安徽省长丰县高中数学 第三章 导数及其应用 3.3 导数在研究函数中的应用 3.3.1 函数的单调性与导数教学实录 新人教A版选修1-1

安徽省长丰县高中数学第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用3.3.1函数的单调性与导数教学实录新人教A版选修1-1一、教学背景

授课内容：第三章导数及其应用3.3导数在研究函数中的应用3.3.1函数的单调性与导数

授课年级：高中一年级

教材版本：新人教A版选修1-1

本节课旨在引导学生理解导数与函数单调性之间的关系，通过实际例题让学生掌握如何运用导数判断函数的单调性，为后续学习函数的性质和图像分析打下基础。二、学情分析与内容规划

1.学情分析：学生已掌握导数的基本概念和运算规则，能够求解函数的导数，但对导数在实际问题中的应用，尤其是如何利用导数研究函数的性质，理解不够深入，实际操作能力有待提高。

2.内容规划：本节课将围绕函数的单调性与导数的关系展开，设计以下教学环节：

-回顾导数的基本概念和性质；

-引导学生通过导数判断函数的单调性；

-分析具体例题，让学生动手实践，加深理解；

-安排课堂练习和小结，巩固所学知识。三、教学内容分析

1.主题内容：本节课的主题是函数的单调性与导数的关系，具体内容包括：

-理解导数与函数单调性的基本概念；

-学习利用导数判断函数单调性的方法；

-分析函数的单调区间，并能够应用于实际问题。

2.重点难点：

-重点：掌握导数与函数单调性之间的关系，能够运用导数判断函数的单调区间。

-理解导数的几何意义，即导数的正负与函数曲线的增减趋势；

-学习并运用导数判定定理，判断函数在某一区间内的单调性；

-能够通过实际例题，应用导数分析函数的性质。

-难点：正确应用导数判定定理，特别是在复合函数和分段函数的情况下。

-对于复合函数的单调性判断，需要学生能够准确求导并应用链式法则；

-在分段函数的情况下，需要学生能够分别对各个区间进行判断，并在分段点处考虑函数的连续性和可导性；

-培养学生将理论知识应用于实际问题的能力，提高解决问题的灵活性。四、教学方法与手段

1.教学方法：

-采用讲授法，系统讲解导数与函数单调性的理论知识，确保学生理解基本概念；

-运用讨论法，组织学生针对具体例题进行小组讨论，促进学生主动探索和交流；

-应用实验法，通过数学软件或图形计算器，让学生直观地观察函数图像与导数之间的关系，加深对单调性判定的理解。

2.教学手段：

-利用多媒体设备展示函数图像和导数变化，增强视觉效果；

-使用教学软件进行实时互动，如在线提问和答题，提高学生的参与度；

-结合课本内容，使用PPT或电子白板展示关键步骤和公式，方便学生跟随讲解思路。五、教学过程设计

1.情境导入（5分钟）

内容：通过展示几个日常生活中的函数图像（如温度变化、股市波动等），引导学生观察这些函数的单调性变化，并提出问题：“如何用数学的方法来判断这些函数是增加还是减少的呢？”从而引出本节课的主题——函数的单调性与导数。

2.新知探索（20分钟）

内容：

-首先，回顾导数的定义和几何意义，让学生理解导数是如何描述函数在某一点的瞬时变化率的；

-接着，介绍导数与函数单调性的关系，通过几个简单函数的导数图像，展示导数正负与函数增减之间的关系；

-然后，通过例题演示，如何利用导数判断函数的单调区间，包括求导、判断导数的符号、确定单调区间等步骤；

-最后，总结导数判定函数单调性的定理，并给出相应的数学表达。

3.互动体验（15分钟）

内容：

-将学生分成小组，每组发一份包含不同难度函数的练习题，要求学生利用导数判断这些函数的单调性；

-学生在小组内讨论解题思路和方法，教师巡回指导，解答学生的疑问；

-每组选代表上台展示解题过程，其他小组成员进行评价和补充；

-教师对各组的表现进行点评，总结常见的错误和需要注意的地方。

4.实践应用（5分钟）

内容：

-给学生一个实际的函数问题，如某商品销售量与价格的关系，要求学生运用本节课学到的知识，分析销售量随价格变化的单调性；

-学生独立思考并尝试解决问题，教师提供必要的提示和帮助；

-学生分享自己的分析结果，教师进行总结，强调导数在实际问题中的应用价值。六、教学反思与改进

这节课在引导学生理解函数单调性与导数关系方面取得了不错的效果，但在实际操作中也发现了一些不足。例如，在互动体验环节，部分学生对导数判定定理的应用还不够熟练，解题时出现了一些概念性的错误。接下来我会加强这方面的训练，通过增加类似的练习题，让学生更加熟悉定理的应用。

另外，我也注意到在实践应用环节，部分学生对于将理论知识应用到具体问题上的能力还有待提高。今后，我会更多地结合实际情境，设计一些与生活紧密相关的题目，帮助学生更好地理解导数在现实生活中的应用。

此外，课堂上的时间分配还有待优化，个别环节的时间可能过长或过短，影响了教学节奏。我会在今后的教学中更加注意时间管理，确保每个环节都能够得到充分的展开，让每个学生都有足够的时间去思考和消化知识。七、作业布置与反馈

1.作业内容：

-根据本节课学习的导数与函数单调性的知识，布置以下作业：

-完成教材上的练习题，特别是涉及到利用导数判断函数单调性的题目；

-选择一个自己感兴趣的函数模型，分析其单调性，并撰写一篇短文，内容包括函数的背景、单调性的判断过程以及在实际生活中的应用；

-设计一个与导数和函数单调性相关的数学问题，并尝试解决它。

2.反馈方式：

-教师将批改学生的作业，针对每份作业给出具体的评价和建议，指出学生在解题过程中的优点和需要改进的地方；

-在下一次课堂上，安排时间让学生自愿分享自己的作业成果，特别是短文和设计的问题；

-教师选取几份有代表性的作业进行点评，强调正确的解题方法和需要注意的问题；

-鼓励学生之间互相阅读和讨论作业，通过同伴互助，提高对函数单调性与导数关系的理解和应用能力；

-对于作业中普遍存在的问题，教师将进行集中讲解，确保全班同学都能够掌握关键知识点；

-定期收集学生的作业反馈，了解学生对作业难度的感受，适时调整作业内容和难度，使之更符合学生的学习需求。八、教学资源与支持

1.多媒体资源：

-视频资源：收集与函数单调性和导数相关的教学视频，如导数的几何意义、导数与函数图像的关系等，用于课堂导入和知识点的直观展示；

-图片资源：准备一系列函数图像的图片，包括单调递增、单调递减以及不变的情形，用于辅助讲解和练习；

-音频资源：录制一些关于导数和函数单调性的讲解音频，供学生在课后复习时使用。

2.阅读材料：

-精选数学杂志、学术论文中关于导数应用的短文，内容涉及导数在物理学、经济学等领域的应用，让学生了解导数的实际意义；

-收集一些数学家的传记或故事，特别是那些与导数发展相关的历史故事，激发学生对数学的兴趣；

-提供一些拓展阅读材料，如导数的起源、发展史以及其在现代科学中的应用，帮助学生拓宽知识面。

3.在线工具：

-利用在线函数图像绘制工具，让学生能够自己绘制函数图像，观察导数与函数单调性的关系；

-推荐在线数学论坛和社区，让学生在课后可以互相讨论学习中的疑问，共同进步；

-提供在线数学题库和练习平台，让学生能够进行自我测试，及时巩固所学知识；

-引导学生使用在线数学软件，如WolframAlpha、Desmos等，进行函数的图形分析和计算。

4.教学软件：

-使用几何画板软件，动态展示函数图像随参数变化的过程，增强学生对函数单调性的直观理解；

-运用数学教学软件，如Mathematica、MATLAB等，进行更高级的数学分析和图像处理；

-利用互动式教学平台，如KhanAcademy、Coursera等，提供个性化的学习路径和实时反馈。

5.教辅资料：

-推荐一些适合学生水平的数学辅导书籍，特别是那些包含大量练习题和例题的书籍，帮助学生巩固知识；

-提供一些数学竞赛的资料和题目，鼓励学有余力的学生挑战自己，提高解决问题的能力；

-分发一些学习指导手册，包括解题技巧、公式总结等内容，帮助学生系统复习和整理知识。

6.同行交流：

-鼓励教师之间的相互交流和学习，共享优秀的教学资源和经验；

-参加数学教育研讨会和培训活动，了解最新的数学教育动态和方法；

-建立教师交流群组，分享教学心得和资源，共同提高教学质量。九、教学评估与改进

1.教学评估

在本次课程中，学生对于导数与函数单调性关系的理解有了明显的提升。通过课堂互动和作业反馈，我发现大多数学生能够掌握利用导数判断函数单调性的基本方法。他们在解决具体问题时，能够较为熟练地运用导数判定定理，找到函数的单调区间。同时，学生在撰写关于函数单调性的短文时，能够结合实际例子，表达自己对导数应用的见解。

然而，评估中也发现了一些问题。部分学生在理解导数的几何意义上存在困难，对导数判定定理的应用还不够灵活。此外，一些学生在面对复杂函数时，对于如何运用导数判断单调性感到困惑，解题过程中出现了一些概念性的错误。

2.教学改进

针对上述评估中发现的问题，我将采取以下措施进行教学改进：

-加强导数几何意义的讲解，通过更多的实例和图像，帮助学生直观地理解导数与函数图像之间的关系。

-设计一些针对导数判定定理应用的练习题，让学生在练习中逐渐熟悉定理的使用，提高解题技巧。

-对于复杂函数的单调性判断，我会提供更多的例题，引导学生逐步分析，培养他们解决问题的能力。

-在课堂上，我会更多地采用互动式教学，鼓励学生提问和参与讨论，及时发现并解决他们在学习过程中的疑惑。

-对于作业的布置，我会注意难度的梯度，确保每个层次的学生都能有所收获。同时，我会及时批改作业，给出具体的反馈和建议。

-为了提高学生的自主学习能力，我会推荐一些在线资源和数学软件，