专题10 三角函数（任意角和弧度制三角函数的概念诱导公式图象与性质）（考点清单+知识导图+ 18个考点清单-题型解读）（原卷版）

清单10三角函数（任意角和弧度制，三角函数的概念，诱导公式，图象与性质）（个考点梳理+题型解读+提升训练）【清单01】终边相同的角的集合所有与角终边相同的角为【清单02】角度与弧度的换算弧度与角度互换公式：，【清单03】扇形中的弧长公式和面积公式弧长公式：(是圆心角的弧度数)，扇形面积公式：.【清单04】任意角的三角函数定义1、单位圆定义法：如图,设是一个任意角,,它的终边与单位圆相交于点①正弦函数：把点的纵坐标叫做的正弦函数,记作,即②余弦函数：把点的横坐标叫做的余弦函数,记作,即

③正切函数：把点的纵坐标与横坐标的比值叫做的正切,记作,即()

我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数2、终边上任意一点定义法：在角终边上任取一点，设原点到点的距离为①正弦函数：②余弦函数：

③正切函数：()

【清单05】同角三角函数的基本关系1、平方关系：2、商数关系:（，）【清单06】正弦函数、余弦函数的图象和性质函数图象定义域定义域值域周期性奇偶性奇函数偶函数单调性在每一个闭区间()上都单调递增;在每一个闭区间(上都单调递减在每一个闭区间()上都单调递增;在每一个闭区间()上都单调递减最值当()时，;当()时，;当()时，;当()时，;图象的对称性对称中心为(),对称轴为直线()对称中心为(),对称轴为直线()【清单07】正切（型）函数的性质正切函数正切型函数定义域由值域周期性奇偶性奇函数当时是奇函数单调性在，上单调递增当,时，由，解出单调增区间对称性对称中心：；无对称轴令：，对称中心为：，无对称轴【考点题型一】终边相同的角【例1】（23-24高一下·上海·期中）在内与终边重合的角为．【变式1-1】（23-24高一下·上海徐汇·期中）的角属于第象限.【变式1-2】（23-24高一下·上海·期中）在0到范围内，与角终边相同的角是.【考点题型二】终边在某条直线上的角的集合【例2】（多选）（24-25高一上·山东济南·阶段练习）下列表示中正确的是（

）A．终边在x轴上的角的集合是{|=k，k∈Z}B．终边在y轴上的角的集合是C．终边在坐标轴上的角的集合是D．终边在直线y=x上的角的集合是【变式2-1】（24-25高一·全国·课后作业）如图所示，写出终边落在直线y＝x上的角的集合(用0°到360°间的角表示)．【变式2-2】（24-25高一·全国·课后作业）写出终边在如图所示的直线上的角的集合．

【考点题型三】区域角的表示【例3】（24-25高一上·上海·课堂例题）用弧度制表示顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分的角的集合（不包括边界），如图所示.(1)(2)【变式3-1】（23-24高一·全国·课后作业）已知角的终边落在图中阴影部分(不包括边界),试表示角的取值集合.【变式3-2】（23-24高一·全国·课后作业）用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角的集合．【考点题型四】确定及的终边所在的象限【例4】（23-24高一下·北京）设是第二象限角，则的终边在（

）A．第一、二、三象限 B．第二、三、四象限C．第一、三、四象限 D．第一、二、四象限【变式4-1】（23-24高一下·河南郑州·阶段练习）设是第三象限角，且，则的终边所在的象限是（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【变式4-2】（多选）（23-24高一上·安徽阜阳）若是第二象限角，则（

）A．是第一象限角 B．是第一或第三象限角C．是第二象限角 D．是第三或第四象限角【考点题型五】扇形弧长与面积（含最值）的计算【例5】（23-24高一下·上海宝山·阶段练习）已知一扇形的圆心角为，半径为R，弧长为l．(1)若，，求扇形的弧长l；(2)若扇形面积为16，求扇形周长的最小值，及此时扇形的圆心角．【变式5-1】（2024·海南·模拟预测）中国历代书画家喜欢在纸扇的扇面上题字绘画，某扇面为如图所示的扇环，记的长为，的长为，若，则扇环的圆心角的弧度数为（

）

A．3 B．2 C． D．【变式5-2】（23-24高一上·山西·期中）某校欲建造一个扇环形状的花坛，该扇环是由以点O为圆心的两个同心圆构造出的，小圆半径米，大圆半径米，圆心角.(1)求该花坛的周长；(2)求该花坛的面积.【考点题型六】利用定义求三角函数值【例6】（23-24高一下·北京丰台）在平面直角坐标系中，角与角均以轴的非负半轴为始边，终边关于原点对称.若角的终边与单位圆⊙交于点，则（

）A． B． C． D．【变式6-1】（23-24高一下·广东佛山·期中）若角的终边经过点，则（

）A． B． C． D．【变式6-2】（24-25高二上·上海·期中）已知角的顶点为坐标原点，始边与轴非负半轴重合，且终边经过点，则．【考点题型七】根据三角函数值求参数【例7】（23-24高一上·吉林延边）已知角的终边经过点，且，则实数的a值是（

）A． B． C．或 D．1【变式7-1】（24-25高三上·重庆·开学考试）已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则（

）A． B． C． D．【变式7-2】（23-24高一下·上海杨浦）若点是角终边上的一点，且，则.【考点题型八】已知,求关于和的齐次式的值核心方法：商数关系:（，）【例8】（24-25高三上·广东肇庆·阶段练习）（1）已知角的终边经过点，求值.（2）已知，计算的值.【变式8-1】（24-25高三上·江西·阶段练习）已知，则（

）A．1 B． C．2 D．【变式8-2】（2024·辽宁大连·模拟预测）已知，则【考点题型九】利用,与之间的关系求值核心方法：平方关系【例9】（多选）（23-24高一下·山东潍坊·阶段练习）设，，则下列等式正确的是（

）A． B．C． D．【变式9-1】（24-25高三上·上海·阶段练习）已知是三角形的内角，若，则的值等于（

）A． B． C． D．【变式9-2】（23-24高一下·山东威海·阶段练习）已知，且，则．【考点题型十】五点法作图【例10】（23-24高一上·福建福州·期末）已知函数（其中，，）的图象过点，且图象上与点最近的一个最低点的坐标为．(1)求函数的解析式并用“五点法”作出函数在一个周期内的图象简图；(2)将函数的图象向右平移个单位长度得到的函数是偶函数，求的最小值．【变式10-1】（23-24高一下·全国·课后作业）已知函数请用“五点法”画出函数在一个周期上的图象（先在所给的表格中填上所需的数字，再画图）；0x【变式10-2】（23-24高一下·江西景德镇·期中）已知函数.(1)先补充下列表格，然后用五点法画出函数在区间上的图象；x0000101(2)求函数在区间上的值域.【考点题型十一】求方程的解或函数零点的个数问题【例11】（24-25高三上·上海·开学考试）已知函数的表达式为，(1)设，求函数，的单调增区间；(2)设实数，的最小正周期为，若在上恰有3个零点，求的取值范围．【变式11-1】（23-24高一下·广西梧州·阶段练习）已知函数．(1)求函数的最小正周期和对称轴方程；(2)若函数在上有2个零点，求实数的取值范围．【变式11-2】（23-24高一下·江西·阶段练习）已知函数，函数为偶函数．(1)证明：为定值．(2)若函数在内存在零点，且零点为，记，请写出X的所有可能取值．【考点题型十二】正（余）弦函数的周期性【例12】（多选）（24-25高三上·重庆·阶段练习）在下列函数中，最小正周期为π且在为减函数的是（

）A． B．C． D．【变式12-1】（23-24高一下·辽宁大连·期末）下列四个函数中，以为最小正周期，且为奇函数的是（

）A． B．C． D．【变式12-2】（多选）（24-25高三上·广东广州·阶段练习）下列函数中，以为周期的有（

）A． B．C． D．【考点题型十三】正（余）弦函数的单调性【例13-1】（24-25高二上·上海浦东新·阶段练习）已知函数.(1)求y=fx(2)若，求y=fx的单调递增区间.【变式13-1】（2024高二上·北京）函数的一个单调递增区间是（

）A． B． C． D．【变式13-2】（23-24高一下·北京·阶段练习）已知函数，(1)如果点是角终边上一点，求的值；(2)设，求的单调递增区间．【考点题型十四】正余弦函数对称性【例14-1】（24-25高二上·陕西汉中·开学考试）已知函数与的图象关于直线对称，则的最小值为（

）A． B． C． D．1【例14-2】（24-25高三上·全国·阶段练习）已知函数的最小正周期为，则的对称轴可以是（

）A． B． C． D．【变式14-1】（24-25高三上·陕西咸阳·期中）函数的一个对称中心的横坐标是（

）A．0 B． C． D．【变式14-2】（24-25高二上·甘肃甘南·期中）将函数的图象向左平移个单位长度后，得到的函数图象关于轴对称，则的可能取值为（

）A． B． C． D．【考点题型十五】正余弦函数的值域或最值核心方法：图象法+可化为一元二次函数型【例15-1】（23-24高一上·广东汕头·期末）函数的最小值是（

）A． B． C． D．-2【例15-2】（23-24高一上·宁夏吴忠·期末）函数的最小值为．【变式15-1】（24-25高一下·浙江湖州·阶段练习）函数的值域为.【变式15-2】（23-24高一·上海·课堂例题）求下列函数的最大值，并求出取得最大值时所有x的值：(1)；(2)，.【考点题型十六】正切函数的定义域【例16】（2024高一上·全国·专题练习）函数的定义域是()A． B．C． D．【变式16-1】（24-25高一上·全国·课后作业）求函数的定义域，最小正周期及单调区间.【变式16-2】（2024高一·全国·专题练习）求下列函数的定义域：(1)；(2).【考点题型十七】正切函数的单调性，奇偶性，对称性【例17-1】（多选）（24-25高二上·贵州毕节·阶段练习）关于函数，下列说法正确的是（

）A．函数的最小正周期为B．的图象在上单调递增C．的图象关于点对称D．在区间上有两个零点【例17-2】（多选）（2024·河北）关于函数，下列说法正确的是（

）A．函数的对称中心B．函数的定义域为C．函数的最小正周期是D．函数的解集是【变式17-1】（多选）（24-25高三上·山东日照·阶段练习）若函数的图象经过点，则（

）A．点为函数图象的对称中心B．函数的最小正周期为C．函数在区间上的函数值范围为D．函数的单调增区间为【变式17-2】（多选）（24-25高一下·全国·课后作业）（多选）已知函数，则有（

）A．函数的图象关于直线对称B．函数的图象关于点对称C．函数是奇函数D．函数的最小正周期为【考点题型十八】正切函数的值域或最值【例18】（23-24高一下·上海·课后作业）已知，求函数的最大值和最小值．【变式18-1】（24-25高一·全国·课后作业）求函数的定义域和值域．【变式18-2】（23-24高一上·湖南长沙·阶段练习）求函数在时的值域.提升训练一、单选题1．（24-25高一上·山东青岛·期中）在周长为定值的扇形中，面积最大时扇形的半径为（

）A． B． C． D．2．（24-25高二上·重庆·期中）若，则（

）A．-1 B．0 C．1 D．23．（24-25高三上·四川·阶段练习）已知是第二象限的角，为其终边上的一点，且，则（

）A． B． C． D．4．（24-25高二上·河南·阶段练习）已知，则（

）A．3 B．-3 C．2 D．-25．（24-25高三上·青海西宁·期中）下列函数中，在上为减函数的是（

）A． B．C． D．6．（24-25高三上·山东青岛·期中）已知函数的最小正周期为，则的图象（

）A．关于点对称 B．关于对称C．关于直线对称 D．关于直线对称7．（24-25高三上·陕西咸阳·期中）已知函数，如图，是直线与曲线y=fx的两个交点，若，则（

）A． B． C． D．8．（24-25高三上·河北沧州·期中）已知，若，则（

）A． B． C． D．二、多选题9．（24-25高二上·广东深圳·期中）设函数，则下列结论正确的是（

）A．的最小正周期为 B．的图象关于直线对称C．的一个零点为 D．的最大值为110．（24-25高三上·贵州遵义·阶段练习）已知函数，则（

）A．的最小正周期为 B．的最大值为1C．是偶函数 D．的图象关于直线对称三、填空题11．（24-25高二上·云南昆明·期中）已知函数的部分图像如图所示，则函数的解析式为.

12．（23-24高一上·江苏扬州·阶段练习）函数的值域为.四、解答题13．（24-25高三上·北京朝阳·期中）设函数.(1)若，，求的值；(2)已知在区间上单调递增，且是函数的图象的对称轴，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使函数存在，求ω，φ的值.条件①：当时，取到最小值；条件②