专题11 三角函数三角恒等变换函数y＝Asinωx＋φ三角函数的应用（考点清单+知识导图+ 9个考点清单-题型解读）（原卷版）

清单11三角函数（三角恒等变换函数三角函数的应用)（个考点梳理+题型解读+提升训练）【清单01】两角和与差的余弦公式两角和与差的余弦公式（1）（2）①简记符号:,.②适用条件:公式中的角,是任意角.【清单02】两角和与差的正弦公式（1）（2）①简记符号:,.②适用条件:公式中的角,是任意角.【清单03】两角和与差的正切公式两角和与差的正切公式（1）（2）①简记符号:,.②适用条件:公式中的角,，，，.③变形结论：【清单04】二倍角的正弦、余弦正切公式①②；；③【清单05】半角公式①②③【清单06】辅助角公式：(其中)【清单07】五点法作图必备方法：五点法步骤③①②对于复合函数，第一步：将看做一个整体，用五点法作图列表时，分别令等于，，，，，对应的则取，，，，。，（如上表中，先列出序号①②两行）第二步：逆向解出（如上表中，序号③行。）第三步：得到五个关键点为：，,,,【清单08】根据图象求解析式形如的解析式求法：1、求法：①观察法：代表偏离平衡位置的最大距离；平衡位置.②代数法：记的最大值为,最小值为；则：，联立求解.2、求法：通过观察图象，计算周期，利用公式，求出.3、求法：①第一关键点法：通过观察图象找出第一关键点，将第一关键点代入求解.（第一关键点判断方法：图象呈上升状态与平衡位置的交点,且该点离轴最近）②最值代入法：通过观察图象的最高点（或者最低点）代入解析式求解.③特殊点法：当图象给出的信息缺乏①②中的条件，可以寻找图象的其它特殊点代入解析式求解，但用此法求解，若有多个答案注意根据条件取舍答案.【考点题型一】给定角或者三角函数值，求三角函数值核心方法：拼凑角，二倍角公式【例1】（广西“贵百河——武鸣高中”2025届高三上学期11月摸底考试数学试题）已知，则（

）A． B． C． D．【变式1-1】（24-25高三上·辽宁·期中）已知，则（

）A． B．C．或 D．【变式1-2】（24-25高三上·江苏南通·期中）若，则的值为（

）A． B． C． D．【考点题型二】给定三角函数值，求角【例2-1】（24-25高三上·山东·期中）若，，且，，则（

）A． B． C． D．【例2-2】（24-25高三上·江苏南通·阶段练习）已知、为锐角，，．(1)求的值；(2)求的大小．【变式2-1】（24-25高三上·湖北荆州·阶段练习）已知，且，，则（

）A． B． C． D．【变式2-2】（23-24高一下·四川凉山·期末）已知，，其中，则.【考点题型三】逆用两角和差公式【例3】（23-24高一下·广东佛山·期中）利用和（差）角公式计算下列各式的值：(1)；(2)；(3)【变式3-1】（24-25高二上·江西南昌·阶段练习）（

）A． B． C． D．【变式3-2】（24-25高一下·全国·随堂练习）化简等于（

）A． B． C． D．【考点题型四】三角函数图象平移，伸缩变换【例4】（多选）（24-25高三上·陕西咸阳·期中）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（

）A．向右平移个单位后，再把图象上所有点的横坐标扩大到原来的倍，纵坐标不变B．向右平移个单位后，再把图象上所有点的横坐标缩小到原来的，纵坐标不变C．横坐标扩大到原来的倍，纵坐标不变，再把所得图象向右平移个单位D．横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，再把所得图象向右平移个单位【变式4-1】（2024高二下·河北）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数y=fx的图象，则（

）A． B．C． D．【变式4-2】（2024·云南楚雄·一模）将函数（）的图象向右平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．4 D．5【考点题型五】看图求解析式【例5】（24-25高三上·山东青岛·期中）已知函数的部分图象如图所示.(1)求函数的解析，并求出在上的值域；(2)若将函数的图象向右平移个单位后所得曲线关于轴对称.求的最小值.【变式5-1】（24-25高三上·天津河西·期中）已知函数的部分图象如图所示.

(1)求函数的解析式；(2)若将的图象向左平移个单位长度，再将所得图象的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到的图象.（i）求的解析式及值；（ii）求在上的值域.【变式5-2】（24-25高三上·辽宁丹东·期中）已知函数的部分图象如图所示．(1)求的解析式；(2)若将图象上每一点的横坐标缩小到原来的倍，得到函数，求在的值域．【考点题型六】三角函数中的恒（能）成立问题（核心考点）【例6-1】（24-25高三上·湖北·期中）已知函数.(1)求的单调减区间；(2)将函数y=fx的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=gx的图象.若对任意，，求实数的最小值.【例6-2】（24-25高三上·安徽·阶段练习）已知函数的最小正周期为.(1)求的值及函数的对称中心；(2)设，若对任意的都有，求实数的取值范围.【变式6-1】.（23-24高一上·江苏盐城·期末）设函数(1)求函数的最小正周期，并解不等式；(2)先将图象上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变；再向左平移个单位；最后向下平移个单位得到函数的图象．若对，不等式恒成立，求实数的取值范围【变式6-2】（2024·辽宁大连·模拟预测）已知函数，.(1)求函数的最小正周期和对称中心；(2)将函数图象向右平移个单位，再将图象向下平移1个单位，再将图象上每一点的横坐标不变，纵坐标变为原来的倍得到函数的图象，并设.若在上有解，求实数的取值范围.【考点题型七】三角函数中的零点个数问题（核心考点）【例7】（24-25高三上·上海·期中）已知，，(1)若，求函数，的值域；(2)已知，且函数的最小正周期为，若函数在上恰有3个零点，求实数的取值范围.【变式7-1】（24-25高三上·北京顺义·阶段练习）已知函数．(1)求函数的最小正周期以及单调递增区间；(2)若函数向左平移个单位后，所得函数的图象关于对称，（ⅰ）求φ的最小值；（ⅱ）在（ⅰ）的条件下，若函数在区间上存在零点，求的取值范围．【变式7-2】（24-25高三上·上海·阶段练习）已知函数为奇函数，且图像的相邻两条对称轴间的距离为．(1)求的解析式与单调递减区间；(2)已知在时，求方程的所有根的和．【考点题型八】三角函数中的零点代数和问题（核心考点）【例8】（24-25高三上·广东佛山·阶段练习）已知函数.(1)求的最小正周期及单调递增区间；(2)若方程在上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围.【变式8-1】（24-25高三上·安徽合肥·阶段练习）已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为π．(1)求的解析式；(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求方程的所有根之和．【变式8-2】（24-25高三上·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为.(1)求的解析式及单调减区间；(2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的(纵坐标不变)，得到函数的图象，当时，求方程的所有根之和.【考点题型九】三角函数中新定义题【例9】（24-25高二上·海南海口·阶段练习）设函数的定义域为，其中常数.若存在常数，使得对任意的，都有，则称函数具有性质.(1)当时，函数和是否具有性质?(2)若，函数具有性质，且当时，，求不等式的解集.(3)已知函数具有性质，，且的图象是轴对称图形.若在上有最大值，且存在，使得，求证：.【变式9-1】（24-25高三上·湖南·开学考试）若函数的定义域为，且存在非零常数，使得对任意，都有，则称是类周期为的“类周期函数”.(1)若函数是类周期为1的“类周期函数”，证明：是周期函数；(2)已知是“类周期函数”，求的值及的类周期；(3)若奇函数是类周期为的“类周期函数”，且，求的值，并给出符合条件的一个.【变式9-2】（23-24高一下·山东青岛·期末）已知函数和的定义域分别为和，若对任意，恰好存在个不同的实数，使得（其中），则称为的“重覆盖函数”(1)判断，是否为，的“4重覆盖函数”，并说明理由；(2)若，是，的“3重覆盖函数”，求的范围；(3)若，，是，的“9重覆盖函数”，求的取值范围．提升训练一、单选题1．（24-25高三上·福建福州·期中）若，则（

）A． B． C． D．2．（24-25高二上·湖北恩施·期中）已知，则（

）A． B． C． D．3．（23-24高一下·内蒙古·期末）已知，，则（

）A． B． C． D．4．（24-25高二上·湖南长沙·期中）定义行列式，若函数，则下列表述正确的是（

）A．的图象关于点中心对称 B．的图象关于直线对称C．在区间上单调递增 D．是最小正周期为的奇函数5．（24-25高三上·福建·期中）将函数图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象.若的图象关于点对称，则的最小值为（

）A． B． C． D．6．（24-25高三上·福建厦门·期中）若直线是曲线的一条对称轴，且函数在区间上不单调，则的最小值为（

）A．7 B．9 C．11 D．157．（24-25高三上·上海·期中）已知函数，下列说法中正确的是（

）A．函数的图象关于点中心对称；B．函数的图象关于直线对称；C．函数的图象可由的图象向右平移个单位得到；D．方程在上有两个不相等的实数根.8．（24-25高三上·河北石家庄·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则下列选项不正确的是（

）A．函数的图象关于点中心对称B．函数的单调增区间为C．函数的图象可由的图象向左平移个单位长度得到D．函数在0,π上有2个零点，则实数t的取值范围为二、多选题9．（24-25高三上·广东东莞·阶段练习）函数的图象如图所示，将其向左平移个单位长度，得到的图象，则下列说法正确的是（

）A．B．函数的图象关于点对称C．函数的图象关于直线对称D．函数在区间上单调递减10．（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知函数，则（

）A．函数的最小正周期为πB．直线是函数的图象的一条对称轴C．若时，恒成立，则实数m的取值范围为D．将函数的图象上的所有点的横坐标缩小为原来的，再将所得的图象向右平移个单位，得到函数的图象，若时，函数有且仅有5个零点，则实数t的取值范围为．三、填空题11．（24-25高三上·上海·期中）如图为函数的部分图象，则.12．（2024高三·全国·专题练习）把函数的图象向左平移个单位长度，再把图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，可以得到函数的图象，则的图象与直线的交点个数为.四、解答题13．（24-25高三上·湖南邵阳·阶段练习）设函数，(1)若将图象向左平移个单位，再将平移后图象上点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变）得到函数，求在上的值域.(2)若，且，求的值.14．（24-25高三上·河南·期中）已知函数，且图象的一个对称中心到与其相邻的对称轴的距离为.(1)求的值及的单调递增区间；(2)将图象上的所有点的横坐标向右平移个单位长度（纵坐标不变），再向上平移个单位长度，再将纵坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，若函数在上存在零点，求的取值范围.15．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知函数.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择能确定函数的解析式的两个条件作为已知.条件①：函数的图象经过点；条件②：函数的最大值为；条件③：函数的最小正周期为.(1)求的解析式；(2)若函数在区间上有且仅有1个零点，求的取值范围.16．（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）已知函数．(1)若在上为增函数，求的值范围；(2)已知的图像向右平