江苏无锡市湖滨中学2024-2025学年高二（上）数学第15周阶段性训练模拟练习【含答案】

江苏无锡市湖滨中学2024-2025学年高二（上）数学第15周阶段性训练模拟练习一．选择题（共5小题）1．若数列{an}满足a1＝2，an+1an＝an﹣1，则a2024＝（）A． B．2 C．3 D．﹣12．已知数列{an}是等差数列，数列{bn}是等比数列，若，则＝（）A．2 B． C． D．3．已知点P（2，0），点Q在圆x2+y2＝1上运动，则线段PQ的中点M的轨迹方程是（）A．（x﹣1）2+y2＝1 B．x2+（y﹣1）2＝1 C．4（x﹣1）2+4y2＝1 D．4x2+4（y﹣1）2＝14．已知直线l：ax+by＝r2，圆C：x2+y2＝r2，其中r＞0．若点P（a，b）在圆C外，则直线l与圆C的位置关系是（）A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切5．数列{an}满足，则数列{log2an}的前8项和为（）A．63 B．127 C．255 D．256二．多选题（共4小题）（多选）6．设等差数列{an}的前项和为Sn，公差为d，已知a3＝12，S12＞0，a7＜0．则（）A．a6＞0 B．﹣4＜d＜﹣3 C．Sn＜0时，n的最小值为13 D．Sn最大时，n＝7（多选）7．抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，P为其上一动点，当P运动到（2，t）时，|PF|＝4，直线l与抛物线相交于A，B两点，点M（4，1），下列结论正确的是（）A．抛物线的方程为y2＝8x B．存在直线l，使得A、B两点关于x+y﹣6＝0对称 C．|PM|+|PF|的最小值为6 D．当直线l过焦点F时，以AF为直径的圆与y轴相切（多选）8．已知点M（0，4），点P在曲线x2＝12y上运动，点Q在圆x2+（y﹣3）2＝1上运动，则的值可能是（）A．1 B．3 C．4 D．5（多选）9．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，点E满足＝λ+μ，（0≤λ≤1，0≤μ≤1），则（）A．若λ＝μ，则B1C⊥AE B．若λ+μ＝1，则B1C∥平面A1DE C．若λ+μ＝1，则AE+D1E的最小值为 D．若λ2+μ2＝1，则AE与平面BB1C1C的所成角为定值三．填空题（共5小题）10．已知数列{an}满足a1＝4，nan+1＝2（n+1）an，则数列{an}的通项公式为，若数列的前n项和Sn，则满足不等式Sn≥30的n的最小值为．11．已知数列{an}的前n项和为，则数列{an}的通项公式为．12．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，分别过A，B作准线的垂线，垂足分别为D，E．若，四边形ADEB的面积为，则p＝．13．若数列{an}满足an+1＝1﹣，且a1＝2，则a2024＝．14．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：x2﹣＝1的左、右顶点分别为P、Q，点D在双曲线上且位于第一象限，若|DP|＝t|DQ|且∠DQP＝2∠DPQ，则t的值是．四．解答题（共9小题）15．已知圆C的圆心在直线3x﹣y＝0上，且经过点A（﹣1，3），B（1，5）．（1）求圆C的标准方程；（2）过点P（2，1）的直线l与圆C相交于M，N两点，且|MN|＝2，求直线l的方程．

16．已知公差不为0的等差数列{an}的首项a1＝2，且，，成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}满足b1+2b2+22b3+…+2n﹣1bn＝an，求数列{nbn}的前n项和Tn．17．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线与椭圆C交于A，B两点，若△F1AB的周长为8．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设P为椭圆C上的动点，过原点作直线与椭圆C分别交于点M、N（点P不在直线MN上），求△PMN面积的最大值．18．已知F1，F2分别为双曲线的左，右焦点，过双曲线C左顶点A的直线l与圆E：（x﹣1）2+（y﹣1）2＝5相切．（1）求直线l的方程；（2）若直线l与双曲线交于另一点P，求△PF1F2的面积．

19．已知正项数列{an}满足，且a1＝3．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若{an•log3an}的前n项和为Sn，求Sn．20．已知椭圆的离心率为，椭圆C的左，右焦点与短轴两个端点构成的四边形面积为．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l：x﹣my﹣1＝0（m≠0）与x轴交于点T，与椭圆C交于P，Q两点，过点P作x轴的垂线交椭圆C交于另一点R，求△TQR面积的最大值．21．在公比不为1的等比数列{an}中，a3＝，S3＝．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn＝log2，且{bn}为递增数列，若cn＝，求证：c1+c2+c3+…+cn＜．

22．数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，对任意的n∈N*有an＞0，an＝2﹣1．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列{bn}，b1＝﹣，∀n∈N*，2n+1（bn+1﹣bn）＝an+1，求数列{bn}的通项公式．23．已知椭圆，过点作椭圆的两条切线，且两切线垂直．（1）求a；（2）已知点Q（0，﹣1），若直线l与椭圆交于M，N，且以MN为直径的圆过点Q（M，N不与Q重合），求证：直线MN过定点，并求出定点．

参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．【解答】解：∵数列{an}满足a1＝2，an+1an＝an﹣1，∴，∴，a3＝1﹣2＝﹣1，a4＝1﹣（﹣1）＝2，，∴{an}是周期为3的周期数列，而2024＝3×674+2，故．故选：A．2．【解答】解：由题意可得，解得，所以．故选：C．3．【解答】解：由题意，P（2，0），在圆x2+y2＝1中，点Q在圆上，线段PQ的中点为M，设M（x，y），则Q（2x﹣2，2y），∴（2x﹣2）2+（2y）2＝1，即：4（x﹣1）2+4y2＝1．故选：C．4．【解答】解：因为点P（a，b）在圆C外，所以可得a2+b2＞r2，圆心C到直线l的距离，所以直线l与圆相交．故选：A．5．【解答】解：由，a1＝2，得log2a1＝1，log2an+1＝2log2an，因此数列{log2an}是首项为1，公比为2的等比数列，数列{log2an}的前8项和为．故选：C．二．多选题（共4小题）6．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，由S12＞0，则，又a7＜0，则a6＞0，故A正确；对于B，结合选项A知a6＞0，a7＜0，a6+a7＞0，又a3＝12，所以，解得，故B错误；对于C，结合选项A知，又S12＞0，所以Sn＜0时，n的最小值为13，故C正确；对于D，结合选项A和B知，当1≤n≤6时，an＞0，当n≥7时，an＜0，所以当Sn最大时，n＝6，故D错误．故选：AC．7．【解答】解：对于A选项：由y2＝2px，所以，即p＝4，所以y2＝8x，故A正确；对于B选项：设A（x1，y1），B（x2，y2），设AB的中点M（x0，y0），则，两式相减，（y1+y2）（y1﹣y2）＝8（x1﹣x2），即2y0•kAB＝8，因为A，B关于x+y﹣6＝0对称，所以kAB＝1，所以y0＝4，x0＝2，所以（2，4）在抛物线上，不成立，故B错误；对于C选项：过P作PE垂直与准线于E，则|PM|+|PF|＝|PM|+|PE|≥6，当P，E，M共线时，等号成立，故C正确；对于D选项：如图所示，因为G为AF的中点，过点G作GD⊥y轴，所以，所以以AF为直径的圆与y轴相切，故D正确；故选：ACD．8．【解答】解：抛物线x2＝12y的焦点F（0，3），准线l：y＝﹣3，圆x2+（y﹣3）2＝1的圆心为F，半径为1，过点P作PA⊥l于A，设点P（xP，t），t≥0，|PF|＝|PA|＝t+3，|PQ|≤|PF|+|FQ|＝|PA|+1＝t+4，当且仅当P，F，Q三点共线，点F位于P，Q之间时等号成立，，因此，当且仅当，即t＝0时取等号，所以的最小值为4，即A、B不可能，C、D可能．故选：CD．9．【解答】解：对A选项，若λ＝μ，则，∴E在BC1上，∴AE在右侧面内的射影为BC1，又B1C⊥BC1，∴根据三垂线定理可得B1C⊥AE，∴A选项正确；对B选项，若λ+μ＝1，又＝λ+μ，则E在B1C上，又易知A1D∥B1C，∴B1C⊂平面A1DE，∴B选项错误；对C选项，由B选项分析可知E在B1C上，如图，将△AB1C与△D1B1C展开在同一平面内，则易证△AB1C与△D1B1C均为边长为的等边三角形，∴当E为B1C的中点时，AE+D1E的最小值为AD1＝AC＝，∴C选项正确；对D选项，若λ2+μ2＝1，则E在平面BB1C1C内以B为圆心，半径r＝BC＝1的圆上，如图，∵AB⊥平面BB1C1C，∴AE与平面BB1C1C的所成角为∠AEB，而tan∠AEB＝＝1，∴∠AEB＝，故AE与平面BB1C1C的所成角为定值，∴D选项正确．故选：ACD．三．填空题（共5小题）10．【解答】解：由题意可知，，所以数列是以为首项，以2为公比的等比数列，所以，，所以，则，所以，由Sn≥30，即，2n﹣3≥n+2，解得n≥6，所以n的最小值为6，故答案为：n•2n+1；6．11．【解答】解：由可得，两式相减可得，当n＝1时，，故，故答案为：．12．【解答】解：由题意可知直线AB有斜率且不为0，设AB所在直线方程为，联立，得．不妨设A在第一象限，A（x1，y1），B（x2，y2），则，又，所以，即x1＝3x2+p，联立，解得或（舍），则，即，即所以，解得．故答案为：．13．【解答】解：由题意，∵且a1＝2，∴，∴数列中的各项以3为周期，∵a2024＝a3×674+2＝a2＝．故答案为：．14．【解答】解：如图所示，设∠DPQ＝θ，则∠DQP＝2θ，设D（x1，y1），则，即，由双曲线方程可得P（﹣1，0），Q（1，0），所以，又∠DQP＝2∠DPQ，kDP＝tanθ，kDQ＝tan（π﹣2θ），则tanθ•tan（π﹣2θ）＝4，解得，则，在三角形DPQ中，由正弦定理，可得．故答案为：．四．解答题（共9小题）15．【解答】解：（1）设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F＝0，则3（﹣）+＝0，1+9﹣D+3E+F＝0，1+25+D+5E+F＝0，联立解得D＝﹣2，E＝﹣6，F＝6，∴圆C的方程为x2+y2﹣2x﹣6y+6＝0，即（x﹣1）2+（y﹣3）2＝4．（2）直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为x﹣2＝0，则2＝2，满足|MN|＝2．直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y﹣1＝k（x﹣2），即kx﹣y+1﹣2k＝0，圆心C（1，3）到直线l的距离d＝＝，由题意可得4﹣＝，解得k＝﹣，直线l的方程为y﹣1＝﹣（x﹣2），即3x+4y﹣10＝0．综上可得直线l的方程为：x﹣2＝0，3x+4y﹣10＝0．16．【解答】解：（1）设等差数列{an}的公差为d，由＝•，得（a1+d）2＝a1（a1+3d）．因为d≠0，所以d＝a1＝2，所以an＝2n．（4分）（2）b1+2b2+4b3+…+2n﹣1bn＝an①b1+2b2+4b3+…+2n﹣1bn+2nbn+1＝an+1②②﹣①得：2n•bn+1＝2．∴bn+1＝21﹣n．当n＝1时，b1＝a1＝2，∴bn＝22﹣n．（8分）Tn＝+++…+，Tn＝+++…+，上两式相减得Tn＝2++++…+﹣＝2+2•（1﹣）﹣，∴Tn＝8﹣．（12分）17．【解答】解：（1）由椭圆的定义可知三角形F1AB的周长为4a＝8，所以a＝2，又离心率e＝，所以c＝1，则b2＝a2﹣c2＝3，所以椭圆的方程为；（2）①当直线MN不与x轴垂直时，设直线的方程为y＝kx，M（x，y），N（﹣x，﹣y），代入椭圆方程可得：x，则|MN|＝＝4，设与MN平行且与椭圆相切的直线方程为y＝kx+m，代入椭圆方程可得：（3+4k2）x2+8mkx+4m2﹣12＝0，则Δ＝64m2k2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＝0，解得m2＝3+4k2，则点P到MN的最大距离为两平行线间的距离，d＝，所以三角形PMN的面积的最大值为S＝，②若直线MN与x轴垂直时，则P在长轴顶点时三角形PMN的面积取得最大值，且此时的面积为S＝，综上，三角形PMN的面积的最大值为2．18．【解答】解：（1）由知左顶点A（﹣2，0），当直线l斜率不存在时，l：x＝﹣2与圆E不相切，不符合题意；当直线l斜率存在时，设l：y＝k（x+2），即kx﹣y+2k＝0，由与圆E相切得，解得k＝2或，所以直线l的方程为2x﹣y+4＝0或x+2y+2＝0．（2）由知a＝2，b＝1，所以渐近线斜率为，若直线l的斜率为，则与双曲线只有点A一个交点，不符合题意，舍去；若直线l的方程为2x﹣y+4＝0，与双曲线有两个交点，联立，消去x并整理得15y2+8y＝0，解得y＝0或，因为yA＝0，所以，又因为，所以．19．【解答】解：（1）由，整理得（an+1+an）（an+1﹣3an）＝0，因为an＞0，所以an+1﹣3an＝0，即an+1＝3an，因为a1＝3，所以数列{an}是以3为公比，3为首项的等比数列，所以；（2）由（1）得，所以，所以，所以＝＝，所以．20．【解答】解：（1）设椭圆C的焦距为2c，则，即，则a＝2b，，由C的左，右焦点与短轴的两个端点构成的四边形的面积为，得，即，解得a2＝4，b2＝1，所以椭圆C的方程为．（2）显然T（1，0），设P（x1，y1），Q（x2，y2），则R（x1，﹣y1），由，消去x得（m2+4）y2+2my﹣3＝0，Δ＝4m2+12（m2+4）＞0，则，又，而x2﹣x1与1﹣x1同号，因此S△TQR＝S△PQR﹣S△PTR＝|y1|•（|x2﹣x1|﹣|1﹣x1|）＝|y1|•|（x2﹣x1）﹣（1﹣x1）|＝，当且仅当，即m＝±2时等号成立，所以△TQ