专题05 函数的概念及其表示（考点清单+知识导图+ 10个考点清单-题型解读）（原卷版）-25学年高一数学上学期期末考点大串讲（人教A版必修一）

清单05函数的概念及其表示（个考点梳理+题型解读+提升训练）【清单01】函数的定义一般地，设，是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数(function)，记作，.其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．显然，值域是集合的子集.函数的四个特征：①非空性：，必须为非空数集（注意不仅非空，还要是数集），定义域或值域为空集的函数是不存在的.②任意性：即定义域中的每一个元素都有函数值.③单值性：每一个自变量有且仅有唯一的函数值与之对应（可以多对一，不能一对多）.④方向性：函数是一个从定义域到值域的对应关系，如果改变这个对应方向，那么新的对应所确定的关系就不一定是函数关系.【清单02】函数的三要素（1）定义域：函数的定义域是自变量的取值范围．（2）对应关系：对应关系是函数的核心，它是对自变量实施“对应操作”的“程序”或者“方法”．（3）值域：与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域(range).【清单03】求函数解析式（1）待定系数法：若已知函数的类型（如一次函数、二次函数，反比例等），可用待定系数法．（2）换元法：主要用于解决已知这类复合函数的解析式，求函数的解析式的问题，在使用换元法时特别注意，换元必换范围.（3）配凑法：由已知条件，可将改写成关于的表达式，（4）方程组（消去）法：主要解决已知与、、……的方程，求解析式。【考点题型一】求常规函数的定义域核心方法：使得函数有意义的范围，如，，如，则；【例1-1】（24-25高一上·宁夏银川·期中）函数的定义域为（

）A． B．C． D．【例1-2】（24-25高一上·宁夏银川·期中）若函数的定义域为，则实数的取值范围是.【变式1-1】（24-25高一上·江苏扬州·期中）函数的定义域为（

）A． B．C． D．【变式1-2】（24-25高一上·四川成都·期中）函数的定义域为，则（

）A．2 B．－2 C．－1 D．1【考点题型二】求抽象函数、复合函数的定义域核心方法：对应关系“”作用下的整体取值范围相同，另外注意，定义域是指单独一个“”的取值范围【例2-1】（24-25高一上·吉林白城·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B．C． D．【变式2-1】（24-25高一上·辽宁鞍山·阶段练习）已知的定义域为，则的定义域为（

）A． B． C． D．12,1【变式2-2】（24-25高一上·重庆·阶段练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B． C． D．【变式2-3】（24-25高一上·河北邯郸·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（

）A． B．C． D．【考点题型三】值域问题核心方法：图象法，分离常数法，换元法，判别法【例3-1】（24-25高一上·四川成都·期中）函数的值域为．【例3-2】（24-25高一上·江西南昌·期中）函数的值域为【变式3-1】（多选）（23-24高一上·四川广安·期中）在下列函数中，最小值是2的是（

）．A． B．C． D．【变式3-2】（23-24高一上·广东广州）函数的值域是．【变式3-3】（23-24高一上·河北张家口）求下列函数的值域(1)(2)【考点题型四】求函数的解析式（待定系数法）核心方法：设出函数解析式，对比系数求解【例4-1】（23-24高一上·云南昆明）已知为一次函数，且，则的值为．【例4-2】（23-24高一上·山东济宁·期中）已知二次函数满足条件，及.(1)求的解析式；(2)解不等式.【变式4-1】（23-24高一上·江苏泰州）若一次函数满足：对任意都有，则的解析式为．【变式4-2】（23-24高一·浙江）已知二次函数满足，且的图象经过点．（1）求的解析式;（2）若，不等式恒成立，求实数m的取值范围．【考点题型五】求函数的解析式（换元法）核心方法：换元法（注意，换元必换范围；）【例5】（24-25高一上·广东广州·期中）已知函数，则（

）A． B．C． D．【变式5-1】（24-25高一上·浙江·期中）已知，则的解析式为（

）A． B．C． D．【变式5-2】（24-25高一上·广西南宁·期中）已知，则（

）A． B．C． D．【考点题型六】求函数的解析式（方程组（消去）法）核心方法：联立方程组消元【例6】（24-25高一上·湖北武汉·阶段练习）（1）已知是一次函数，且，求的解析式；（2）已知函数，求的解析式；（3）已知函数满足，求函数的解析式；【变式6-1】（24-25高三上·黑龙江佳木斯·开学考试）求下列函数解析式函数满足，求函数的解析式.【变式6-2】（24-25高三上·海南·开学考试）已知，求的解析式.【考点题型七】函数概念中新定义题【例7】（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）对于函数，若，则称为的“不动点”，若，则称为的“稳定点”，函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，，那么，（1）求函数的“不动点”和“稳定点”；（2）求证：；（3）若，且，求实数的取值范围．【变式7-1】（24-25高一上·上海松江）设函数，函数，，其中为常数，且，令函数为函数和的积函数.（1）求函数的表达式，并求其定义域；（2）当时，求函数的值域（3）是否存在自然数，使得函数的值域恰好为？若存在，试写出所有满足条件的自然数所构成的集合；若不存在，试说明理由.提升训练一、单选题1．（24-25高一上·湖南永州·期中）函数定义域是（

）.A． B．C． D．2．（24-25高一上·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知函数，则（

）A． B． C．1 D．3．（24-25高一上·广东中山·阶段练习）下列各组函数中，表示同一函数的是（

）A．与B．与C．与D．4．（24-25高一上·重庆·期中）若函数的定义域为，则函数的定义域是（

）A． B． C． D．5．（24-25高一上·吉林延边·期中）对于函数，若满足，则称为函数的一对“类指数”.若正实数与为函数的一对“类指数”，的最小值为，则的值为（

）A． B．1 C． D．26．（24-25高一上·江苏无锡·期中）已知函数当时，函数的值域为，则实数的取值集合为（

）A． B． C． D．7．（24-25高一上·四川成都·期中）已知定义在上的函数满足，则的值为（

）A．7 B．8 C．13 D．148．（2024·四川德阳·模拟预测）已知函数的定义域为，且，则（

）A．0 B．1 C．2024 D．2025二、多选题9．（24-25高一上·江西南昌·期中）若函数满足关系式，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．10．（24-25高一上·甘肃陇南·期中）定义在上的函数，对于任意的，都有，且，则（

）A． B．C． D．三、填空题11．（24-25高一上·江苏无锡·阶段练习）已知是二次函数，且，若，则的解析式为.12．（23-24高一上·山东济宁·期中）已知“取整数”函数的函数值表示不超过的最大整数，例如，，.当时，函数的解析式为；定义：尾数函数，，那么，尾数函数的值域为.四、解答题13．（24-25高一上·湖北·阶段练习）已知二次函数满足，且(1)求函数的解析式；(2)解关于x的不等式.14．（2