4.3.1 等比列的概念（基础知识+基本题型）（含解析）-【一堂好课】2022-2023学年高二数学同步名师重点课堂（人教A版2019选择性必修第二册）

倒卖拉黑，关注更新免费领取，淘宝唯一每月更新店铺:知二教育倒卖拉黑，关注更新免费领取，淘宝唯一每月更新店铺:知二教育4.3.1等比数列的概念（基础知识+基本题型）知识点一等比数列的概念1．文字语言叙述一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示．2．符号语言叙述在数列中，（其中是常数，），则是等比数列．（其中是常数，），则也是说明一个数列是等比数列的依据．提示从以下几方面理解等比数列的概念：（1）公比，这是必然的，也就是说，不存在公比的等比数列，还可以理解为在等比数列中，不存在数值为0的项．（2）每一项与它的前一项的比等于同一常数，是具有任意性的，但需注意是“从第二项起”．（3）每一项与它的前一项的比等于同一常数，强调的是“同一常数”．（4）对于公比，要注意它是每一项是前一项的比，次序不能颠倒．（5）常数列是等差数列，但不一定是等比数列，当常数列是各项都为0的数列时，它就不是等比数列；当常数列是各项都不0的数列时，是等比数列．如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，那么次数列为非零常数列．知识点二等比中项如果在与之间插一个数,使成等比数列，那么叫做与的等比中项．提示（1）由等比中项的定义，知这表明，只有同号的两项才有等比中项，并且这两项的等比中项有两个．它们互为相反数．（2）在一个等比数列中，从第二项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中项．（3）当“成等比数列”等价于“（均不为0），可以用它来判断或证明三个数是否成等比数列．知识点三等比数列的通项公式1．递推公式与通项公式已知等比数列的首项为公比为则有递推公式通项公式等比数列的通项公式主要应用于以下两个方面：（1）已知，利用通项公式可求出等比数列中的任一项；（2）由通项公式可知，已知四个量中的任意三个，可以求得另一个．2．等比数列的通项公式的推导方法名称证明过程迭代法根据等比数列的定义，有归纳法累积法根据等比数列的定义，可以得到，把以上个等式左右两边分别相乘，得，即．3．用指数函数观点看等比数列的通项公式等比数列的通项公式可整理为．当q为不等于1的正数时，是一个指数函数，而是一个不为0的常数与指数函数的积．因此，等比数列中的各项所表示的点离散地分布在第一或第四象限，并且当时，这些点在曲线上．拓展等比数列的单调性：当或时，是递增数列，反之也成立；当或时，是递减数列，反之也成立；当时，是常数列；当时，是摆动数列（它所有的奇数项同号，所有的偶数项也同号，但奇数项与偶数项异号）．知识点四等比数列的性质等比数列的常用性质性质1通项公式的推广：性质2若为等比数列，且，则；若，则性质3若，（项数相同）是等比数列，则，，，，仍是等比数列性质4在等比数列中，距首末两端等距离的两项的积相等，即性质5在等比数列中，序号成等差数列的项仍成等比数列拓展利用等比数列的通项公式易证性质1、性质2．性质3的证明如下：设等比数列的公比为，等比数列的公比为．（1）因为，所以．又因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列．（2）因为，所以是以为首项，为公比的等比数列．（3）因为，所以，所以数列是首项为，公比为的等比数列．（4）因为，，所以．所以数列是以为首项，为公比的等比数列．（5）因为，，所以．所以数列是以首项为，公比为的等比数列．辨析等差数列与等比数列的对比等差数列等比数列不同点（1）强调每一项与前一项的差；（2）可以为0；（3）任意两实数的等差中项唯一；（4）当时，（1）强调每一项与前一项的比；（2）均不为0；（3）两同号实数（不为0）的等比中项有两个值；（4）当时，相同点（1）都强调每一项与前一项的关系；（2）公差和公比都必须是常数；（3）数列都可以由或唯一确定转化（1）若为各项都为正数的等比数列，则为等差数列，其中，且；（2）若为等差数列，则为等比数列；（3）非零常数列既是等差数列又是等比数列考点一等比数列的通项公式例1已知等比数列，若，，求．解：方法1：因为，，所以．从而解得，或，．当时，；当时，．故或．方法2：由等比数列的定义，知，．①②代入已知，得即即①②将代入①，得，所以或．由②，得或故或．是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，其他量便可求出来．方法1是巧用等比数列的性质，先求出，再求出；方法2是运用通项公式及方程思想解方程组求，是常用的方法．考点二等比数列的判定与证明例2已知数列的前n项和，证明是等比数列，并求出通项公式．解：因为，所以，所以，所以．又因为，所以．又由，知，所以，所以是等比数列．因为，所以．判断一个数列是等比数列的方法：（1）定义法：．（2）等比中项法：．考点三等比数列的性质例3已知为等比数列．（1）若＞，，求（2）若＞，求的值．分析：（1）将带入条件等式，配方可求得（2）利用带入求解．解：（1）因为＞，所以＞0．因为所以：（2）根据等比数列的性质，得所以所以对于正数若则等比数列中的关系为若则运用上述性质，有时可以避免一些较复杂的运算．考点四等差数列等比数列的综合运算例4有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．解：方法1：设四个数依次为由条件，得解得，或所以当时，所求四个数为0，4，8，16；所以当时，所求四个数为15，9，3，1．故所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1．方法2：设四个数依次为由条件，得解得，或当时，所求四个数为0，4，8，16；当时，所求四个数为15，9，3，1．故所求四个数为0，4，8，16或15，9，3，1．合理的设出所求数中的三个，根据题意得出另一个是解决这类问题的关键，一般地，三个数成等比数列，可设为三个数成等差数列，可设为考点五等比数列的综合问题例5已知在数列中，是前n项和，且（1）设求数列的通项公式．（2）在（1）的条件下，设求数列的通项公式．（3）在（2）的条件下，求数列的通项公式及其前n项和公式．分析：对（1）（2），需利用已知条件，确定数列与分别为何种数列，从而写出通项公式．对于（3），需要利用与的关系，写出数列的通项公式，进而求出其前几项和公式．解：（1）因为所以两式相减，得所以变形，得因为所以因为所以所以所以数列是首项为3，公比为2的等比数列，所以（2）因为所以将代入，得．因此数列是公差为首项为的等差数列．所以（3）因为所以，当时，．因为也适应上式，所以数列的前项和公式为．解答与数列有关的题目，需要对等差数列、等比数列的概