现代控制理论-第二章-控制系统的状态空间描述

现代控制理论ModernControlTheory讲授：徐德刚Email:dgxu@中南大学信息学院自动化系1DgXu第二章控制系统的状态空间描述

2.1基本概念2.2状态空间表达式的建立2.3传递函数(矩阵)2.4组合系统

2.5(非奇异)线性变换2.6离散时间系统状态空间表达式中南大学信息学院自动化系2DgXu

2.1.3状态空间表达式的状态变量图中南大学信息学院自动化系3DgXu绘制步骤：（1） 绘制积分器

（2） 画出加法器和放大器

（3） 用线连接各元件，并用箭头 示出信号传递的方向。例2.1.1设一阶系统状态方程为则其状态图为中南大学信息学院自动化系4DgXu例2.1.2设三阶系统状态空间表达式为中南大学信息学院自动化系5DgXu则其状态图为中南大学信息学院自动化系6DgXu2.1.4由状态空间描述求传递函数矩阵第j个输入到第i个输出之间的传递函数

设系统的初始条件为零拉氏变换第i个输出第j个输入系统的传递函数矩阵

有理分式为严格真的或真的

中南大学信息学院自动化系7DgXu定理对于具有r维输入m维输出的n阶线性定常系统，其状态空间描述为它的传递函数矩阵可表示为证明输入—状态传递函数矩阵状态—输出传递函数矩阵中南大学信息学院自动化系8DgXu取拉氏变换对式则得命题得证中南大学信息学院自动化系9DgXu已知系统的状态空间描述为例2.1.3试求系统的传递函数。解：首先计算中南大学信息学院自动化系10DgXu中南大学信息学院自动化系11DgXu2.3.

线性定常连续系统状态空间表达式的建立建立状态空间表达式的方法主要有两种：一是直接根据系统的机理建立相应的微分方程或差分方程，继而选择有关的物理量作为状态变量，从而导出其状态空间表达式；二是由已知的系统其它数学模型经过转化而得到状态达式。由于微分方程和传递函数是描述线性定常连续系统常用的数学模型，故我们将介绍已知

n

阶系统微分方程或传递函数时导出状态空间表达式的一般方法，以便建立统一的研究理论，揭示系统内部固有的重要结构特性。中南大学信息学院自动化系12DgXu2.2.1.由物理机理直接建立状态空间表达式：例2.2.1系统如图所示选择状态变量：中南大学信息学院自动化系13DgXu整理得：中南大学信息学院自动化系14DgXu状态方程为：输出方程为：中南大学信息学院自动化系15DgXu

写成矩阵形式中南大学信息学院自动化系16DgXu例2.2.4系统如图取状态变量:中南大学信息学院自动化系17DgXu得：系统输出方程为：中南大学信息学院自动化系18DgXu写成矩阵形式的状态空间表达式为：中南大学信息学院自动化系19DgXu2.2.2

由系统微分方程建立状态空间表达式按系统输入量中是否含有导数项来分别研究。

1)系统输入量中不含导数项。这种单输入

单输出线性定常连续系统微分方程的一般形式为：式中，y，u

分别为系统的输出、输入量；a0,a1,…，an

1,

0

是由系统特性确定的常系数。由于给定

n

个初值：及

t≥0

的

u(t)

时,

可惟一确定

t

>0

时系统的行为，可选取

n

个状态变量为：，故式可化为：

中南大学信息学院自动化系20DgXu

(2.3.4)其向量-矩阵形式为：

(2.3.5)

式中：中南大学信息学院自动化系21DgXu例2.2.5已知系统输入-输出描述为试求其状态空间描述。解：选取写成向量形式中南大学信息学院自动化系22DgXu

2)系统输入量中含有导数项。这种单输入-单输出线性定常连续系统微分方程的一般形式为：

(2.3.12)一般输入导数项的次数小于或等于系统的阶数n。首先研究

bn

0

的情况。为了避免在状态方程中出现输入导数项，可按如下规则选择一组状态变量，设：(2.3.13)其展开式为：中南大学信息学院自动化系23DgXu

(2.3.14)式中

h0,h1,h2,…,hn-1是

n

个待定常数。由式(2.3.14)的第一个方程可得输出方程：中南大学信息学院自动化系24DgXu其余可得(n

1)个状态方程：对

xn

求导数并考虑式

(2.3.12)

有：将均以

xi

及

u

的各阶导数表示，经整理可得：中南大学信息学院自动化系25DgXu令上式中

u

的各阶导数项的系数为零，可确定各

h

值：中南大学信息学院自动化系26DgXu记：则式

(2.3.12)

的向量-矩阵形式的动态方程为：式中：中南大学信息学院自动化系27DgXu当bn=

0时，我们可以令上述公式中的

h0=0

得到所需要的结果，也可按如下规则选择另一组状态变量。设：

(2.315)其展开式为：中南大学信息学院自动化系28DgXu故有

(n-1)

个状态方程：对xl求导数且考虑式(2.3.12)，经整理有：则式

(2.3.12)bn=0时的动态方程为：

(2.3.16)式中：中南大学信息学院自动化系29DgXu中南大学信息学院自动化系30DgXu3)化输入-输出描述为状态空间描述由输入-输出描述求状态空间描述的问题称为实现问题而一切的代数上的等价系统具有相同的输入输出关系，所以其状态空间描述不是唯一的。仅对实现单输入-单输出系统的状态空间描述(A，B，C，D)具有代表性的方法。单输入-单输出线性定常系统，输出和输入之间的因果关系可用高阶微分方程来描述

y：输出变量，u：输入变量传递函数来描述中南大学信息学院自动化系31DgXu状态空间描述因此由输入-输出描述求取状态空间描述的问题，就归结为适当地选取一组状态变量和确定相应的系数矩阵A，B，C，D的问题能观型实现A：n×n矩阵B：m×1矩阵C：1×n矩阵D：标量不包含输入函数导数高阶微分方程中，不包含输入函数的各阶导数则求状态方程和输出方程的步骤1.选取状态变量可选为系统的一组状态变量中南大学信息学院自动化系32DgXu2.化高阶微分方程为的一阶微分方程组系统的输出表达式为3.将方程组改写为向量形式令状态方程输出方程中南大学信息学院自动化系33DgXu包含辅入函数导数

则求状态方程和输出方程的步骤1.选取状态变量通常可选取输出变量y和输入变量u各阶导数的适当组合中间变量待定系数

中南大学信息学院自动化系34DgXu对比等式的系数中南大学信息学院自动化系35DgXu2.导出状态变量的一阶微分方程组和输出表达式3.向量形式中南大学信息学院自动化系36DgXu实现的状态变量图中南大学信息学院自动化系37DgXu例2.2.6解：已知系统输入-输出描述为试求其状态空间描述。选取状态方程和输出方程中南大学信息学院自动化系38DgXu实现的状态变量图中南大学信息学院自动化系39DgXu能控型实现式中令定义变量中南大学信息学院自动化系40DgXu状态变量其余n-1个状态变量选为中南大学信息学院自动化系41DgXu写成矩阵形式矩阵A的最下面