2024年北京市朝阳区中考数学一模试卷附答案解析

2024年北京市朝阳区陈经纶中学中考数学一模试卷

一、选择题（共8小题，共16分）

I.（3分）如图是某个几何体的侧面展开图，则该几何体为（）

2.（3分）实数小b,c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）

II?.....................................LfII।一

-5-4-3-2-10I2345

A.a+c>0B.间V|“C.bc>\D.ac>0

3.（3分）如图，菱形48co的顶点B,C的坐标分别（0.2）,（2,I）,（4.2）,则顶点。的坐标是

4.（3分）若一个多边形每一个内角都为144・，则这个多边形是（）边形.

A.6B.8C.10D.12

5.（3分）掷一枚质地均匀的硬币m次，正面向上〃次，则二的值（）

m

A.一定是:

2

B.一定不是:

C.随着，〃的增大，越来越接近5

D.随着小的增大，在［附近摆动，呈现一定的稳定性

6.（3分）以下图形绕点。旋转一定角度后都能与原图形重合，其中旋转角最小的是（)

8.（3分）如图，在△A8C中，ZC=90°,AC=5,BC=\O.动点M,N分别从A,C两点同时出发，点

M从点4开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度移动，点N从点C开始沿CB向点B以每秒

2个单位长度的速度移动.i殳运动时间为点M,C之间的距离为），，△MC州的面积为S,则），与r,

S与1满足的函数关系分别是（）

A.正比例函数关系，一次函数关系

B.正比例函数关系，二次函数关系

C.一次困数关系，正比例函数关系

D.•次函数关系，二次函数关系

二、填空题（本大题共8小题）

9.（2分）函数），=K^=的自变量的取值范围是_____________________.

Vl-2x

10.（2分）如果多项式a^+by2只能因式分解1为<3x+2y）<3x-2y）,则ab=.

11.（2分）写出一个比次大且比0再小的整数是.

12.（2分）如果3./-.”1=0,那么代数式（2x+3）（2x-3）r（x+1）的值为.

13.（2分）如图，在Ri△人BC中，/AC8=90°,BC=2.4C=2V3,P是以斜边.4B为直径的半圆上一

动点，M为PC的中点，连接8M,则8M的最小值为.

14.（2分）如图，有两张矩形纸片A8CD和EFGH.AB=EF=2cm,BC=FG=Scm,使重登部分为平行

四边形，且点。与点G重合.当两张纸片交叉所成的角a最小时重在部分的面积等

于.

15.（2分）在平面直角坐标系xOy中，已知点（/?-2,ri）,（/?-I.yz）»（〃+1,yj）在抛物线y=tur-

2aX-2（«<0）上.若OU"V1.则），I.”，”的大小关系为.（用“V”表示）

16.（2分）如图，双骄制衣厂在厂房。的周围租了三幢楼人、庆C作为职工宿舍，每横宿舍楼之间均有

笔直的公路相连，且BC>AC>AB.已知厂房O到每条公路的距离相等.

（1）则点。为△回，三条的交点（填写：角平分线或中线或面线:：

（2）如图设BC=a,AC=b,AB=c,OB=y,OC=z,现要用汽车每天接送职工上下班后，返回厂房

停放，那么最短路线长是.

三、解答惠（第17-22题各5分，第23-26题各6分，第27、28题各7分.共68分）

17.（5分）计算：0）一1一兀一20200+|代一2|-3tan300.

2（x—1）<x+2

18.（5分）解不等式组：x+1

I—<x

19.（5分）关于x的一元二次方程A2-，心+2刚-4=0.

（1）求证：方程总有两个实数根：

（2）若方程有一个根小于1,求加的取值范围.

20.（5分）卜面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明.

三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.

已知：如图，△ABC,求证：NA+N8+NC=I8O°.

方法一方法二

证明:如图，过点A作。上〃3C.证明:如图,过点。作CDZM/L

A

，D

21.（5分）如图，四边形44CO是平行四边形，AC.8。相交:点。，后为A8的中点，连接。£,过点E

作EF_L8c于点F,过点。作OGJ_8c于点G.

（I）求证：四边形EFGO是矩形：

（2）若四边形八BC。是菱形，AB=\O.BO=16,求0G的长.

22.（5分）在平面直角坐标系x0v中，一次函数，=h+方（AW。）的图象由函数y=-.r的图象平移得到,

且经过点（0,1）.

（1）求这个一次函数的表达式；

（2）当xV-1时，对于x的每一个值，函数），=〃。（"#0）的值小于一次函数），=心+8**0）的值，

直接写出川的取值范围.

23.（6分）为进一步熠强中小学生“知危险会避险"的意识，某校初三年级开展了系列交通安全知识竞赛，

从中随机抽取30名学生两次知识竞赛的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行收集、整理、描述和分

析.下面给出了部分信息.

«.这30名学生第一次竞赛成绩和第二次竞赛成绩得分情况统计图:

A第二次成绩/分

100-

■

95-,...：

•■••

•••

90-.・・・

••

85-.・・

80-

说一京―京一磁一—金一次成绩/分

b.这30名学生两次知识竞赛获奖情况相关统计表，

参与奖优秀奖卓越奖

第一次竞赛人数101010

平均分828?95

第二次竞赛人数21216

平均分848?93

（规定：分数290,获卓越奖：85V分数<90,获优秀奖：分数V85,获参与奖）

t.第二次竞赛获卓越奖的学生成绩如下：

90909191919192939394949495959698

d.两次竞赛成绩样本数据的平均数、中位数、众数如卜表：

平均数中位数众数

第一次竞赛m87.5

第二次竞赛90n91

根据以上信息，回答卜.列问题：

（1）小松同学第•次竞赛成绩是89分,第一次竟赛成绩是91分.在困中用“O”圈山代表小松同学

的点；

（2）直接写出加，〃的值：

<3）哪一次竞赛中初三年级全体学生的成绩水平较高？请说明你的理由（至少两个方面）.

24.（6分）某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，

若记水柱上某一位置与水管的水平距离为d米，与湖面的垂直高度为h米.

d01234

（米）

h0.51.251.51.250.5

（米）

根据上述信息，解决以下问题：

（1）在如卜网格中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示h与d函数关系的图象：

（2）若水柱最高点距离湖面的高度为加米，则“=：

（3）现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从水柱

下方通过，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距

离均不小于0.5米，已知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为1.5米，那么公园应将水管露出湖

面的高度（喷水头忽略不计）（结果保留一位小数）.

25.（8分）如图，在矩形48co中，八B=6"C=8,点4在直线/上,A。与直线/相交所得的锐角为60。.点

户在直线/上，"=8,£T_L直线/,垂足为点尸且七尸=6,在"的左侧作半圆O,点时是半圆。上

任一点.

发现：AM的最小值为.4M的最大值为,08与直线/的位置关系

是.

思考：矩形A8CO保持不动，半圆。沿直线/向左平移，当点？落在A。边上时，重叠部分面积为多少？

26.（10分）如图，AB是的一条弦，E是A8的中点，过点8作。。的切线交CE的延长线于点D

（I）求证：DB=DEx

（2）若AB=12,BD=5.求0O的半径.

o

27.(10分)在△ABC•和△AOK中，BA=BC,DA=DE,点£在aAHC•的内部，连接EC,m和£O,设

EC=k*BD（丘0）.

(1)当NA3C=NADE=60°时,如图I,请求出)值,

(2)当/乂8。=/八。七=90°时:

①如图2,(1)中的女值是否发生变化，如无变化：如有变化，芾求出入值并说明理由：

②如图3,当。，E,C三点共线，HE为OC.中点时，请求出lan/必C的值.

28.(10分)如图，在平面直角坐标系,Qy中，点S(-I,0),7(1,0)(0°VaW1800),将一个图形

先绕点S顺时钊旋转a,再绕点T逆时到旋转«.

(1)点R在线段S7上，则在点八(1,-1)，8(3,-2),C(2,-2),D(0.-2)中，有可能是

由点/?经过一次“90°对称旋转”后得到的点是:

(2)x轴上的一点户经过一次“a对•称旋纬”得到点Q.

①当a=60'时,PQ=：

②当a=30°时，若Q7_Lx轴，求点P的坐标：

(3)以点。为圆心作半径为1的圆.若在0。上存在点M,使得点M经过一次“a对称旋转”后得到

的点在x轴上，直接写出a的取值范围.

备用图

2024年北京市朝阳区陈经纶中学中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（共8小题，共16分）

I.（3分）如图是某个几何体的侧面展开图，则该几何体为（）

【解答】解：由图可知展开侧面为三角形，则该几何体为极锥

故选：C.

2.（3分）实数a,b,。在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）

II?..................................LfII।一

-5-4-3-2-1012345

A.«+c>0B.同<网C.bc>\D.ac>0

【解答】解：由数轴可以发现a<0<6<c,而间>同>|〃|,

•'•a+cVO,|«|>|Z?|.acVO

又由数轴可发现1V6<2,2<e<3

.'.bc>I正确.

故送：C.

3.（3分）如图，菱形八8co的顶点A,B,C的坐标分别（0,2）,（2,I）,（4,2〕，则顶点。的坐标是

【解答】解：如图，连接AC、B。交于点E,

•.•四边形ABCD是菱形，

：.AC±BD,AE=CE.BE=DE,

•.•菱形八8C。的顶点4,B.C的坐标分别(0,2),(2,I),(4,2),

.\AC±y^,4C〃x轴，OA=2,

."D〃)，轴，BE=DE=2-1=1,

，顶点。的坐标是(2,2+1).

即⑵3),

故选:D.

4.（3分）若一个多边形每一个内角都为144',则这个多边形是（〉边形.

A.6B.8C.10D.12

【解答】解：•••一个多边形每一个内角都为144°,

・•・外角为180°-144*=36°,

.•.多边形的边数为360°+36°=10,

故选:C.

5.13分）掷一枚质地均匀的硬币加次，正面向上”次，则巴的值（）

m

A.一定是:

2

B.一定不是:

2

c.随着〃?的增大，越来越接近;

D.随着〃J的增大，在［附近摆动，呈现一定的稳定性

【解答】解：投掷一枚腹地均匀的硬币加次，正面向上“次，随若加的增加，1■的值会在:附近摆动,

呈现出一定的稳定性，

故选:D.

6.（3分）以下图形绕点O旋转一定角度后都能与原图形重合，其中旋转角最小的是（）

A.AB.

【第答】解：A、最小旋转角度=挈=120°:

8、最小旋转角度=苧=90°：

C、最小旋转角度=誓=72°；

。、最小旋转角度=嗒=60°：

故送：D.

7.13分）下列图形中，对称轴条数最少的是（）

【能答】解：A、有3数条对称轴，

3、有2条对称轴，

C、有无数条对称轴，

D、有1条对称轴，

所以对称轴条数最少的是选项。.

故选：D.

8.（3分）如图，在△ABC中，ZC=90°,AC=5,BC=10.动点M,N分别从小C两点同时出发，点

M从点4开始沿边AC向点C以每秒1个小位长度的速度移动，点N从点C开始沿CB向点B以每秒

2个单位长度的速度移动.设运动时间为r，点M，C之间的距离为y,△MCN的面积为S,则〉，与r,

S与，满足的函数关系分别是（）

A.正比例函数关系，一次函数关系

B.正比例函数关系，二次函数关系

C.一次函数关系，正比例函数关系

D.一次函数关系,二次函数关系

【颦答】解：由题戏得，AM=t,CN=2t,

：.MC=AC-AM=5-1,

即y=5-t,

1，

，S=和C・CN=5r-

因此)，是/的一次函数，S是，的二次函数，

故选:D.

二、填空题(本大题共8小题)

9.(2分)函数)=下^的自变量的取值范围是

【解答】解：由题意得：I-2x>0,

解得：xV：

故答案为：xV；.

10.(2分)如果多项式—+力2只能因式分新为(3x+2y)(3x-2.v),则ab=-36.

【能答】解：根据题意可得，

ar2*〃/=(3x+2y)(3x-2y),

0?十川一9『-4y，，

.,.“=9,b=-4,

.•.而=9X(-4)=-36.

故答案为：-36.

11.(2分)写出一个比百大且比两小的整数是2或3.

【逑答】解：..•6v"<VT^,

,.•a〈g<VTU,

.♦.2<3<师

比6大且比g小的整数是2或3.

12.(2分)如果3/7-1=0,那么代数式(2v+3)(Zv-3)-x(.v+1)的值为-8.

【解答】解：-1=0,

3c-x=l,

：.«2r+3)(2x-3)-x(AS-I)

=4/-9-A-2-x

=3r-x-9

=1-9

=-8.

故答案为：-8.

13.（2分）如图，在中，/ACB=90",BC=2,AC=2^3,P是以斜边八8为直径的半网上一

动点，历为PC的中点，连接8M,则8M的最小值为—百一1_.

【解答】解：取AB的中点O、AC的中点E、8c的中点尸，连接OC、OP、OM.OE.OF、EF,如图,

在R1ZXA8C中，/4C8=90°,BC=2,AC=2>/3,

：.AB=>/AC2+BC2=4,

：.0C=^AB=2,0P=^AB=2,

为PC的中点,

：.OMA.PC.

.../CMO=90°,

点M在以OC为直径的圆上，

当点尸点在A点时，点在E点：点P点在8点时，M点在尸点，

取。C的中点O',连接8。交0。于M’,

则'的长度即为BM的最小值，

延长BO'交。O'TG,连接/'M',

*：£FBM'=/GBC,ZFM'B=/GCB,

SMGC,

.BFBMf

••9

BGBC

解得：BM'=V5-1（负值舍去）,

故8A，/的最小值为：V3-1,

故答案为：V3-1.

P

14.(2分)如图，有两张矩形纸片A8CD和芯柘从Ali=E/-=2cm,BC=FG=^cm,使重叠部分为平行

四边形，且点。与点G重合.当两张纸片交叉所成的角a最小时重叠部分的面积等于—土.

A

【解答】解：设AD交EH于K,如图所示：

,/四边形AHCD和四边形EI-GH是矩形，

/.ZADC=ZHDF=9Q°,CD=AB=EF=DH=2cm,N〃=/C=90°,

，ZCDN=ZHDK,

：.LCDN^/\HDK(ASA),

：.ND=KD.

•••四边形DNMK是平行四边形，

...平行四边形ONMK是菱形，

:.MN=DN,

•••将两纸片按如图所示叠放，使点。与点G重合，且重段部分为平行四边形,

...当点8与点七重合时，两张纸片交叉所成的角a展小，

：.FM=DN=4,

设DN=MN=acm,则CN=(8-<J)cm,

•.•。储=。。2+。人巴

：.(r=22+(8-a)2.

解得：。=芋(.cm),

.'.DN=cm,

J.重在部分的面枳一?x2

17

故答案为：

A

15.(2分)在平面直角坐标系X。、，中，已知点(n-2,yi),(n-I,y2),5+1,”)在抛物线y=a?-

lax-2(«<0)上，若OV”V1,则yi,y:»)3的大小关系为viV\'2Vv3.(用“V”表示)

【辞答】解：•.•抛物线产苏-2奴-2(«<0),

•••抛物线开口向下，对称轴为直线户-愣=1,

VO<n<l,

/.-2<n-2<-I,-\<n-I<0,l<n-H<2.

.•.点(〃-2,yi)到对称轴的距离最大，(,什1,到对称轴距离最短，

.*.yi<y2<>,3.

故答案为：

16.(2分)如图，双骄制衣厂在厂房。的周围租了三幢楼八、B、C作为职工宿舍，每悔宿舍楼之间均彳j

笔直的公路相连，旦BOAOA&已知厂房。到每条公路的距离相等.

<1)则点。为三条向平分线的交点(填写：角平分线或中线或高线)：

(2)如图设BC=a,AC=h.AB=c,OB=y,OC=z,现要用汽车每天接送职工上下班后，返回厂房

停放，那么最短路线长是v+c+b+z.

【解答】解：(1)•・•点。到每条公路的点禹相等,

.•.点O是△人BC的角平分线的交点.

故答案为：角平分线：

(2)设QA=x,

共布♦6条线路：di=x+c+a+z,d2=x+b^a+y,d3=y+c+/>+z,di=y+a+/>+x,ds=z+b+c+y,(l6=z+a+c+x,

在C8上截取CE=CA，连接OE,

在AACO和△ECO中，

(CA=CE

\z.ACO=Z.ECO,

(C0=CO

：.^ACO^^ECO(SAS),

：.OA=OE,

在4EB。中，

y~x<a-b,

：.di-d\<0,

同理d\-42Vo.d\-d4V0,di-d5Vo.d\-d6V0,

••dy最短，

故答案为：

三、解答惠(第17-22题各5分，第23-26题各6分，第27、28题各7分.共68分)

17.(5分)计算：(3-1—；1-2020°+|6-2|-3亡即30°.

【解答】解：©T一n一2020°+|V3-2|-3tan30°

=3-"1+2-6-3x印

=4-”215.

2(x-l)<r+2

18.（5分）解不等式组:x+1.

—<X

2(x-l)<x+2@

【解答】解:

由①得：xV4,

由②得：*>1,

则不等式组的解集为lVx<4.

19.（5分）关于x的••元二次方程『-〃四+2阳-4=0.

(I)求证：方程总有两个实数根：

(2)若方程有一个极小于I,求，〃的取值范围.

【第答】(1)证明：Vfl=1.h=-in,c=2m-4,

A=b2-

—t-〃】)2-4(2/w-4)

=〃2-8〃1+l6

=•/«-4)22o,

.••此方程总有两个实数根.

(2)解：VA=(w-4)2妾0,

._-b±^b2-4ac_7n+|m-4|

♦•*=2R=-2-

'.x\=m-2,xi=2.

•.•此方程有一个根小于I.

A/n-2<l.

/./n<3.

20.(5分)下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明.

三角形内先和定理：三角形三个内角的和等于180”.

己知：如图，△ABC,求证：/A+/8+/C=180°.

方法一方法二

证明：如图，过点4作。七〃3c证明：如图，过点。作8〃48.

B

A

：./B=NBAD,NC=NCA£,

Vzfi4£>+Zfi4C+ZC4E=180°,

.，/R+/R4dNC=180>«

方法二：-：CD//AB,

：.ZA=ZACD.NB+N8CZ)=180°,

.•.N8+N4CB+NA=18(T.

21.(5分)如图，四边形A3CD是平行四边形，AC.3。相交于点。，E为A8的中点，连接OE,过点E

作£EL〃C于点F,过点O作OGLBC于点G.

(1)求证：四边形以七。是矩形：

(2)若四边形八8c。是菱形，A8=10,BD=T6,求。G的长.

【解答】(I)证明：•••四边形A8CD是平行四边形,

：.OA=OC,

为A8的中点,

：.OE是△4HC的中位线.

：.OE//BC,

,：EF1BC,OGJ.BC,

：.EF//OG,/EFG=90°,

，四边形EFGO是平行四边形，

又YNERAg。。，

•••平行四边形EFGO是矩形：

（2）解：•・•四边形ABCD是菱形,BD=16.

.,.BC=A8=10,OA^OC,OB=OD=1«D=8,AC1BD.

/.ZBOC=90",

：.0C=VSC2-OB2=V102-82=6,

由11）可知，四边形£7七。是矩形，

.♦.NOG产=90°,

：.OG1BC,

：.S,.OBC=暴C・OG=^OB*OC,

即OG的长为4.8.

22.（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数（人声0）的图象由函数y=-x的图象平移得到,

且经过点（0，I）.

（I）求这个一次函数的表达式；

（2）当xV-1时，对于x的每一个值,函数），=""（〃岸0）的值小于一次函数y=­bUW0）的值，

直接写出〃，的取值范围.

【解答】解：（1）•.••次函数），=心+“a*0）的图象由函数y=-x的图象平移得到，

：.k=-I.

•.•一次函数y=-x+/＞的图象过点（0，1）,

：,h=\

工这个一次函数的表达式为y=-x+l.

（2）•.•当xV-l时，对于x的每一个值，函数y=〃a（mW0）的值小于一次函数y=-x+1的值，

-1.

23.（6分）为进一步增强中小学生“知危险会避险”的意识，某校初三年级开展了系列交通安全知识竞赛,

从中随机抽取30名学生两次知识竞赛的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行收集、整理、描述和分

析.下面给出了部分信息.

«.这30名学生第一次竞赛成绩和第二次竟赛成绩得分情况统计图:

A第二次成绩/分

100-

95-,...：

•••

•••

90-・・・.

••

85-.••

80-

说一京—京一东一—立一次成绩/分

b.这30名学生两次知识竞赛获奖情况相关统计表：

参与奖优秀奖卓越奖

第一次竞赛人数101010

平均分828?95

第二次竞赛人数21216

平均分848793

（规定：分数290,获卓越奖：85＜分数＜90,获优秀奖：分数V85,获参与奖）

c第二次竞赛获卓越奖的学生成绩如卜.：

90909191919192939394949495959698

d.两次竞赛成绩样本数据的平均数、中位数、众数如下表：

平均数中位数众数

第一次竞赛m87.588

第二次竞赛90n91

根掳以上信息，回答下列问题：

（I）小松同学第一次竞赛成绩是89分，第二次竞赛成绩是91分，在图中用“O”圈出代表小松同学

的点:

（2）直接写出“，〃的值:

（3）哪一次竞赛中初三年级全体学生的成绩水平较高？请说明你的理由（至少两个方面）.

【解答】解：（1）如图所示.

“第二次成绩分

100

95..

*

••<

90.

••

••

••

85.・・

80

8085—9095一100十成绩分

82x10+87x10+95x10

(2)in=30=88,

•.•第二次竞赛获卓越奖的学生有16人,成绩从小到大排列为：909091919191929393

94949495959698,

第一和第二个数是30名学生成绩中第15和第16个数，

（90+90）=90,

•*.,/i=88»〃=90；

（3）可以推断出第二次竞赛中初三年级全体学生的成绩水平较高，理由是：第二次竞赛学生成绩的平

均数、中位数、众数都高于第一次竞赛.

24.（6分）某公园在人工湖里安装一个喷泉，在湖心处竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，

若记水柱上某一位置与水管的水平距离为d米，与湖面的垂直高度为h米.

d01234

（米）

h0.51.251.51.250.5

（米）

根茹上述信息，解决以下问题：

（I）在如下网格中建立适当的平面直角坐标系，并根据表中所给数据画出表示人与〃函数关系的图象：

（2）若水柱最高点距离湖面的高度为，”米，则〃尸L5:

（3）现公园想通过喷泉设立新的游玩项目，准备通过只调节水管露出湖面的高度，使得游船能从水柱

下方通过，为避免游船被喷泉淋到，要求游船从水柱下方中间通过时，顶棚上任意一点到水柱的竖直距

离均不小于0.5米，己知游船顶棚宽度为3米，顶棚到湖面的高度为1.5米，那么公园应将水管露出湖

面的高度（喷水头忽略不计）（结果保留一位小数）.

图1图2

【解答】解：(I)以喷泉与湖面的交点为京点，喷泉所在的直线为纵轴建立平面直角坐标系，如图1

(2)根据题意可知，该抛物线的对称釉为x-2,此时展而，

即«=1.5»

故答案为：1.5：

(3)根据图象可设二次函数的解析式为：h=a(d・2)2+1.5,

1

-

将*0,0.5)代入〃=a(J-2)2+1.5,得0=4

...抛物线的解析式为：仁-#+"0.5,

设调节后的水管喷出的地物线的解析式为：力=-3/2+d+O.5+〃，

由题意可知，当横坐标为2+9=4寸，纵坐标的值大「1.5+05=2,

177

-X✓I--

4X22

解得，26，

.•.水管高度至少向上调节二米,

16

.,.0.5+1^=y1(米)，

公园应符水管露出湖面的高度（喷水义忽略不计》至少调节到77米才能符合要求.

25.（8分）如图，在矩形A8CO中，AB=6,8c=8,点A在直线/上,AO与直线/相交所得的锐角为60".点

尸在直线/上，"=8,£T_L直线/,垂足为点尸且EF=6,在EF的左侧作半圆。，点M是半恻OH

任一点.

发现：八M的最小值为_旧一3_,人M的最大值为10.OB与直线/的位置关系是平行.

思考：矩形八8c。保持不动，半圆O沿直线/向左平移，当点£落在A。边上时，重段部分面积为多少？

AFI

【解答】解：发现：如图1.连接40、AE.BO,作5尸_LA产于H

由题意知，EF=6,A尸=8,ZD4F=60n.

：.OM=OF=3,

当人、M、。三点共线时，AM最小，

由勾股定理得，A0=yfAF2+OF2=V82+32=V73.

.•.AM的最小值为g-3：

当M、E重合时，八M最大，

由勾股定理得，AE=\!AF2+EF2=V82+62=10.

...AM的最大值为10：

•.,四边形48。力是矩形，AB=6.

：.ZBAD=90°,

：.ZBAP=30",

:.BP=；A3=3=OR

义,：BP〃OF,

.••四边形8PF。是平行四边形，

：.OB//PF,即08〃/：

故答案为：V73-3：10：平行：

思考：如图2,连接OG,作OH_LA力于H,

VZDAF=60°,EF1AF,

ZAEF=30a.

3

O"；OE-2

'：OE=OG.

，/EOG=120",GE=2EH=2\fOE2-OH2=>-(j)2=3V3

13厂

120rr-32

竽

--=一

ASM*=5MIUEOG-S&ECA~360-22

图1

26.(10分)如图，八8是。。的一条弦，月是八B的中点，过点B作。。的切线交CE的延长线于点/5.

(I)求证：DB=DE：

(2)若A8=12,BD=5,求0。的半径.

【解答】(1)证明：•••8。是。O的切线，

：.ZOBD=90°,即/084+/£8。=90：,

'：OA=OB,

：.ZOAB=ZOBA.

'：ZOAB+ZCEA=\SOa-NACE=90°,/CEA=/BED,

；./EBD=NBED,

:.DB=DE；

(2)解：如图，连接O£作OF_LA8于凡

♦E是A8的中点,AB=12,DB=DE,

：.OELAB,AE=EB=6,EF=^BE=3.

由勾股定理得，DF=<DE2-EF2=4.

'：ZAOE+ZOAE=90a,ZCEA+ZOAE=90°./CEA=/BED,

:.NAOE=NBED,

APDF64

AsmzJlOE=9=sin乙DEF=历，UP—=g,

解得，。4=芋，

，OO的半径为

27.（10分）在△ABC和△AOE中，BA=BC,£%=£）£点E在△ABC的内部，连接EC,E8和E。，设

EC=k,BD(�).图1图2图3

(1)当/ABC=/4DE=6(r时，如图1,请求出比值,

(2)当/八8C=/AOE=90°时：

①如图2,(1)中的人•值是否发生变化，如无变化：如有变化，请求出★值并说明理由:

②如图3,当。.E,C三点共线，且E为。C中点时，请求出tan/EAC的值.

【解答】解：(I)k=\,

理由如下：如图I,ZABC=ZADE=6Qa,BA=BC,DA=DE,

.•.△48C和△AOE都是等边三角形，

：.AD=AE,AB=AC,ZDAE=ZBAC=6r,

：.ZDAB=ZEAC.

在△OAB和△EC中，

(AD=AE

{/.DAB=NEAC，

(AB=AC

.♦.△OA度△EAC(SAS),

：.EC=DB,即A=l；

<2)①人值发生变化，/c=V2,

VZARC=^ADE=90",BA=BC,DA=DE,

丛ABC和△AOK都是等腰直角三角形,

AE[―AC/—

:­=72,—=72,ZDAE=ZBAC=450,

ADAB

AEAC

，一=—.ZDAB=ZEAC,

ADAB

.'.^EAC^^DAli,

ECAEr-「

—=­=v2.t即inEC=V2FD.

BDAD

:.k=&：

图3

设AD=DE=a,则/IE=五a.

■:点E为DC中点,

：.CD=2a,

由勾股定理得，AC=V/1D2+CD2=75a.

VZCFE=ZC