选题9．（24-25高一上·江西南昌·期中）若函数满足关系式，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【知识点】求函数值、函数方程组法求解析式【分析】应用换元构造方程组求函数解析式，进而判断各项正误.【详解】将代换，则，又，所以，故，，A对，C错；，即，B对；根据已知关系，显然，D对.故选：ABD10．（24-25高一上·甘肃陇南·期中）定义在上的函数，对于任意的，都有，且，则（

）A． B．C． D．【答案】AD【知识点】求函数值【分析】利用赋值法逐项求解判断即可.【详解】令，得，因为，所以，即，故A正确；令，得，即，所以，所以，故B错误；，，所以，故C错误；，，，，所以，故D正确.故选：AD三、填空题11．（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）已知是二次函数，且，若，则的解析式为.【答案】【知识点】已知函数类型求解析式、求二次函数的解析式【分析】设，结合已知条件利用待定系数法即可求解.【详解】由已知设，因为，所以，因为，，所以，解得，所以.故答案为：.12．（23-24高一上·山东济宁·期中）已知“取整数”函数的函数值表示不超过的最大整数，例如，，.当时，函数的解析式为；定义：尾数函数，，那么，尾数函数的值域为.【答案】【知识点】分段函数的值域或最值、函数新定义【分析】根据取整函数的定义可得.【详解】由题意当时，，当时，，当时，，故；当为整数时，，此时，当为非整数时，，故的值域为故答案为：；四、解答题13．（24-25高一上·湖北·阶段练习）已知二次函数满足，且(1)求函数的解析式；(2)解关于x的不等式.【答案】(1)(2)答案见解析.【知识点】求二次函数的解析式、解含有参数的一元二次不等式【分析】（1）利用待定系数法计算即可求解析式；（2）根据（1）的结论含参讨论解一元二次不等式即可.【详解】（1）因为，，所以，又因为，所以，所以，所以，所以，即（2）由，可得不等式，即，所