高三数学第一轮复习导学案：4.1平面的基本性质(含答案)

------精品文档!值得拥有！------------珍贵文档!值得收藏！------2011届考试说明立体几何初步2011届考试说明1.空间几何体(1)认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.(2)能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述三视图所表示的立体模型,会用斜二测法画出它们的直观图.(3)会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式.（4）会画某些建筑物的视图与直观图（在不影响图形特征的基础上,尺寸、线条等不作严格要求）(5)了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式(不要求记忆公式).2.点、直线、平面之间的位置关系(1)理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解如下可以作为推理依据的公理和定理:公理1:如果一条直线上的两点在同一个平面内,那么这条直线上的所有点都在此平面内.公理2:过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.公理4:平行于同一条直线的两条直线平行.定理:空间中如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.(2)以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理.理解以下判定定理:•平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行.•一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行,则这两个平面平行.•一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直,则该直线与此平面垂直.•一个平面过另一个平面的垂线,则两个平面垂直.理解以下性质定理,并能够证明:•一条直线与一个平面平行,则过该直线的任一个平面与此平面的交线与该直线平行.•两个平面平行,则任意一个平面与这两个平面相交所得的交线相互平行.•垂直于同一个平面的两条直线平行.•两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.(3)能运用定理、公理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.知识网络知识网络直线、平面、简单几何体三个公理、三个推论平面平行直线直线、平面、简单几何体三个公理、三个推论平面平行直线异面直线相交直线公理4及等角定理异面直线所成的角异面直线间的距离直线在平面内直线与平面平行直线与平面相交空间两条直线概念、判定与性质三垂线定理垂直斜交直线与平面所成的角空间直线与平面空间两个平面棱柱棱锥球两个平面平行两个平面相交距离两个平面平行的判定与性质两个平面垂直的判定与性质二面角定义及有关概念性质综合应用多面体面积公式体积公式正多面体备考方法备考方法本章的定义、定理、性质多,为了易于掌握,可把主要知识系统化.首先,归纳总结,理线串点,可分为四块:A、平面的三个基本性质,四种确定平面的条件；B、两个特殊的位置关系,即线线,线面,面面的平行与垂直.C、三个所成角；即线线、线面、面面所成角；D、四个距离,即两点距、两线距、线面距、面面距.其次,平行和垂直是位置关系的核心,而线面垂直又是核心中的核心,线面角、二面角、距离等均与线面垂直密切相关,把握其中的线面垂直,也就找到了解题的钥匙.再次,要加强数学思想方法的学习,立体几何中蕴涵着丰富的思想方法,如割补思想、降维转化思想(化空间图形为平面图形解决),自觉地学习和运用数学思想方法去解题,常能收到事半功倍的效果.4.1平面的基本性质知识点梳理知识点梳理1.平面的概念:平面是没有厚薄的,可以无限延伸,这是平面最基本的属性2.平面的画法及其表示方法:①常用平行四边形表示平面通常把平行四边形的锐角画成,横边画成邻边的两倍画两个平面相交时,当一个平面的一部分被另一个平面遮住时,应把被遮住的部分画成虚线或不画(面实背虚)②一般用一个希腊字母、、……来表示,还可用平行四边形的对角顶点的字母来表示如平面等3.空间图形是由点、线、面组成的点、线、面的基本位置关系:图形符号语言文字语言（读法）图形符号语言文字语言（读法）点在直线上直线在平面内点不在直线上直线与平面无公共点点在平面内直线与平面交于点点不在平面内直线、交于点平面、相交于直线[注]:（平面外的直线）表示:（）或4平面的基本性质[公理1]如果一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线上的所有点都在这个平面内[推理模式]:.如图示:[应用]:是判定直线是否在平面内的依据,也可用于验证一个面是否是平面.公理1说明了平面与曲面的本质区别.通过直线的“直”来刻划平面的“平”,通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无限延展性”,它既是判断直线在平面内,又是检验平面的方法.[公理2]经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面[推理模式]:不共线存在唯一的平面,使得[应用]:①确定平面；②证明两个平面重合“有且只有一个”的含义分两部分理解,“有”说明图形存在,但不唯一,“只有一个”说明图形如果有顶多只有一个,但不保证符合条件的图形存在,“有且只有一个”既保证了图形的存在性,又保证了图形的唯一性.在数学语言的叙述中,“确定一个”,“可以作且只能作一个”与“有且只有一个”是同义词,因此,在证明有关这类语句的命题时,要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证.[推论]:推论1经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面.[推理模式]:存在唯一的平面,使得,推论2经过两条相交直线有且只有一个平面[推理模式]:存在唯一的平面,使得推论3经过两条平行直线有且只有一个平面[推理模式]:存在唯一的平面,使得[公理3]如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线[推理模式]:且且唯一如图示:[应用]:①确定两相交平面的交线位置；②判定点在直线上公理3揭示了两个平面相交的主要特征,是判定两平面相交的依据,提供了确定两个平面交线的方法.5平面图形与空间图形的概念:如果一个图形的所有点都在同一个平面内,则称这个图形为平面图形,否则称为空间图形典型例题典型例题题型一:平面的性质例1.下列命题正确的是:(4).(1).空间不同三点确定一个平面;(2).有三个公共点的两个平面必重合;(3).空间两两相交的三条直线确定一个平面;(4).三角形是平面图形;(5)平行四边形梯形四边形都是平面图形;(6).两组对边相等的四边形是平行四边形.[变式训练1]:判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×”(1)空间三点可以确定一个平面（）(2)两个平面若有不同的三个公共点，则两个平面重合（）(3)两条直线可以确定一个平面（）(4)若四点不共面，那么每三个点一定不共线（）(5)两条相交直线可以确定一个平面（）(6)三条平行直线可以确定三个平面（）(7)一条直线和一个点可以确定一个平面（）(8)两两相交的三条直线确定一个平面（）[答案]⑴×⑵×⑶×⑷√⑸√⑹×⑺×⑻×[变式训练2]:如图，P、Q、R分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AA1，BB1，DD1上的三点，试作出过P，Q，R作法:⑴连接PQ，并延长之交A1B1的延长线于T；⑵连接PR，并延长之交A1D1的延长线于S；⑶连接ST交C1D1、B1C1分别于M，N，则线段为平面PQR与面A1B1C1D1⑷连接RM，QN，则线段RM，QN分别是平面PQR与面DCC1D1，面BCC1B1的交线．A1ABB1A1ABB1DD1CC1STRQP图2NMAA1ABB1DD1CC1RQP·R··[说明]:求作二平面的交线问题，主要运用公理1、3，解题关键是直接或间接找出二平面的两个确定的公共点．有时同时还要运用公理2及公理的推论等知识．[变式训练3]:如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，A1C1B1D1＝O1，B1D平面A1BC1＝P．A1ABB1DD1CA1ABB1DD1CC1O1P证明:在平行六面体ABCD－A1B1C1D1∵B1D平面A1BC1＝P，∴P∈平面A1BC1，P∈B1D．∵B1D平面BB1D1D．∴P∈平面A1BC1，且P∈平面BB1D1D．∴P∈平面A1BC1平面BB1D1D，∵A1C1B1D1＝O1，A1C1平面A1BC1，B1D1平面BB1D1D，∴O1∈平面A1BC1，且O1∈平面BB1D1D．又B∈平面A1BC1，且B∈平面BB1D1D，∴平面A1BC1平面BB1D1D＝BO1．∴P∈BO1．[说明]:一般地，要证明一个点在某条直线上，只要证明这个点在过这条直线的两个平面上．即找两个平面：该点是它们的公共点，该直线是它们的公共直线.[变式训练4]:已知空间四点A、B、C、D不在同一平面内,求证:直线AB和CD既不相交也不平行.提示:反证法.题型二:多点共线问题求证三点及三点以上的点共线主要依据公理3,只要证明这些点都是两个平面的公共点,那么它们都在这两个平面的交线上CODABMB1C1D1A1例2.正方体ABCD-A1B1C1DCODABMB1C1D1A1求证:点C1、O、M共线.证明:A1A∥CC1确定平面A1CA1C面A1C O∈面A1CO∈A1C面BC1D∩直线A1C＝OO∈面BC1DO在面A1C与平面BC1D的交线C1M上∴C1、O、M共线RPQαCBA[变式训练1]:如图,△ABC在平面α外,它的三条边所在的直线AB、BC、CA分别交平面α于P、Q、R点.求证RPQαCBA证明:设平面ABC∩α＝l，由于P＝AB∩α，即P平面ABC∩α＝l，即点P在直线l上．同理可证点Q、R在直线l上．∴P、Q、R共线，共线于直线l．[变式训练2]:如下图，点A，B，C确定的平面与点D，E，F确定的平面相交于直线l，且直线AB与l相交于点G，直线EF与l相交于点H，试作出平面ABD与平面CEF的交线．解：如下图，在平面ABC内，连结AB，与l相交于点G，则G∈平面DEF；在平面DEF内，连结DG，与EF相交于点M，则M∈平面ABD，且M∈平面CEF．所以，M在平面ABD与平面CEF的交线上．同理，可作出点N，N在平面ABD与平面CEF的交线上．连结MN，直线MN即为所求．E·BE·BAN变式训练2GHD·FCM···A变式训练3BCDMNLPQRE·BAD·FC····[变式训练3]:如上图，P、Q、R分别是四面体ABCD的棱AB，AC，AD上的点，若直线PQ与直线BC的交点为M，直线RQ与直线DC的交点为N，直线PR与直线DB的交点为L，试证明M，N，L共线．证明:易证M，N，L∈平面PQR，且M，N，L∈平面BCD，所以M，N，L∈平面PQR平面BCD，即M，N，L共线．[变式训练4]:若△ABC所在的平面和△A1B1C1所在平面相交,并且直线AA1、BB1、CC1相交于一点O,求证:(1)AB和A1B1、BC和B1C1分别在同一个平面内；(2)如果AB和A1B1、BC和B1C1、AC和A1C1分别相交,那么交点在同一条直线上.（与变式训练3重复）OAOAC1B1A1BC证明:(1)∵AA1∩BB1＝0,∴AA1与BB1确定平面α,又∵A∈a,B∈α,A1∈α,B1∈α,∴ABα,A1B1α,∴AB、A1B1在同一个平面内同理BC、B1C1、AC、A1C1分别在同一个平面内(2)设AB∩A1B1＝X,BC∩B1C1＝Y,AC∩A1C1＝Z,则只需证明X、Y、Z三点都是平面A1B1C1与ABC的公共点即可.题型三:多线共点问题先证明两条直线交于一点,再证明其它直线也经过该点,把问题转化为证明点在线上的问题.αDCBAl例3βM例3．如图，已知平面α，β，且αβ＝l．设梯形ABCD中，AD∥BC，且ABα，CDβ，求证：ABαDCBAl例3βM证明:∵梯形ABCD中，AD∥BC，∴AB，CD是梯形ABCD的两条腰．∴AB，CD必定相交于一点，设ABCD＝M．又∵ABα，CDβ，∴M∈α，且M∈β．∴M∈αβ．又∵αβ＝l，∴M∈l，即AB，CD，l共点．[说明]：证明多条直线共点时，一般要应用公理3，这与证明多点共线是一样的．[变式训练]:如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E为AB中点,F为AA1中点,ABECDFA1B1C1ABECDFA1B1C1D1(2)CE、D1F、DA三线共点.证明(1)连结A1B则EF∥A1BA1B∥D1C∴EF∥D1C∴E、F、D1、C四点共面(2)面D1A∩面CA＝DA∴EF∥D1C且EF＝D1C∴D1F与CE相交又D1F面D1A,CE面AC∴D1F与CE的交点必在DA上∴CE、D1F、DA三线共点.题型四:点线共面问题(1)根据公理2或其推论确定一个平面,再证其它元素(点或线)也在这个平面内;(2)根据公理2或其推论确定两个平面,再证明这两个平面重合.例4.已知：a，b，c，d是不共点且两两相交的四条直线,求证:a，b，c，d共面．证明:1o若当四条直线中有三条相交于一点，不妨设a，b，c相交于一点A，但Ad，如图1．αbadcGFEαbadcGFEA图1又设直线d与a，b，c分别相交于E，F，G，则A，E，F，G∈α．∵A，E∈α，A，E∈a，∴aα．同理可证bα，cα．∴a，b，