江苏无锡市湖滨中学2024-2025学年高一（上）数学第15周阶段性训练模拟练习【含答案】

江苏无锡市湖滨中学2024-2025学年高一（上）数学第15周阶段性训练模拟练习一．选择题（共4小题）1．函数的零点所在的大致区间为（）A．（0，1） B．（1，2） C．（2，e） D．（e，3）2．函数f（x）＝x+log2x﹣4的零点为x1，函数g（x）＝x+loga（x﹣1）﹣5（a＞1）的零点为x2，若x2﹣x1＞1，则实数a的取值范围是（）A．（1，） B．（1，2） C．（，+∞） D．（2，+∞）3．设函数f（x）＝ln|2x+1|﹣ln|2x﹣1|，则f（x）（）A．是偶函数，且在（，+∞）单调递增 B．是奇函数，且在（﹣，）单调递减 C．是偶函数，且在（﹣∞，﹣）单调递增 D．是奇函数，且在（﹣∞，﹣）单调递减4．已知函数y＝f（x）的表达式为f（x）＝|log2x|，若0＜m＜n且f（m）＝f（n），则2m+n的取值范围为（）A．（1，+∞） B．[1，+∞） C． D．二．多选题（共5小题）（多选）5．设a＞0，b＞0，已知，则下列说法正确的是（）A．M有最小值 B．M没有最大值 C．N有最大值为 D．N有最小值为（多选）6．若0＜m＜1＜a＜b，则（）A．ma＜mb B．am＜bm C．logma＜logmb D．（多选）7．已知函数y＝f（x），对于任意x，y∈R，＝f（x﹣y），则（）A．f（0）＝1 B．f（x2）＝2f（x） C．f（x）＞0 D．≥f（）（多选）8．定义在R上的函数f（x），对任意的x1，x2∈R，都有f（x1+x2）＝f（x1）+f（x2）+1，且当x＞0时，f（x）＞f（0）恒成立，下列说法正确的是（）A．f（0）＝﹣1 B．函数f（x）的单调增区间为（0，+∞） C．函数g（x）＝f（x）+1为奇函数 D．函数f（x）为R上的增函数（多选）9．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意x∈R，有f（1﹣x）＝﹣f（1+x），当x∈[0，1]时，f（x）＝x2+x﹣2，则（）A．f（x）是以2为周期的周期函数 B．点（﹣3，0）是函数f（x）的一个对称中心 C．f（2021）+f（2022）＝﹣2 D．函数y＝f（x）﹣log2（x+1）有3个零点三．填空题（共3小题）10．设函数，则满足的x的取值范围是．11．已知函数f（x）是定义在R上不恒为零的偶函数，且对于任意实数x都有（x﹣1）f（x）＝xf（x﹣1）成立，则＝．12．已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+4）＝f（x），且当x∈[0，4）时，f（x）＝2x+m，若f（2023）＝3f（1），则m＝．四．解答题（共5小题）13．设函数f（x）和g（x）的定义域为（﹣1，1），若f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，且f（x）﹣g（x）＝2lg（1﹣x）．（1）求函数f（x）和g（x）的解析式；（2）判断f（x）在（0，1）上的单调性，并给出证明．14．设a为实数，已知函数，g（x）＝lnx•（lnx﹣2）+a．（1）若函数f（x）和g（x）的定义域为[1，+∞），记f（x）的最小值为M1，g（x）的最小值为M2.当M2≤M1时，求a的取值范围；（2）设x为正实数，当g（x）＞0恒成立时，关于x的方程f（g（x））+a＝0是否存在实数解？若存在，求出此方程的解；若不存在，请说明理由．15．已知函数f（x）＝（2x+2﹣x），g（x）＝（2x﹣2﹣x）．（1）利用函数单调性的定义，证明：f（x）在区间[0，+∞）上是增函数；（2）已知F（x）＝4f2（x）﹣4mf（x）+9，其中m是大于1的实数，当x∈[0，log2m]时，F（x）≥0，求实数m的取值范围；（3）当a≥0，判断与af（x）+（1﹣a）的大小，并证明你的结论．

16．已知函数f（x）＝x2+bx+c，满足f（x）＝f（1﹣x），其一个零点为﹣1．（1）当m≥0时，解关于x的不等式mf（x）≥2（x﹣m﹣1）；（2）设h（x）＝3|f（x）+3x﹣1|，若对于任意的实数x1，x2∈[﹣2，2]，都有|h（x1）﹣h（x2）|≤M，求M的最小值．17．已知函数．（1）当a＝5，b＝﹣3时，求满足f（x）＝3x的x的值；（2）当b＝1时，若函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，函数g（x）满足g（x）＝f（x）（3x+1）+3﹣x．①求f（x）及g（x）的表达式；②若对任意x∈R且x≠0，不等式g（2x）≥m•g（x）﹣10恒成立，求实数m的最大值．

参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．【解答】解：易知函数在（0，+∞）上单调递增，∵f（e）＝1﹣＜0，f（3）＝ln3﹣1＞0，∴f（e）•f（3）＜0，∴函数的零点所在的大致区间为（e，3）．故选：D．2．【解答】解：f（x）＝x+log2x﹣4的零点为x1，所以x1+log2x1﹣4＝0，因为g（x）＝x+loga（x﹣1）﹣5（a＞1）的零点为x2，所以g（x2）＝x2+loga（x2﹣1）﹣5＝0，所以x1+log2x1﹣4＝x2﹣1+loga（x2﹣1）﹣4，所以x1+log2x1＝x2﹣1+loga（x2﹣1），又因为x2﹣x1＞1，所以x1＜x2﹣1，又因为y＝x+log2x，y＝x﹣1+loga（x﹣1）（a＞1）这两个函数均单调递增，当x1＜x2﹣1时，log2x1＞loga（x2﹣1），解得a＞2．故选：D．3．【解答】解：由，得x．又f（﹣x）＝ln|﹣2x+1|﹣ln|﹣2x﹣1|＝﹣（ln|2x+1|﹣ln|2x﹣1|）＝﹣f（x），∴f（x）为奇函数；由f（x）＝ln|2x+1|﹣ln|2x﹣1|＝，∵＝＝．可得内层函数t＝||的图象如图，在（﹣∞，）上单调递减，在（，）上单调递增，则（，+∞）上单调递减．又对数式y＝lnt是定义域内的增函数，由复合函数的单调性可得，f（x）在（﹣∞，﹣）上单调递减．故选：D．4．【解答】解：由题意函数y＝f（x）的表达式为f（x）＝|log2x|，若0＜m＜n且f（m）＝f（n），可得，﹣log2m＝log2n，化简可得mn＝1．∴2m+n≥2＝2，当且仅当2m＝n时，等号成立．故2m+n的取值范围为[2，+∞），故选：D．二．多选题（共5小题）5．【解答】解：因为a＞0，b＞0，所以M＝，当且仅当a＝b时取等号，所以M有最小值为2，没有最大值，故A正确，B正确；因为，所以N＝＝，当且仅当a＝b时取等号，所以N有最小值为，没有最大值，故C错误，D正确，故选：ABD．6．【解答】解：对于选项A，∵0＜m＜1，∴函数y＝mx在R上是减函数，又∵a＜b，∴ma＞mb，故错误；对于选项B，∵0＜m＜1，∴函数y＝xm在（0，+∞）上是增函数，又∵a＜b，∴am＜bm，故正确；对于选项C，∵0＜m＜1，∴函数y＝logmx在（0，+∞）上是减函数，又∵1＜a＜b，∴logma＞logmb，故错误；对于选项D，﹣＝，∵0＜m＜1＜a＜b，∴＞0，即＞，故正确；故选：BD．7．【解答】解：对于A，令x＝y＝0，则有1＝f（0），故正确；对于B，由已知＝f（x﹣y），可得f（x）＝f（y）f（x﹣y），所以f（x+y）＝f（x）f（y），①令f（x）＝ax（a＞0且a≠1）满足题干要求，2f（x）＝2ax，f（x2）＝，则f（x2）≠2f（x），故B错误；对于C，由①可知：令x＝，y＝，则f（x）＝f（）f（）＝[f（）]2，又因为＝f（x﹣y），则f（）≠0，所以f（x）＝[f（）]2＞0，故C正确；对于D，因为f（x）＞0，所以f（x）+f（y）≥2＝2，又由①，令x＝y＝，则f（x+y）＝f（）f（）＝[f（）]2，所以≥f（），故D正确．故选：ACD．8．【解答】解：对任意的x1，x2∈R，都有f（x1+x2）＝f（x1）+f（x2）+1，可得x1＝x2＝0时，f（0）＝2f（0）+1，解得f（0）＝﹣1，故A正确；令x1＝x，x2＝﹣x，则f（0）＝f（x）+f（﹣x）+1，可得[f（﹣x）+1]+[f（x）+1]＝0，则g（﹣x）＝﹣g（x），即g（x）＝f（x）+1为奇函数，故C正确；当x＞0时，f（x）＞f（0）恒成立，可得g（x）＝f（x）+1＞0恒成立，设x1＜x2，即x2﹣x1＞0，可得g（x2﹣x1）＝f（x2﹣x1）+1＝f（x2）+f（﹣x1）+2＝[f（x2）+1]+[f（﹣x1）+1]＞0，即为g（x2）＞﹣g（﹣x1）＝g（x1），所以g（x）在R上递增，即f（x）在R上递增，故B错误，D正确．故选：ACD．9．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，对任意x∈R，有f（1﹣x）＝﹣f（1+x），即f（﹣x）＝﹣f（2+x），f（x）是定义在R上的偶函数，则有f（x+2）＝﹣f（x），变形可得f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），则函数f（x）是周期为4的周期函数，A错误；对于B，对任意x∈R，有f（1﹣x）＝﹣f（1+x），则（1，0）是函数f（x）的一个对称中心，又由函数f（x）是周期为4的周期函数，则点（﹣3，0）是函数f（x）的一个对称中心，B正确；对于C，函数f（x）是周期为4的周期函数，且对任意x∈R，有f（1﹣x）＝﹣f（1+x），则f（2021）+f（2022）＝f（1）+f（2）＝f（1）﹣f（0）＝2，C错误；对于D，作出函数f（x）与y＝log2（x+1）的图象，易得两个函数有3个交点，则函数y＝f（x）﹣log2（x+1）有3个零点，D正确；故选：BD．三．填空题（共3小题）10．【解答】解：①当x≤0时，x﹣＜0，∴f（x）+f（x﹣）＝2x+1+2（x﹣）+1＝4x﹣1≤﹣1，则在x≤0时无解；②当0时，x﹣≤0，∴f（x）+f（x﹣）＝3x+2（x﹣）+1＝3x+2x﹣2，在R上单调递增，且x＝1时，3+2﹣2＝3，则的解集为（1，]；③当x时，x﹣＞0，∴f（x）+f（x﹣）＝＞3，则在x时恒成立，综上所述，的解集为（1，+∞）．故答案为：（1，+∞）．11．【解答】解：因为对于任意实数x都有（x﹣1）f（x）＝xf（x﹣1）成立，令x＝0可得，f（0）＝0，令x＝可得﹣＝，则f（）＝0，当x≠0，1时，若f（x﹣1）＝0，则f（x）＝0，则f（）＝f（）＝f（）＝f（）＝0，则＝0．故答案为：0．12．【解答】解：函数f（x）满足f（x+4）＝f（x），则f（x）的周期为4，f（2023）＝f（3）＝8+m＝3（2+m），解得m＝1．故答案为：1．四．解答题（共5小题）13．【解答】解：（1）根据题意：f（﹣x）﹣g（﹣x）＝2lg（1+x）；∴f（x）+g（x）＝2lg（1+x），联立f（x）﹣g（x）＝2lg（1﹣x）得：f（x）＝lg（1+x）+lg（1﹣x）＝lg（1﹣x2），g（x）＝lg（1+x）﹣lg（1﹣x）＝lg；（2）f（x）＝lg（1﹣x2）在（0，1）上单调递减，证明如下：设x1，x2∈（0，1），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝lg（1﹣x12）﹣lg（1﹣x22），∵0＜x1＜x2＜1，∴x12＜x22，∴1﹣x12＞1﹣x22，∴lg（1﹣x12）＞lg（1﹣x22），∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）在（0，1）上是减函数．14．【解答】解：（1）当x≥1时，2x≥2，﹣，所以f（x）＝，当x＝1时取等号，即M1＝，当x≥1时，lnx≥0，g（x）＝lnx•（lnx﹣2）+a＝（lnx﹣1）2+a﹣1，根据二次函数的性质可知，当lnx＝1，即x＝e时g（x）取得最小值M2＝a﹣1，当M2≤M1时，a﹣1，所以a，故a的取值范围为（﹣∞，]；（2）因为g（x）＝lnx•（lnx﹣2）+a＝（lnx﹣1）2+a﹣1＞0恒成立，所以a﹣1＞0，即a＞1，此时2g（x）＞1，0＜＜1，则f（g（x））+a＝2g（x）﹣+a＞0，所以关于x的方程f（g（x））+a＝0不存在实数解．15．【解答】（1）证明：任取x1，x2∈[0，+∞），且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）＝（+）﹣（+）＝＝＝（1﹣），因为0≤x1＜x2，所以＜，所以﹣＜0，＞1，所以f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以f（x）在区间[0，+∞）上是增函数；（2）解：F（x）＝4f2（x）﹣4mf（x）+9＝4（）2﹣4m（）+9，设t＝，因为f（x）在[0，log2m]上单调递增，所以t∈[1，]，所以F（x）≥0，即4t2﹣4mt+9≥0，所以m≤t+，①m≥时，≥，即t+≥2＝3，当且仅当t＝时等号成立，此时m≤3，所以≤m≤3；②1＜m＜时，＜，此时y＝t+在[1，]上单调递减，即t＝时，ymin＝+，此时m≤+，化简得m4﹣9m2﹣1≤0，因为1＜m＜，1＜m2≤，此时m4﹣9m2﹣1≤0恒成立，综上，实数m的取值范围是（1，3]．（3）解：﹣af（x）﹣（1﹣a）＝﹣a•﹣1+a＝a﹣﹣a•＝a（1﹣）﹣，因为2x+≥2，当且仅当x＝0时等号成立，所以≥1，即1﹣≤0，由已知a≥0，所以a（1﹣）≤0，又因为2x＞0，所以＞0，所以a（1﹣）﹣＜0，即﹣af（x）﹣（1﹣a）＜0，所以＜af（x）+（1﹣a）．16．【解答】解：（1）因为f（x）＝f（1﹣x），则x2+bx+c＝（1﹣x）2+b（1﹣x）+c，得b＝﹣1，又其一个零点为﹣1，则f（﹣1）＝1+1+c＝0，得c＝﹣2，则函数的解析式为f（x）＝x2﹣x﹣2，则m（x2﹣x﹣2）≥2（x﹣m﹣1），即mx2﹣（m+2）x+2＝（mx﹣2）（x﹣1）≥0，当m＝0时，解得：x≤1，当m＞0时，①m＝2时，解集为R，②0＜m＜2时，解得：x≤1或，③m＞2时，解得：或x≥1，综上：当m＝0时，x∈（﹣∞，1]，当m＞0时，①m＝2时