专题04 函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性（期末压轴专项训练20题）（解析版）-25学年高一数学上学期期末考点大串讲（人教A版必修一）

专题04函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性（期末压轴专项训练20题）一、单选题1．已知函数为定义在R上的奇函数，且在上单调递减，满足，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【知识点】函数奇偶性的应用、根据函数的单调性解不等式【分析】根据题意可得，利用单调性解不等式结合对数运算即可求解【详解】函数为定义在R上的奇函数，且在上单调递减，所以在上是减函数，，即，所以，所以，所以，即实数a的取值范围为.故选：.2．已知函数的定义域为，且为奇函数，，则一定正确的是（

）A．的周期为2 B．图象关于直线对称C．为偶函数 D．为奇函数【答案】D【知识点】抽象函数的奇偶性、判断证明抽象函数的周期性、函数对称性的应用【分析】根据函数奇偶性、对称性及周期性对选项逐一分析即可.【详解】为奇函数，得，即，则为奇函数，故C错误；且图象关于点中心对称，故B错误；可知，函数周期为4，故A错误；，又图象关于点中心对称，知，所以，得关于点对称，则关于点对称，所以为奇函数，故D正确.故选：D.3．已知函数，若不等式成立，则的取值范围是（

）A．B． C． D．【答案】B【知识点】根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式【分析】构造函数，验证其为奇函数，再将问题转化为，然后由单调性解抽象函数不等式即可；【详解】设，则，故是奇函数．不等式等价于不等式即不等式因为是奇函数，所以易证是上的减函数，则，即，解得．故选：B.4．设函数定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则下列结论错误的是（

）A． B．为奇函数C．在上是减函数 D．方程仅有个实数解【答案】C【知识点】函数周期性的应用、函数对称性的应用、研究对数函数的单调性、求函数零点或方程根的个数【分析】根据fx−1与的奇偶性可判断函数的对称性与周期性，从而作出函数图像，数形结合判断各选项.【详解】为奇函数，即，关于点对称，又为偶函数，即，关于直线对称，所以，即，所以，即函数的最小正周期为，A选项：，A选项正确；B选项：，所以为奇函数，B选项正确；C选项：由当时，，所以，所以在上单调递增，C选项错误；D选项：由，得作出函数及图像如图所示，

由已知函数的值域为，且，当时，，函数与无公共点，当时，由图像可知函数与函数有个公共点，即有个解，D选项正确；故选：C.5．已知定义在上的奇函数满足，则（

）A．0 B． C．253 D．506【答案】A【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用【分析】根据为上的奇函数，可得，结合可得，进而得到，可得函数是周期为8的周期函数，再结合可得，进而求解即可.【详解】因为函数为上的奇函数，所以，又，则，所以，所以函数是周期为8的周期函数，又，则，所以，所以.故选：A.6．已知是定义在上的偶函数，，当时，，则（

）A． B．0 C． D．【答案】C【知识点】函数奇偶性的应用、由函数的周期性求函数值【分析】根据题意，推得，得到是周期为4的函数，结合时，函数的解析式，求得的值，进而求得的值，得到答案.【详解】因为是定义在上的偶函数，，可得，即，所以函数是以4为周期的周期函数，可得，又因为当时，，可得，所以.故选：C.7．已知定义在上的奇函数满足，则（

）A．0 B．105 C．210 D．225【答案】C【知识点】函数奇偶性的应用、函数对称性的应用【分析】根据题意，由奇函数的性质以及，分析可得，求出，，即可求解.【详解】因为是奇函数，所以．由，可得，则．因为是奇函数，所以，则，，，，又，则，，，，所以．故选：C8．已知函数在上单调递减且对任意x∈R满足，则不等式的解集是（

）A． B． C．1,+∞ D．1,4【答案】D【知识点】根据函数的单调性求参数值、函数对称性的应用、根据函数的单调性解不等式【分析】先根据已知得出对称轴,再根据单调性解不等式即可.【详解】因为,所以fx的对称轴为x=2,fx在单调递减，则fx在单调递增，又因为，由对称性可得,所以,故选：D.二、多选题9．已知奇函数的定义域为，若，则（

）A． B．的图象关于直线对称C． D．的一个周期为【答案】AD【知识点】函数奇偶性的应用、函数周期性的应用、函数对称性的应用【分析】由奇函数可得，再根据函数的周期性与对称性分别判断.【详解】由函数为奇函数，则，A选项正确；又，即，则函数关于直线对称，B选项错误；由可知，即，函数的一个周期为，C选项错误，D选项正确；故选：AD.10．已知函数为R上的奇函数，且在R上单调递增.若，则实数的取值可以是（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】CD【知识点】根据函数的单调性解不等式、函数奇偶性的应用【分析】先利用函数是奇函数，将不等式转变为，再利用函数在R上单调递增，将不等式转变为，求解即可.【详解】因为函数是奇函数，则不等式，可变形为，因为函数在R上单调递增，则不等式成立，则，解得，1，2符合题意，故选：CD.11．已知函数的定义域为，若，则（

）A． B．C． D．【答案】BD【知识点】求函数值、函数周期性的应用、函数对称性的应用【分析】应用赋值法可求得，和，变换可得，与联立即可求得，应用可得，进而可得.【详解】因为所以所以，取，由可知，，故A错误；取，由知，，所以，故B正确；令，由知，，即，又因为，所以，故C错误；由得，，所以，所以，所以，又，所以，所以，故D正确.故选：BD三、填空题12．已知是奇函数，当时，，则.【答案】【知识点】函数奇偶性的应用【分析】由是奇函数，得函数关于对称，进而结合代值计算即可.【详解】由是奇函数，得函数关于对称，又当时，，则.故答案为：.13．已知函数满足对任意的，都有成立，则实数的取值范围为.【答案】【知识点】根据函数的单调性求参数值、根据分段函数的单调性求参数、由指数（型）的单调性求参数【分析】运用分段函数单调性知识，结合一次函数和指数型函数单调性知识可解.【详解】由题意，为定义在上的减函数，则各段为减函数，还要区间端点附近递减，所以，解得，则.故答案为：.14．已知是定义在上的奇函数，且满足，则．【答案】0【知识点】由函数的周期性求函数值、函数奇偶性的应用【分析】根据题意，由函数的奇偶性以及可得函数的周期为2，代入计算，即可求解.【详解】函数是定义在上的奇函数，有，又由和，可得，可得函数的周期为2，则．故答案为：15．写出满足为上的偶函数且的一个函数解析式：；【答案】（答案不唯一）【知识点】函数对称性的应用、函数奇偶性的应用【分析】先由题给条件求得的图象性质，结合及二次函数的对称性得到其可能的解析式.【详解】由为上的偶函数可得，所以，则的图象关于直线对称，又，结合二次函数性质可得，（答案不唯一）故答案为：（答案不唯一）16．已知，函数是奇函数，则．【答案】0【知识点】由奇偶性求参数【分析】根据奇函数得和，代入求得，，再代入解析式检验即可.【详解】因为函数定义域为且是奇函数，所以，所以，所以，由知，即，又因为，所以，把代入，满足题意，所以.故答案为：17．若偶函数对任意都有，且当时，，则．【答案】【知识点】由函数的周期性求函数值、函数周期性的应用、函数奇偶性的应用【分析】由题意求得，可得的周期为6，则，即可求解.【详解】由，且当时，，得，，则是以6为周期的函数，所以.故答案为：18．奇函数满足，当时，，则.【答案】1【知识点】由函数的周期性求函数值、函数对称性的应用、函数周期性的应用、函数奇偶性的应用【分析】由题意借助赋值法可得函数的周期性，结合函数解析式与对称性计算即可得解.【详解】由题意，得，在中，以替换，得，以替换式中的，得，所以，所以4为函数的一个周期，所以.故答案为：1.19．已知函数是偶函数，则实数.【答案】2【知识点】由奇偶性求参数【分析】由偶函数的性质可得，即可得出答案.【详解】因为函数的定义域为，函数是偶函数，所