5.1导数的概念及其意义（基础知识+基本题型）（含解析）-【一堂好课】2022-2023学年高二数学同步名师重点课堂（人教A版2019选择性必修第二册）

倒卖拉黑，关注更新免费领取，淘宝唯一每月更新店铺:知二教育倒卖拉黑，关注更新免费领取，淘宝唯一每月更新店铺:知二教育5.1导数的概念及其意义（基础知识+基本题型）知识点一平均变化率与平均速度1．定义：一般地，对于函数，，是其定义域内不同的两点，那么函数的变化率可用式子表示，我们把这个式子称为函数从到的平均变化率．2．平均变化率的另一种表示习惯上用表示，即，可把看作是相对于的一个“增量”，可用代替：类似地，．于是平均变化率可以表示为．拓展函数的平均变化率中的各元素及其关系（1）对和的解释：是附近的任意一点，是变量在处的改变量，故的值可以为正，也可以为负，但不能取0．的值可以取0，如当函数为常数函数时，．（2）与的对应关系：注意与是相对应的“增量”，在公式中，若，则；若，则．（3）和对的影响：在公式中，当取定值，取不同的数值时，函数的平均变化率是不完全相同的；当取定值，取不同的数值时，函数的平均变化率也是不完全相同的．（4）的几何意义函数的平均变化率表示函数图象上，两点连线的斜率．知识点二瞬时速度1．定义：做变速运动的物体在不同时刻的速度是不完全相同的，我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．2．数学语言：设物体运动的位移与时间的关系是，当趋近于0时，函数从到的平均变化率趋近于一个常数，我们就把这个常数称为物体在时刻的瞬时速度，瞬时速度一般用表示．提示对瞬时速度的理解，需注意一下几点：（1）趋近于0是指时间间隔越来越小，但始终不为0；（2）当趋近于0时，的值也趋近于0，但它们的比值趋近于一个确定的常数；（3）瞬时速度就是平均速度在趋近于0时的一个确定的值．知识点三函数在某一点处的导数一般地，函数在处的瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或，即．警示（1）是自变量在处的该变量，可正、可负，但不能为0．当（或）时，表示从的右（或做）边趋近于．是相应的函数值的该变量，可正、可负，也可为0．（2）函数在处的导数是一个常数，不是一个变量．知识点四导数的几何意义如图，函数的图象是一段曲线，当点沿着曲线趋近于点时，割线的斜率无限趋近于切线的斜率．因此，函数在处的导数的几何意义是曲线在点处的切线的斜率，即．提示（1）函数在点处的导数的几何意义是曲线在这一点处的切线的斜率．不存在，并不能说明在这一点出不存在切线，而是说明在这一点出的切线斜率不存在，如存在某点，使过该点的切线垂直于轴，因此函数在某点可导是相应由线上过该点存在切线的充分不必要条件．（2）由导数的几何意义，知（为切线的倾斜角），若，则切线的倾斜角为锐角；若，则切线的倾斜角为钝角；若，则切线与轴平行或重合．知识点五利用导数的几何意义求曲线的切线方程利用导数的几何意义求曲线在点处的切线方程的步骤：（1）求出函数在处的导数，即切线的斜率；（2）利用点斜式，得出切线方程．警示“过某点”与“在某点处”的切线是不同的．“过某点”的切线表明此点不一定是切点，即使此点是切点，也不一定是唯一的切点；“在某点处”的切线表明此点一定是切点．知识点六导函数已知函数，当时，是一个确定的数．这样，当变化时，便是的一个函数，我们称它为的导函数（简称导数）．的导函数有时记作，即．辨析“函数在某点处的导数”、“导函数”、“导数”三者之间的区别和联系：（1）“函数在某点处的导数”，就是在该点的函数值的改变量与自变量的改变量的比的极限，它是一个数值，不是变量．（2）“导函数”简称“导数”，当变化时，便是的一个函数，我们称它为导函数，是一个变量．（3）函数在处的导数就是导函数在处的函数值，即，所以求函数在某点处的导数，一般是先求出函数的导函数，再计算这点的导函数值．考点一求函数的平均变化率例1．已知函数．（1）计算从到的平均变化率，其中的值分别为①2，②1，③0．1，④0．01；（2）当的值越来越小时，函数在区间上的平均变化率有怎样的变化趋势？解：（1）从到的平均变化率为．⒈①当时，函数在上的平均变化率为4+2=6．②当时，函数在上的平均变化率为4+1=5．③当时，函数在上的平均变化率为4+0．1=4．1．④当时，函数在上的平均变化率为4+0．01=4．01．(2)由（1）中的结果可以看出，当的值越来越小时，函数在区间上的平均变化率越来越趋近于常数4．⒉例2．已知函数，求函数在附近的平均变化率．解：因为，所以即所以考点二瞬时速度的求法及应用例3．“菊花”烟花是最壮观的烟花之一，制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂．如果烟花距地面的高度（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，那么烟花冲出后多长时间达到最高点？解：设烟花达到最高点时的时刻为，根据瞬时速度的定义，知．故瞬时速度为．⒈令，⒉得．故烟花冲出1．5后达到最高点．例4．已知质点按规律（的单位：的单位：）做直线运动．若质点在时的瞬时速度为，求常数的值．解：因为，所以．故质点在时的瞬时速度为．所以．即．考点三函数在某点处的导数的方法例5．已知，则（）A．B．C．D．分析：将进行化简变形，转化成导数的定义式．解析：⒈⒉．答案：C例6．已知函数求此函数在和处的导数．分析：本题的函数为分段函数，注意和所在的区间．解：当时，，⒈所以．所以．所以．当时，，所以．所以．⒉所以．对于分段函数求导数问题，一定要先判断这一点在函数的哪一段上，再确定此点所满足的函数解析式．考点四导数几何意义的直接应用例7某汽车在笔直的公路上不断加速行驶，则其路程关于时间的函数图象的大致形状是（）解析：导数的物理意义．由汽车加速行驶，知随着的增大，速度在不断增大，从而的在不断增大，即曲线上的各点的切线斜率不断增大．只有满足此规律．答案：总结：导数的物理意义：如果某物体的运动方程是，那么物体在时刻的瞬时速度是，即；物体在时刻的加速度是，即．考点五利用导数的几何意义求求曲线的切线方程例8已知曲线（1）求过的点的切线方程；（2）（1）中以 为切点的切线与曲线是否还有其他公共点？解：（1）因为在曲线上，所以有两种可能，即点为切点或点不是切点①当点为切点时，所以切线方程为，即②当点不是切点时，设切点为．由导数的定义，知在处，，所以切线方程为．因为切线方程过点，将其代入整理，得，所以，所以或（舍去），故切点为，所以切线方程为综上所述，所求切线法方程为或．（2）由（1），知以点为切点的切线方程为，由，得，解得．从而求得公共点为和．故以点为切点的切线与曲线的公共点除切点外，还有其他公共点．本题还可以不对点是否为切点进行讨论，而直接设出切点为，按照本题第（1）问中②的解答过程去解，此时有意义，不能去掉．例9已知曲线（1）求过点的切线方程；（2）求满足斜率为的曲线的切线方程．解：（1）．设过点的切线的切点为，则，即该切线的斜率．因为点，在且线上，所以，解得，故切线的斜率．故曲线过点的切线方程为，即．(2)设斜率为的切线的切点为，由（1），知，得．所以切点坐标为或．故满足斜率为的曲线的切线方程为或，即或．(1)求曲线过已知点的切线方程的步骤：（2）若已知切线的斜率，则可根据切点处的导数即为斜率求得切点的坐标，根据点斜式写出切线方程．考点六求切点的坐标例10在曲线上哪一点处的切线分别满足下列条件：（1）平行于直线；（2）垂直于直线；（3）与轴成的倾斜角．分析：首先设出切点坐标，根据导数的几何意义，求出切线的斜率，然后根据已知条件列出等式，求出切点的坐标．解：．设点是曲线上满足条件的切点．(1)因为切线与直线平行，所以，得，即点处的切线平行于直线．（2）因为与直线垂直，所以，得，即点处的切线垂直于直线．(3)因为切线与轴成的倾斜角，所以，得，即点处的切线与轴成的倾斜角．求切点的坐标的步骤：（1）设切点，求斜率：设出切点坐标，根据导数的几何意义，求出切线的斜率（2）列方程，求参数：由斜率间的关系列出关于的方程，解方程求出；（3）代入求切点：将代入曲线方程，求得，得切点的坐标．考点七导数几何意义的综合应用例11设曲线和在其交点处两切线的夹角为，求．分析：要求的值，必须先求出两曲线的交点，