专题11 三角函数三角恒等变换函数y＝Asinωx＋φ三角函数的应用（考点清单+知识导图+ 9个考点清单-题型解读）（解析版）

清单11三角函数（三角恒等变换函数三角函数的应用)（个考点梳理+题型解读+提升训练）【清单01】两角和与差的余弦公式两角和与差的余弦公式（1）（2）①简记符号:,.②适用条件:公式中的角,是任意角.【清单02】两角和与差的正弦公式（1）（2）①简记符号:,.②适用条件:公式中的角,是任意角.【清单03】两角和与差的正切公式两角和与差的正切公式（1）（2）①简记符号:,.②适用条件:公式中的角,，，，.③变形结论：【清单04】二倍角的正弦、余弦正切公式①②；；③【清单05】半角公式①②③【清单06】辅助角公式：(其中)【清单07】五点法作图必备方法：五点法步骤③①②对于复合函数，第一步：将看做一个整体，用五点法作图列表时，分别令等于，，，，，对应的则取，，，，。，（如上表中，先列出序号①②两行）第二步：逆向解出（如上表中，序号③行。）第三步：得到五个关键点为：，,,,【清单08】根据图象求解析式形如的解析式求法：1、求法：①观察法：代表偏离平衡位置的最大距离；平衡位置.②代数法：记的最大值为,最小值为；则：，联立求解.2、求法：通过观察图象，计算周期，利用公式，求出.3、求法：①第一关键点法：通过观察图象找出第一关键点，将第一关键点代入求解.（第一关键点判断方法：图象呈上升状态与平衡位置的交点,且该点离轴最近）②最值代入法：通过观察图象的最高点（或者最低点）代入解析式求解.③特殊点法：当图象给出的信息缺乏①②中的条件，可以寻找图象的其它特殊点代入解析式求解，但用此法求解，若有多个答案注意根据条件取舍答案.【考点题型一】给定角或者三角函数值，求三角函数值核心方法：拼凑角，二倍角公式【例1】（广西“贵百河——武鸣高中”2025届高三上学期11月摸底考试数学试题）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、三角函数的化简、求值——诱导公式、二倍角的正切公式【分析】根据同角三角函数的平方关系与商数关系分别求，，再根据角度之间的和差倍关系，利用诱导公式与二倍角公式求解即可.【详解】因为，所以，则，所以，所以.故选：C.【变式1-1】（24-25高三上·辽宁·期中）已知，则（

）A． B．C．或 D．【答案】C【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、诱导公式五、六、二倍角的正切公式【分析】根据已知条件求得，以及，再利用倍角公式求得，再求结果即可.【详解】由，可得，所以，所以，即，所以或.故选：C.【变式1-2】（24-25高三上·江苏南通·期中）若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、诱导公式二、三、四、二倍角的余弦公式【分析】先由配凑法和诱导公式二得到，再由同角的三角函数关系和二倍角的余弦公式计算可得；【详解】，故选：C．【考点题型二】给定三角函数值，求角【例2-1】（24-25高三上·山东·期中）若，，且，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、给值求角型问题【分析】先根据已知角的范围确定三角函数值的正负，再利用两角和的余弦公式求出的值，最后根据的范围确定其具体值.【详解】因，所以.又，所以.根据，得，同时也能确定.因为，，，所以..将转化为.所以因为，，所以.在这个区间内，时，.故选：C.【例2-2】（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知、为锐角，，．(1)求的值；(2)求的大小．【答案】(1)(2)．【知识点】特殊角的三角函数值、已知正（余）弦求余（正）弦、用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的正切公式【分析】（1）先利用同角三角函数的基本关系，求出，再利用二倍角的正切公式求.（2）利用（1）的结论，先求的值，再结合的取值范围，可求的大小.【详解】（1）因为，，所以，所以，所以．（2）因为，所以，所以，因为，且，所以；因为，且，所以，所以，所以．【变式2-1】（24-25高三上·湖北荆州·阶段练习）已知，且，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、解正弦不等式、给值求角型问题【分析】方法一：由条件结合同角关系求，由二倍角公式求，再利用两角差正弦公式可求，由此可求结论.方法二：由条件可得，由此确定范围，结合正弦函数单调性可得，由此可得结论.【详解】因为，，所以，所以，，所以，又，所以，又，所以，所以，故，因为，，所以，则．解法二：因为，所以，，∵，所以，，，所以，所以，所以，故选：C.【变式2-2】（23-24高一下·四川凉山·期末）已知，，其中，则.【答案】【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、诱导公式五、六、用和、差角的正弦公式化简、求值【分析】利用两角差的余弦可求的值，故可求的值.【详解】因为，故，而，故，而，故，而，故，故，故，而，故，故答案为：【考点题型三】逆用两角和差公式【例3】（23-24高一下·广东佛山·期中）利用和（差）角公式计算下列各式的值：(1)；(2)；(3)【答案】(1)(2)0(3)【知识点】逆用和、差角的余弦公式化简、求值、逆用和、差角的正弦公式化简、求值、逆用和、差角的正切公式化简、求值【分析】（1）根据正弦两角差公式运算求解；（2）根据余弦两角和公式运算求解；（3）根据正切两角和公式运算求解.【详解】（1）由题意可得：.（2）由题意可得：.（3）由题意可得：.【变式3-1】（24-25高二上·江西南昌·阶段练习）（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】诱导公式五、六、逆用和、差角的余弦公式化简、求值【分析】根据诱导公式结合两角和的余弦公式求解即可.【详解】.故选：A.【变式3-2】（24-25高一下·全国·随堂练习）化简等于（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】逆用和、差角的正弦公式化简、求值【分析】根据给定条件，逆用差角的正弦公式计算即得.【详解】.故选：A【考点题型四】三角函数图象平移，伸缩变换【例4】（多选）（24-25高三上·陕西咸阳·期中）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（

）A．向右平移个单位后，再把图象上所有点的横坐标扩大到原来的倍，纵坐标不变B．向右平移个单位后，再把图象上所有点的横坐标缩小到原来的，纵坐标不变C．横坐标扩大到原来的倍，纵坐标不变，再把所得图象向右平移个单位D．横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，再把所得图象向右平移个单位【答案】AC【知识点】描述正（余）弦型函数图象的变换过程【分析】根据三角函数的图象变换可得出结论.【详解】因为，为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点向右平移个单位后，再把图象上所有点的横坐标扩大到原来的倍，纵坐标不变，或横坐标扩大到原来的倍，纵坐标不变，再把所得图象向右平移个单位，故选：AC.【变式4-1】（2024高二下·河北）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数y=fx的图象，则（

）A． B．C． D．【答案】A【知识点】诱导公式五、六、求图象变化前（后）的解析式【分析】由函数图象的平移方法和诱导公式化简得到结果.【详解】由题意，得.故选：A.【变式4-2】（2024·云南楚雄·一模）将函数（）的图象向右平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．4 D．5【答案】D【知识点】相位变换及解析式特征、求图象变化前（后）的解析式、结合三角函数的图象变换求三角函数的性质【分析】由正弦函数的平移法则以及周期性可得，结合即可求解.【详解】由题意可得，∴，，解得，，又，∴当时，取得最小值为5．故选：D.【考点题型五】看图求解析式【例5】（24-25高三上·山东青岛·期中）已知函数的部分图象如图所示.(1)求函数的解析，并求出在上的值域；(2)若将函数的图象向右平移个单位后所得曲线关于轴对称.求的最小值.【答案】(1)，(2)【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、利用正弦函数的对称性求参数、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式【分析】（1）代入两点，建立方程，根据解出参数的值，即可得解解析式，再根据函数的定义域求出函数的值域；（2）根据题意得到平移后的函数解析式，结合函数的对称性，得到，根据及取对应的值，即可得解.【详解】（1）由，得，又点及附近点从左到右是上升的，则，由，点及附近点从左到右是下降的，且上升、下降的两段图象相邻，得，联立解得，，而，于是，，当时，，所以，即在上的值域为.（2）令将函数的图象向右平移个单位后得到的图象所以，由题意的图象曲线关于轴对称，即为偶函数，所以，解得，因为，所以当时，取得最小值.【变式5-1】（24-25高三上·天津河西·期中）已知函数的部分图象如图所示.

(1)求函数的解析式；(2)若将的图象向左平移个单位长度，再将所得图象的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象.（i）求的解析式及值；（ii）求在上的值域.【答案】(1)(2)（i）；1；（ii）.【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式【分析】（1）由图可知，，求出周期，再利用周期公式可求出，再将代入可求出，从而可求出的解析式；（2）（i）根据三角函数图象变换规律求出，进而可求；（ii）由求出的范围，再利用余弦函数的性质可求出其值域.【详解】（1）由图可知，，，所以，.将点代入得，.又，所以，所以.（2）（i）将的图象向左平移个单位长度，得，再将所得图象的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得，所以，所以；（ii）因为，所以，，所以，所以，所以，故在上的值域为.【变式5-2】（24-25高三上·辽宁丹东·期中）已知函数的部分图象如图所示．(1)求的解析式；(2)若将图象上每一点的横坐标缩小到原来的倍，得到函数，求在的值域．【答案】(1)；(2).【知识点】求cosx(型)函数的值域、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式【分析】（1）根据给定的函数图象，结合“五点法”作图求出的解析式.（2）由（1）的结论，求出函数，再利用余弦函数的性质求出值域.【详解】（1）观察图象知，函数的最小正周期，则，由，得，而，则，所以的解析式是.（2）由（1）知，，则，当，则，而函数在上单调递减，在上单调递增，因此当，即时，；当，即时，，所以在的值域为.【考点题型六】三角函数中的恒（能）成立问题（核心考点）【例6-1】（24-25高三上·湖北·期中）已知函数.(1)求的单调减区间；(2)将函数y=fx的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=gx的图象.若对任意，，求实数的最小值.【答案】(1)(2)【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求图象变化前（后）的解析式、求sinx型三角函数的单调性【分析】（1）利用倍角公式降幂，再由辅助角公式可得，最后利用复合函数单调性求出单调递减区间即可.（2）根据函数平移及伸缩求出的解析式，求解即可.【详解】（1）.由，解得，所以函数的单调递减区间为；（2）将函数的图象向左平移个单位长度，可得到函数，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，即，当时，，则，则，对任意的、，，则，故实数的最小值为.【例6-2】（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知函数的最小正周期为.(1)求的值及函数的对称中心；(2)设，若对任意的都有，求实数的取值范围.【答案】(1)，对称中心为(2)【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、辅助角公式、三角恒等变换的化简问题【分析】（1）由三角函数的公式化简及图象性质易得结果；（2）将题干不等式转化为，分别求出和的相应最值，可得参数的范围.【详解】（1），因为的最小正周期为，所以，故.所以，令，解得.所以的对称中心为.（2）因为对任意的都有，所以.因为，令，当时，，得函数.则；当时，，则，所以，即即解得，故实数的取值范围是.【变式6-1】.（23-24高一上·江苏盐城·期末）设函数(1)求函数的最小正周期，并解不等式；(2)先将图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变；再向左平移个单位；最后向下平移个单位得到函数的图象．若对，不等式恒成立，求实数的取值范围【答案】(1)(2)【知识点】解正弦不等式、求含sinx(型)函数的值域和最值、求图象变化前（后）的解析式、三角恒等变换的化简问题【分析】（1）利用三角恒等变换化简可得，即可利用正弦函数的性质，结合整体法即可求解，（3）利用函数图象的平移和伸缩变换可得，即可根据三角函数的单调性求解最值求解.【详解】（1）由可得，令，则，故，解得，故不等式的解为；（2）将图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变；可得，再向左平移个单位，可得；最后向下平移个单位得到函数，当，由于在单调递增，故，所以，由于，故，即.【变式6-2】（2024·辽宁大连·模拟预测）已知函数，.(1)求函数的最小正周期和对称中心；(2)将函数图象向右平移个单位，再将图象向下平移1个单位，再将图象上每一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍得到函数的图象，并设.若在上有解，求实数的取值范围.【答案】(1)最小正周期为，对称中心的坐标为(2)【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）的解析式、三角恒等变换的化简问题【分析】（1）通过三角恒等变换化简，进一步由周期公式以及整体代入法可得对称中心；（2）通过化简得到，分离参数可得，进一步由换元法即可求解.【详解】（1），

则的最小正周期为：，

，，所以的对称中心的坐标为：；（2）由题意可知，将函数的图像向右平移个单位得到，

再向下平移1个单位得到，

再将图象上每一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍得到

即，，，

可得，

令，在上单调递减，所以，

在上有解，需，，的取值为.【考点题型七】三角函数中的零点个数问题（核心考点）【例7】（24-25高三上·上海·期中）已知，，(1)若，求函数，的值域；(2)已知，且函数的最小正周期为，若函数在上恰有3个零点，求实数的取值范围.【答案】(1)；(2).【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求含sinx(型)函数的值域和最值、求图象变化前（后）的解析式、辅助角公式【分析】（1）利用辅助角公式化简函数解析式得，根据整体角范围结合正弦函数性质求值域可得；（2）由周期得的值，进而得函数，结合整体角范围将复合函数零点个数转化为正弦函数的零点个数，再结合函数图象得不等式求解参数范围.【详解】（1）若，则，因为，所以，所以当，即时，函数，取最大值；当，即时，函数，取最小值，所以，函数，的值域为；（2）由，因为最小正周期为，所以，即，则.令，，则.于是函数在上恰有3个零点，等价于函数在上恰有3个零点，作出函数的图像可得，解得.所以，的取值范围为.

【变式7-1】（24-25高三上·北京顺义·阶段练习）已知函数．(1)求函数的最小正周期以及单调递增区间；(2)若函数向左平移个单位后，所得函数的图象关于对称，（ⅰ）求φ的最小值；（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，若函数在区间上存在零点，求的取值范围．【答案】(1)，单调递增区间为：；(2)（ⅰ）；（ⅱ）；【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期、求图象变化前（后）的解析式、求sinx型三角函数的单调性【分析】（1）由三角恒等变换得，根据三角函数的周期公式及正弦函数的性质求解即可；（2）（ⅰ）由题意可得，由，可得，求解即可；（ⅱ）将（ⅰ）中值代入，求出函数在上的值域，即可得答案.【详解】（1）解：因为，所以；由，解得，所以函数的单调递增区间为：；（2）解：（ⅰ）由题意可得，又因为的图象关于对称，所以，解得，又因为，所以当时，；（ⅱ）令，则，即的图象与直线在上有交点.又因为，所以，因为，所以，所以，，即，所以.【变式7-2】（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数为奇函数，且图像的相邻两条对称轴间的距离为．(1)求的解析式与单调递减区间；(2)已知在时，求方程的所有根的和．【答案】(1)答案见解析(2)或【知识点】正弦函数对称性的其他应用、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、三角恒等变换的化简问题、求sinx型三角函数的单调性【分析】（1）根据二倍角的余弦公式化简函数解析式，再结合函数的奇偶性与对称性可得函数解析式，进而可得函数单调区间；（2）结合函数值域与对称性以及二次方程解的情况可得解.【详解】（1），由为奇函数，则，即，，又，所以，又图像的相邻两条对称轴间的距离为，即，，解得，则，或，当时，令，，解得，，即单调递减区间为，；当时，令，，解得，，即单调递减区间为，；（2）设，则方程可转化为，解得或，当时，函数图像如图所示，由，则，，若，则，或或，即方程的解有，，；若，则，则此时满足，即，此时当时，函数图像如图所示，由，则，，若，则，或，即方程的解有，；若，由（1）得此时函数在上单调递减，即当时函数单调递减，当时函数单调递增，当时函数单调递减，又，且，，所以在和分别各有一解，在上无解，且满足与关于对称轴对称，则，此时.【考点题型八】三角函数中的零点代数和问题（核心考点）【例8】（24-25高三上·广东佛山·阶段练习）已知函数.(1)求的最小正周期及单调递增区间；(2)若方程在上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围.【答案】(1)最小正周期为，，(2)【知识点】正弦函数图象的应用、求正弦（型）函数的最小正周期、三角恒等变换的化简问题、求sinx型三角函数的单调性【分析】（1）先把函数化成的形式，再求函数的周期与单调增区间.（2）问题转化成在一定范围内有两解，利用数形结合的方法，求的取值范围.【详解】（1），，所以，即的最小正周期为.由，，解得，，所以的单调递增区间为，（2）由.根据，的图象：由图可知，当时，方程有两个不同的实根.所以实数的取值范围是：.【变式8-1】（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为π．(1)求的解析式；(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求方程的所有根之和．【答案】(1)；(2).【知识点】由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、求图象变化前（后）的解析式、求零点的和【分析】（1）利用三角恒等变换将函数化简得，再利用给定性质求出.（2）由三角函数图象变换得，再利用正弦函数性质，结合一元二次方程求出零点即可..【详解】（1）依题意，函数，由函数为奇函数，得，又，则，由函数图象的相邻两对称轴间的距离为，得的周期，解得，所以函数的解析式是.（2）将函数的图象向右平移个单位长度，得的图象，再把横坐标缩小为原来的，得到函数，由方程，，解得，即，当时，，则或或或，即原方程有四个实数根，不妨设为，因此，解得，所以原方程所有根之和为.【变式8-2】（24-25高三上·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.(1)求的解析式及单调减区间；(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的(纵坐标不变)，得到函数的图象，当时，求方程的所有根之和.【答案】(1)，单调减区间为(2)【知识点】函数与方程的综合应用、求图象变化前（后）的解析式、求sinx型三角函数的单调性【分析】（1）利用三角恒等变换将函数化简可得，再根据函数性质可求得解析式，根据整体代换可求出单调递减区间；（2）由三角函数平移规则可知，再根据三角函数值域以及一元二次方程的根即可求解.【详解】（1）由题意可知，函数，又因为函数为奇函数，所以可得，又，解得，因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为，可得周期，由可得.故函数.令，可得单调减区间为（2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，再把横坐标缩小为原来的，得到函数由方程得或，即或（舍）；当时，，所以或或或;即方程有四个实数根，不妨设为；可得.所以，故所有根之和为.【考点题型九】三角函数中新定义题【例9】（24-25高二上·海南海口·阶段练习）设函数的定义域为，其中常数.若存在常数，使得对任意的，都有，则称函数具有性质.(1)当时，函数和是否具有性质?(2)若，函数具有性质，且当时，，求不等式的解集.(3)已知函数具有性质，，且的图象是轴对称图形.若在上有最大值，且存在，使得，求证：.【答案】(1)，具有性质，不具有性质.(2)(3)证明见解析【知识点】解正弦不等式、函数新定义【分析】（1）由函数具有性质判断即可；（2）若，函数具有性质，当时，，可确定的值，再利用性质求出在上的解析式，按分段函数解不等式即可；（3）根据函数具有性质，且函数图像是轴对称图形，在区间上有最大值，分别讨论，时，函数的最值情况，得出矛盾，即可证明.【详解】（1），具有性质.因为，所以；不具有性质.（2）若，函数具有性质，则存在常数，对任意，使得，又当时，故当时，有，即，所以，所以当时，，，即时，故当时，不等式为，无解，当时，不等式为，又，故不等式解为，即解集为.（3）已知函数具有性质，则存在常数，使得，都有，所以，所以函数的图像端点为和，由的图像是轴对称图形，得其对称轴为直线，①若，因为时，，所以对任意，有，由基本不等式得，有，所以对任意，有，根据图像的对称性，得对任意，有，这样与存在矛盾.②若，由，得，又，由图像的对称性知，，且，所以，这与在上有最大值矛盾.综上：.【点睛】思路点睛：本题是函数新定义问题，需要注意的是定义域与区间上函数所具有的性质，可以利用端点处函数值所具有的性质求解参数，与对称性和最值结合时，可以利用反证法，证明与矛盾，从而得证结论.【变式9-1】（24-25高三上·湖南·开学考试）若函数的定义域为，且存在非零常数，使得对任意，都有，则称是类周期为的“类周期函数”.(1)若函数是类周期为1的“类周期函数”，证明：是周期函数；(2)已知是“类周期函数”，求的值及的类周期；(3)若奇函数是类周期为的“类周期函数”，且，求的值，并给出符合条件的一个.【答案】(1)证明见解析(2)的类周期为2(3)，【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、求正弦（型）函数的最小正周期、用和、差角的正弦公式化简、求值【分析】（1）利用“类周期函数”的定义，即可证明；（2）利用已知条件是“类周期函数”以及奇函数的性质，即可证明；（3）利用已知条件，求出的关系，进而求出T的值，进行作答.【详解】（1）证明：因为是类周期为1的“类周期函数”，所以，①用代换得，②①+②得，所以，所以，所以是周期为6的周期函数.（2）因为是“类周期函数”，所以存在非零常数，使得对任意，都有，即，整理得，所以所以，所以的类周期为2.（3）因为奇函数是类周期为的“类周期函数”，所以，且，取，得，所以，取，得，所以，因为，所以（负值舍去），所以，设，则，整理得，所以，取.【点睛】关键点点睛:此题重点在于把握理解新定义“类周期函数”，并结合周期函数、三角函数的性质解题.【变式9-2】（23-24高一下·山东青岛·期末）已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，使得（其中），则称为的“重覆盖函数”(1)判断，是否为，的“4重覆盖函数”，并说明理由；(2)若，是，的“3重覆盖函数”，求的范围；(3)若，，是，的“9重覆盖函数”，求的取值范围．【答案】(1)不是，理由见解析(2)(3)【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、辅助角公式、函数新定义【分析】（1）利用给定定义判断即可.（2）利用给定定义建立不等式，求解参数范围即可.（3）利用给定定义转化为函数交点问题，利用数形结合法求解即可.【详解】（1），，，，故的值域为，当时，，此时，不是的“4重覆盖函数”，（2），，的图像如下：是的“3重覆盖函数”，，在成立，，（3），，令，为的“9重覆盖函数”，即有9个实数根，即有9个实数根，因为与的图像如下，当时，，解得：，当时，，解得：，综上，要满足题意，所以，即.【点睛】关键点点睛：本题考查新定义，解题关键是合理利用给定定义，然后转化为零点问题，再转化为交点问题建立不等式组，得到所要求的参数范围即可．提升训练一、单选题1．（24-25高三上·福建福州·期中）若，则（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】正、余弦齐次式的计算、用和、差角的正切公式化简、求值、二倍角的正弦公式【分析】由两角和正切公式展开先求出，再利用“1”的代换与二倍角正弦公式将式子转化为“齐次比”形式，化弦为切代入求解可得.【详解】由，得，解得，所以.

故选：B.2．（24-25高二上·湖北恩施·期中）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【知识点】二倍角的余弦公式、辅助角公式、诱导公式二、三、四【分析】由辅助角公式，诱导公式，二倍角公式可得答案.【详解】由辅助角公式，.因，则.故选：B3．（23-24高一下·内蒙古·期末）已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、二倍角的正弦公式【分析】根据和差角公式可得，，即可由正弦的二倍角公式求解.【详解】根据题意可得，，则，，.故选：D4．（24-25高二上·湖南长沙·期中）定义行列式，若函数，则下列表述正确的是（

）A．的图象关于点中心对称 B．的图象关于直线对称C．在区间上单调递增 D．是最小正周期为的奇函数【答案】C【知识点】三角恒等变换的化简问题、函数新定义、求余弦（型）函数的最小正周期、cosx（型）函数的对称轴与单调性、最值的关系【分析】由行列式运算的定义，结合三角恒等变换，求出解析式，AB选项关于函数图象的对称性，代入检验即可判断；整体代入验证单调性判断选项C；公式法求最小正周期，检验函数奇偶性判断选项D.【详解】由题中所给定义可知，，，点不是图象的对称中心，故A错误；，直线不是图象的对称轴，故B错误；时，，是余弦函数的单调递增区间，所以在区间上单调递增，故C正确；的最小正周期，但，所以函数不是奇函数，故D错误.故选：C5．（24-25高三上·福建·期中）将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象.若的图象关于点对称，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【知识点】求cosx（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）的解析式、利用cosx（型）函数的对称性求参数【分析】根据函数图象的平移可得，即可根据对称得求解.【详解】由题意可得，由于的图象关于点对称，故，故,解得，取，为最小值，故选：A6．（24-25高三上·福建厦门·期中）若直线是曲线的一条对称轴，且函数在区间上不单调，则的最小值为（

）A．7 B．9 C．11 D．15【答案】C【知识点】利用正弦型函数的单调性求参数、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求sinx型三角函数的单调性【分析】首先根据对称轴的性质求出的表达式，再根据函数的单调区间确定的范围，从而得出的最小值.【详解】因直线是一条对称轴，所以，.整理可得：，即，.由，得.则函数在上单调递增.因为函数在区间上不单调，所以.解得.因为，且，所以的最小值为11.故选：C.7．（24-25高三上·上海·期中）已知函数，下列说法中正确的是（

）A．函数的图象关于点中心对称；B．函数的图象关于直线对称；C．函数的图象可由的图象向右平移个单位得到；D．方程在上有两个不相等的实数根.【答案】D【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、求图象变化前（后）的解析式【分析】代入验证可判断AB；根据平移变换判断C；直接解方程可判断D.【详解】对于A，当时，，所以的图象关于直线对称，即的图象不关于点对称，故A错误；对于B，当时，，所以的图象关于点对称，即函数的图象不关于直线对称，故B错误；对于C，的图象向右平移个单位得到，故C错误；对于D，令，则，或，即，或，又，则，或，因此可得方程在上有两个不相等的实数根，故D正确．故选：D.8．（24-25高三上·河北石家庄·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则下列选项不正确的是（

）A．函数的图象关于点中心对称B．函数的单调增区间为C．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到D．函数在0,π上有2个零点，则实数t的取值范围为【答案】C【知识点】求图象变化前（后）的解析式、求sinx型三角函数的单调性、根据函数零点的个数求参数范围、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心【分析】利用辅助角公式及函数图象先化简计算得出函数式，结合三角函数的图象及性质逐一分析选项即可.【详解】，由图可知，，可得，，，，故正确；，解得，所以函数在单调递增，故正确；函数的图象向左平移个单位长度得，，故错误；，x∈0,π当时，，此时有两个零点，即，可得，故正确.故选：.二、多选题9．（24-25高三上·广东东莞·阶段练习）函数的图象如图所示，将其向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法正确的是（

）A．B．函数的图象关于点对称C．函数的图象关于直线对称D．函数在区间上单调递减【答案】ABD【知识点】求正弦（型）函数的对称轴及对称中心、由图象确定正（余）弦型函数解析式、求图象变化前（后）的解析式、求sinx型三角函数的单调性【分析】A项由最值点代入解析式待定系数，结合解析式由利用整体取代方法求对称中心可得B项；C项由平移得化简得，利用整体取代方法求对称轴即可；D项，由诱导公式化简得，结合图象可知单调性.【详解】A项，由得，，解得，，又，所以.故A正确；B项，因为，由，，得函数的对称中心为，，当时，得对称中心为，故B正确；C项，.故其对称轴为，，所以不是函数的对称轴，故C错误；D项，，所以在上单调递减，故D正确.故选：ABD.10．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数，则（

）A．函数的最小正周期为πB．直线是函数的图象的一条对称轴C．若时，恒成立，则实数m的取值范围为D．将函数的图象上的所有点的横坐标缩小为原来的，再将所得的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若时，函数有且仅有5个零点，则实数t的取值范围为．【答案】ACD【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求含sinx(型)函数的值域和最值、求正弦（型）函数的最小正周期、求正弦（型）函数的对称轴及对称中心【分析】利用二倍角公式和辅助角公式对进行化简，再求最小正周期可判断A，代入检验法可判断B，利用三角函数的性质可判断C，利用三角函数的图象变换和性质可判断D.【详解】因为，所以的最小正周期为，故A正确；又由，故B错误；当时，可得，当，即时，取得最小值，因为，恒成立，所以，即实数的取值范围为，故C正确；由题意得函数，因为，所以，又因为函数有且仅有5个零点，则满足，解得，所以实数的取值范围是，故D正确.故选：ACD.三、填空题11．（24-25高三上·上海·期中）如图为函数的部分图象，则.【答案】【知识点】由图象确定正（余）弦型函数解析式【分析】由图象过点结合正弦函数性质可得答案.【详解】因图象过点，则，结合，可得或，又图象过此点时单调递增，则.因图象过点，结合图象，可得，其中.结合.又由图可得函数的最小正周期大于，则，结合，可得，则.故答案为：12．（2024高三·全国·专题练习）把函数的图象向左平移个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可以得到函数的图象，则的图象与直线的交点个数为.【答案】3【知识点】求图象变化前（后）的解析式、结合三角函数的图象变换求三角函数的性质【分析】根据函数图象的变换可得，在同一坐标系作出以及的图象即可求解.【详解】由题意将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象，再将该图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，即，作出以及的图象，如图：由图象可知y=fx的图象与直线的交点个数为3.故答案为：3四、解答题13．（24-25高三上·湖南邵阳·阶段练习）设函数，(1)若将图象向左平移个单位，再将平移后图象上点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数，求在上的值域.(2)若，且，求的值.【答案】(1)；(2).【知识点】求含sinx(型)函数的值域和最值、给值求值型问题、求图象变化前（后）的解析式、三角恒等变换的化简问题【分析】（1）利用三角恒等变换先化简，再利用三角函数的图象变换求出，进而求出指定区间上的值域.（2）由（1）求出，再由结合和角的余弦公式求解即可.【详解】（1）依题意，，将图象向左平移个单位，得，于是，当时，，，则，所以在上的值域为.（2）由（1）知，由，得，由，得，则，.14．（24-25高三上·河南·期中）已知函数，且图象的一个对称中心到与其相邻的对称轴的距离为.(1)求的值及的单调递增区间；(2)将图象上的所有点的横坐标向右平移个单位长度（纵坐标不变），再向上平移个单位长度，再将纵坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，若函数在上存在零点，求的取值范围.【答案】(1)；单调递增区间为：；(2)【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、求sinx型三角函数的单调性、求图象变化前（后）的解析式、三角恒等变换的化简问题【分析】（1）先利用诱导公式、正弦的和角公式、二倍角公式及辅助角公式化简函数式，再根据三角函数的图象与性质计算即可；（2）根据三角函数图象的变换求出解析式，利用整体思想分离参数结合二次函数的性质计算即可.【详解】（1）由，因为图象的一个对称中心到与其相邻的对称轴的距离为，所以其最小正周期为，则，令，解之得；（2）由题意可知将图象上的所有点的横坐标向右平移个单位长度（纵坐标不变），再向上平移个单位长度可得，再将纵坐标伸长为原来的2倍，得到函数，当，所以，令，则条件可化为在时有解，易知在上单调递减，在上单调递增，易知，则，解之得.15．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知函数.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数的解析式的两个条件作为已知.条件①：函数的图象经过点；条件②：函数的最大值为；条件③：函数的最小正周期为.(1)求的解析式；(2)若函数在区间上有且仅有1个零点，求的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2)答案见解析【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、由正（余）弦函数的性质确定图象（解析式）、辅助角公式、三角恒等变换的化简问题【分析】（1）利用三角恒等变换化简，选择①③：由周期得出，由得出，进而求出的解析式；选择②③：由周期得出，由的最大值为得出，进而求出的解析式；选择①②：由得，又因为函数的最大值为