4.2.1 等差数列的概念（基础知识+基本题型）（含解析）-【一堂好课】2022-2023学年高二数学同步名师重点课堂（人教A版2019选择性必修第二册）

倒卖拉黑，关注更新免费领取，淘宝唯一每月更新店铺:知二教育倒卖拉黑，关注更新免费领取，淘宝唯一每月更新店铺:知二教育4.2.1等差数列的概念（基础知识+基本题型）知识点一等差数列的概念1．文字语言叙述一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示.2．符号语言叙述在数列中，若或，为常数，则数列是等差数列，常数称为等差数列的公差.3．作用（1）用于证明数列是等差数列；（2）判断一个数列是否为等差数列.提示（1）定义中“从第2项起”这一前提条件有两层含义：其一，第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合；其二，定义中包括首项这一基本量，且必须从第2项起保证使数列中各项均与其前面一项作差.（2）定义中“每一项与它的前一项的差”也有两层含义：其一，强调作差的顺序，即后面的项减前面的项；其二，强调这两项必须相邻.（3）注意定义中的“同一常数”这一要求，否则这个数列不能称为等差数列.知识点二等差中项1．概念如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项.若是，的等差中项，则，反之亦然.2．等差数列中的通项公式：3．作用：证明数列是等差数列.拓展（1），，成等差数列.（2）若，则数列为等差数列，反之也成立，所以数列为等差数列.这种判断一个数列是否为等差数列的方法称为“等差中项法”.（3）在有穷等差数列中，除首、末两项外，任何一项都是前后两项的等差中项；在无穷等差数列中，除首项外，任何一项都是前后两项的等差中项知识点三等差数列的通项公式1．通项公式首项为，公差为的等差数列的通项公式：.2．对通项公式的理解通项公式中含有四个基本元素，即首项、序号、公差、第项.如果知道其中三个，那么就可以求出另一个.具体变形如下：（1）若已知，，（），则；（2）若已知，，，则；（3）若已知，，，则.解此类问题时，要充分挖掘题设条件，建立关于基本量的方程或方程组，从而将数列问题转化为方程问题.拓展（1）等差数列的通项公式的推导方法名称证明过程归纳法因为是等差数列，则有：……所以由此猜测.当时，上面的等式两边均为，所以等式也是成立的.这就说明当时，累加法因为是等差数列，所以，，，……，.以上各式两边分别相加，得，所以迭代法因为是等差数列，所以（2）等差数列的通项公式的变形对于任意正整数，有：3．等差数列的通项公式与一次函数的关系等差数列一次函数解析式不同点定义域为，图象是一系列均匀分布在同一直线上的孤立的点定义域为R，图象为一条直线相同点通项公式与函数的解析式都是关于自变量的一次整式，是最简单的，也是最基本的数列和函数警示公差与等差数列单调性的关系：（1）当时，是递增数列；（2）当时，是递减数列；（3）当时，是常数列；知识点四等差数列的常用性质等差数列的常用性质性质1通项公式的推广：性质2若为等差数列，且，则性质3若为等差数列，公差为，则也是等差数列，公差为性质4若，分别是以，为公差的等差数列，则是以为公差等差数列性质5若是等差数列，则，，，…组成公差为的等差数列拓展（1）性质2可推广到三项的情形，即“，且”，还可以推到四项乃至更多项的情形，只要两边项数一样，且下标的和相等即可.（2）若，则，此性质实质上是上述性质2的特例.（3）若是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，即.（4）项数间隔相等或连续等长的片段和仍构成等差数列.例如，构成等差数列，也构成等差数列.考点一等差数列的通项公式及应用例1在等差数列中，已知，，求.解：设数列的公差为，由题意，得，解得.故.所以.（1）在等差数列中，首项与公差是两个最基本的元素.（2）有关等差数列的问题，如果条件与结论间的关系不明显，则均可化成关于，的方程组求解，但是要注意公式的变形及整体计算，以减少计算量.例2已知等差数列6，3，0，….（1）试求此数列的第100项；（2）－30是不是这个数列中的项？－40是不是这个数列中的项？若是，分别是第几项？解：（1）设此数列为，则首项，公差，所以通项公式为，所以.（2）令，解得，所以－30是这个数列中的项，是第13项.令，解得，因为不是正整数，所以－40不是这个数列中的项.判断某数是否为数列中的项的方法：将此数代入通项公式，若得到的是正整数，则该数是数列中的项，否则不是.考点二等差数列的判定与证明例3已知数列满足，.（1）数列是否为等差数列？说明理由；（2）求.解：（1）数列是等差数列.理由如下：因为，，所以，所以，即是首项为，公差为的等差数列.（2）由（1）可知，所以（1）判断一个数列是等差数列的基本方法是紧扣定义：（为常数）.此外，也可以用（）进行判断.（2）本题属于“生成数列问题”，关键是要整体代换，进而求通项公式.例4已知成等差数列，求证：也成等差数列.证明：因为成等差数列，所以，即.因为，所以也成等差数列.总结：等差数列的判定方法（1）定义法：（为常数，）是等差数列.（2）等差中项法：（）是等差数列.（3）通项公式法：（为常数，）是等差数列.其中定义法是最常用的一种方法，若要证明一个数列为等差数列，则必须用定义法证明；要证明三个实数依次成等差数列，只要证明中间一项是另外两项的等差中项即可；若一个数列的通项公式是关于（）的一次函数，则可以判定该数列为等差数列.考点三等差数列的性质例5若是等差数列，且，求.解：方法1：根据等差数列的性质，知.由，得，解得，所以.方法2：设等差数列的首项为，公差为，根据等差数列的通项公式，得.由，得，解得，由题意，知，即，所以.方法1运用了等差数列的性质：若，则；方法2利用通项公式，待各面转化为关于数列的首项与公差的式子完成运算，属于通性通法.两种方法都运用了整体代换与方程思想.考点四等差数列的特殊设法例6成等差数列的四个数之和为26，且第二个数与第三个数之积为40，求这四个数.分析：已知四个数成等差数列有多种设法，但如果四个数的和已知，那么常利用对称性，先设四个数为，，，，再计算.解：设这四个数为.由题意，知，即.解得或.所以这四个数分别为2，5，8，11或11，8，5，2.利用等差数列的定义巧设未知量，可以简化计算.一般有如下规律：当等差数列的项数为奇数时，可先设中间一项为，再以公差为向两边分别设项：…，，…；当项数为偶数时，可先设中间两项为，再以公差为向两边分别设项：…，，….这样可减少计算量.考点五等差数列的综合应用例7在中，若成等差数列，且三个内角也成等差数列，试判断此三角形的形状.分析：根据等差数列的性质，将已知条件进行转化，从而得出三个内角的度数，以此判断三角形的形状.解：因为成等差数列，所以.又因为，所以，即，.因为成等差数列，所以，即，又因为，所以，所以.所以，所以.整理，得，即.所以.因为