2024届山西省吕梁市蕴华国际双语校中考五模数学试题含解析

2024届山西省吕梁市蕴华国际双语校中考五模数学试题

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5亳米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题(本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1.已知一次函数>二d-3且)，随x的增大而增大，那么它的图象不经过()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.已知函数)，=(4-3)/+2工+1的图象与、轴有交点.则k的取值范围是()

B.k<4C.kv4且原3D.必4且k旦

3.如图，甲圆柱型容器的底面积为30cm2,高为8cm,乙圆柱型容器底面积为xcm?,若将甲容器装满水，然后再将

甲容器里的水全部倒入乙容器中(乙容器无水滞出).则乙容器水面高度y(cm)与x(cm?)之间的大致图象是()

A.3B.372C.3GD.6

6.某商品的标价为200元，8折销售仍赚40元，则商品进价为()元.

A.140B.120C.160D.100

7.如图，淇淇一家驾车从A地出发，沿着北偏东6。"的方向行驶，到达B地后沿着南偏东50。的方向行驶来到C地,

C地恰好位于A地正东方向上，则（)

①B地在C地的北偏西50。方向上；

②A地在B地的北偏西30。方向上；

@cosZBAC=；

2

®ZACB=50°.其中错误的是（）

D.③④

8.如图，是某几何体的三视图及相关数据,则该几何体的侧面积是（）

9.《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题,原文是：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸;

屈绳量之，不足一尺.木长几何?”意思是：用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木头,

则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为J尺，则所列方程组正确的是（）

y=x+4.5y=x+4.5y=x-4.5y=x-4.5

I)

0.5y=x-ly=2x-\0.5y=x+ly=2x-\

10.已知直线m〃n,将一块含30。角的直角三角板ABC按如图方式放置（NABC=30。），其中A,B两点分别落在直

D.50°

k

11.如图直线y=/〃x与双曲线y=一交于点A、8,过4作轴于M点，连接BM,若SMMB=2,则k的值是（）

x

C.3D.4

12.根据物理学家波义耳1662年的研究结果：在温度不变的情况下，气球内气体的压强p（pa）与它的体积v（fl。）

的乘积是一个常数k,即pv=k（k为常数，k>0）,下列图象能正确反映p与v之间函数关系的是（）

二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分.）

13.因式分解：a2-a=.

\x-a>0

14-关于*的不等式组一的整数解共有3个，则〃的取值范围是

15.如图，等腰AAbC中，AB=AC=5t3c=8,点尸是边5c上不与点b,C重合的一个动点，直线。£垂直平分

BF,垂足为O.当△AC尸是直角三角形时，"O的长为

16.经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x,根据题意

可列方程是.

CF

17.如图，在△ABC中，DE〃BC,EF〃AB.若AD=2BD,则一的值等于____

BF

且NMON=120。，若四边形丛WON的面积为s,它的周长记为/,求工最小值；

S

(3)如图⑤，等边△4"。的边长43=4,点。为边C4延长线上一点，点。为边4"延长线上一点，点。为5c边

中点，且N/7)Q=120。，若%=x,请用含x的代数式表示△B/)。的面积SABOQ.

23.(8分)己知二次函数》="2一勿1-2(。工0).

(1)该二次函数图象的对称轴是；

(2)若该二次函数的图象开口向上，当—14x45时，函数图象的最高点为M,最低点为N,点心的纵坐标为二,

求点M和点N的坐标；

(3)对于该二次函数图象上的两点A(%，x),川玉,为)，设+当占23时，均有请结合图象,

直接写出/的取值范围.

24.（10分）如图，AE〃FD,AE=FD.B、C在直线EF上，且BE=CF,

(1)求证：△ABE义2XDCF；

(2)试证明：以A、B、D、C为顶点的四边形是平行四边形.

25.(10分)如图，已知在R3ABC中，ZACB=90%AOBC,CD是RtAABC的高，E是AC的中点，ED的延

长线与CB的延长线相交于点F.

(1)求证：DF是BF和CF的比例中项；

⑵在AB上取一点G,如果AE・AC=AG・AD,求证：EG・CF=ED・DF.

26.（12分）尺规作图：校园有两条路OA、OB,在交叉路口附近有两块宣传牌C、D,学校准备在这里安装一盏路

灯，要求灯柱的位置P离两块宣传牌一样远，并且到两条路的距离也一样远，请你帮助画出灯柱的位置P.（不写画图

过程，保留作图痕迹）

27.（12分）某公司销售一种新型节能电子小产品,现准备从国内和国外两种销售方案中选择一种进行销售:①若只在国

内销售，销售价格y（元/件）与月销量x（件）的函数关系式为y=一-、+150,成本为20元/件，月利润为W内（元）

若只在国外销售，销售价格为150元/件，受各种不确定因素影响,成本为a元/件（a为常数,104*0），当月销量为x（件）

时，每月还需缴纳击X2元的附加费，月利润为W外（元）.

（1）若只在国内销售，当x=1000（件）时,y=（元/件）;

（2）分别求出W内、W外与x间的函数关系式（不必写x的取值范围）；

（3）若在国外销售月利润的最大值与在国内销售月利润的最大值相同，求a的值.

参考答案

一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）

1、B

【解析】

根据一次函数的性质：k>0,y随x的增大而增大；k<0,y随x的增大而减小，进行解答即可.

【详解】

解：・・・一次函数y=kx-3且y随x的增大而增大，

，它的图象经过一、三、四象限，

，不经过第二象限，

故选：B.

【点睛】

本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数所经过的象限与k、b的值有关是解题的关键.

2、B

【解析】

试题分析：若此函数与x轴有交点，则/-3)/+2%+1=0,ANO,即4・4(k・3)K),解得：仁4,当k=3时，此函数为一

次函数，题目要求仍然成立，故本题选B.

考点：函数图像与x轴交点的特点.

3、C

【解析】

根据题意可以写出)，关于x的函数关系式，然后令x=40求出相应的j值，即可解答本题.

【详解】

解：由题意可得，

y=-30-x-8=-2-40，

xx

当x=40时，y=6»

故选C.

【点睛】

本题考查了反比例函数的图象，根据题意列出函数解析式是解决此题的关键.

4、A

【解析】

根据已知作出三角形的高线AD,进而得出AD,BD,CD,的长，即可得出三角形的面积.

【详解】

BD

J23

•1△ABC中，cosB=-----，sinC=—,AC=5,

25

72BD

..cosB=-----=------

2AB

3ADAD

•sinC=—=-----

5AC

AAD=3,

・・・CD=，52_32=4,

ABD=3,

1121

则AABC的面积是：一xADxBC=—x3x(3+4)=—.

222

故选：A.

【点睛】

此题主要考查了解直角三角形的知识，作出AD_LBC,进而得出相关线段的长度是解决问题的关键.

5、D

【解析】

连接正六边形的中心和各顶点，得到六个全等的正三角形，于是可知正六边形的边长等于正三角形的边长，为正六边

形的外接圆半径.

【详解】

如图为正六边形的外接圆，ABCDEF是正六边形，

AZAOF=10°,VOA=OF,.*.AAOF是等边三角形，.*.OA=AF=1.

所以正六边形的外接圆半径等于边长，即其外接圆半径为1.

故选D.

【点睛】

本题考查了正六边形的外接圆的知识，解题的关键是画出图形，找出线段之间的关系.

6、B

【解析】

设商品进价为x元，则售价为每件0.8x200元，由利润=售价•进价建立方程求出其解即可.

【详解】

解：设商品的进价为X元，售价为每件0.8x200元，由题意得

0.8x200=x+40

解得：x=120

答：商品进价为120元.

故选：B.

【点睛】

此题考查一元一次方程的实际运用，掌握销售问题的数量关系利润:售价•进价，建立方程是关键.

7、B

【解析】

先根据题意画出图形，再根据平行线的性质及方向角的描述方法解答即可.

【详解】

如图所示，

由题意可知，Zl=60°,N4=50。，

・・.N5=N4=50。，即B在C处的北偏西50。，故①正确；

VZ2=60°,

:.N3+N7=180。-60°=120°,即A在3处的北偏西120°,故②错误；

VZ1=Z2=6O°,

:.NR4c=30。，

,co$NBAC=®,故③正确；

2

VZ6=90°-Z5=40°,即公路AC和RC的夹角是40。，故④错误.

本题考查的是方向角，平行线的性质，特殊角的三角函数值，解答此类题需要从运动的角度，正确画出方位角，再结

合平行线的性质求解.

8、B

【解析】

由三视图可知此几何体为圆锥，.••圆锥的底面半径为3,母线长为5,

•・•圆锥的底面周长等于圆锥的侧面展开扇形的弧长，

，圆锥的底面周长二圆锥的侧面展开扇形的弧长=2九『2冗x3=6几，

；・圆锥的侧面积=11r=1x67rx5=157r,故选B

22

9、A

【解析】

根据“用一根绳子去量一根木头的长、绳子还剩余4・5尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺”可以列出相应的

方程组，本题得以解决.

【详解】

由题意可得，

y=/+4.5

0.5y=x-l'

故选A.

【点睛】

本题考杳由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组.

10、D

【解析】

根据两直线平行，内错角相等计算即可.

【详解】

因为m〃n,所以N2=N1+3O。，所以/2=30。+20。=50。，故选D.

【点睛】

本题主要考查平行线的性质，清楚两直线平行，内错角相等是解答本题的关键.

11、B

【解析】

此题可根据反比例函数图象的对称性得到A、B两点关于原点对称，再由SAABM=1SAAOM并结合反比例函数系数k的

几何意义得到k的值.

【详解】

根据双曲线的对称性可得；OA=OB,贝!]SAA&”=1SAAOM=1,SAAOM=|A|=1,

则左=±1.又由于反比例函数图象位于一三象限，A>0,所以人=1.

故选B.

【点睛】

本题主要考查了反比例函数y=&中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引X轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|,

x

是经常考查的一个知识点.

12、C

【解析】

【分析】根据题意有：pv=k(k为常数，k>0),故p与v之间的函数图象为反比例函数，且根据实际意义p、v都大

于0,由此即可得.

【详解］.・・pD=k(k为常数，k>0)

k

p=—(p>0,v>0,k>0),

v

故选C.

【点睛】本题考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定

两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限.

二、填空题：(本大题共6个小题，每小题4分，共24分.)

13、a(d-1)

【解析】

直接提取公因式a,进而分解因式得出答案

【详解】

a2-a=a(a-1).

故答案为。(a-1).

【点睛】

此题考直公因式，难度不大

14、-3<a<-2

【解析】

首先确定不等式组的解集，先利用含。的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以

得到关于〃的不等式，从而求出。的范围.

【详解】

解：由不等式①得：由不等式②得：X<1,所以不等式组的解集是“VxVl.

x-a>0

;关于X的不等式组一>0的整数解共有3个，，3个整数解为。，7,乜的取值范围是一3W

故答案为：-3<a<-2.

【点睛】

本题考查了不等式组的解法及整数解的确定.求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大

大小中间找，大大小小解不了.

15、2或2

8

【解析】

分两种情况讨论：（1）当NAFC=90。时，AF1BC,利用等腰三角形的三线合一性质和垂直平分线的性质可解；

（2）当/CAF=90。时，过点A作AM_LBC于点证明二AMCs二FAC,列比例式求出FC,从而得BF,再利

用垂直平分线的性质得BD.

【详解】

解：（1）当NAFC=90。时，AF1BC,

vAB=AC

BF=-BCABF=4

2

YDE垂直平分BF,

•・•BC=8

BD=-BF=2•

2

(2)当ZCAF=90°时，过点4作AM1.BC于点M,

VAB=AC

/.BM=CM

在RtcAMC与RbFAC中，/AMC=NTAC=90。，NC=NC,

.JAMCS二FAC,

ACMC

FCAC

:.FC=

・・・AC=5,MC=』BC=4

2

:.FC=—

4

257

/.BF=BC-FC=8--=-

44

17

...BD=-BF=-

28

7

故答案为2或

o

【点睛】

本题主要考查了等腰三角形的三线合一性质和线段垂直平分线的性质定理得应用.本题难度中等.

16、50(1-x)2=1.

【解析】

由题意可得，

50(1-x)』l,

故答案为50(l-x)J=l.

17.-

2

【解析】

根据平行线分线段成比例定理解答即可.

【详解】

解：VDE/7BC,AD=2BD,

.CE_CE_BD_1

2BD+BD~3f

VEF/7AB,

.CF=CE=CE=CE=1

…BF~AE~AC-CE=3CE-CE=2

故答案为!.

【点睛】

本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.

18、6

6

【解析】

利用特殊三角形的三边关系，求出长，求比值.

【详解】

解：如图所示，设5C=x,

二•在RtAAbC中，ZB=90°,NA=30°,

：.AC=2BC=2xtBC=V3x,

根据题意得：AD=BC=xfAE=DE=AB=y/jx，

如图，作EM_LAO于"，贝！14M=-!~AO=LX,

22

X

在中，cosZEAD=AM=T=V3,

故答案为：且.

【点睛】

特殊三角形：30。・60。・90。特殊三角形，三边比例是1：73：2,利用特殊三角函数值或者勾股定理可快速求出边的实

际关系.

三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

19、-x+1,2.

【解析】

先将括号内的分式通分，再将乘方转化为乘法，约分，最后代入数值求解即可.

【详解】

原式二(x-2)V(3-早)

X-lX-1

=(x-2)与

x-l

=(x-2)・半4

一(x-3)

当x=T时，原式=1+1=2.

【点睛】

本题考查了整式的混合运算-化简求值，解题的关键是熟练的掌握整式的混合运算法则.

20、(1)-；(2)(3)一.

39

【解析】

（1）直接利用概率公式求解;

（2）画树状图（用Z表示正确选项，C表示错误选项）展示所有9种等可能的结果数，找出小敏顺利通关的结果数,

然后根据概率公式计算出小敏顺利通关的概率;

（3）与（2）方法一样求出小颖将“求助”留在第一道题使用，小敏顺利通关的概率，然后比较两个概率的大小可判断

小敏在答第几道题时使用“求助”.

【详解】

解：（1）若小敏第一道题不使用“求助”，那么小敏答对第一道题的概率

故答案为；;

3

（2）若小敏将“求助”留在第二道题使用，那么小敏顺利通关的概率是理由如下:

画树状图为：（用Z表示正确选项，C表示错误选项）

Zcc

小ZCc个zCCcz小cc

共有9种等可能的结果数，其中小颖顺利通关的结果数为1,

所以小敏顺利通关的概率=§;

（3）若小敏将“求助”留在第一道题使用，画树状图为：（用Z表示正确选项，C表示错误选项）

zcCCzcCc

共有8种等可能的结果数，其中小敏顺利通关的结果数为1,所以小敏将“求助”留在第一道题使用，小敏顺利通关的

概率

8

由JT%1>15'

所以建议小敏在答第一道题时使用“求助”.

【点睛】

本题考查了用画树状图的方法求概率，掌握其画法是解题的关键.

21、(l)3.13cm(2)铅笔芯折断部分的长度约是0.98cm

【解析】

试题分析：(1)根据题意作辅助线OC_LAB于点C,根据OA=OB=10cm,ZOCB=90°,ZAOB=18°,可以求得NBOC

的度数,从而可以求得AB的长：

(2)由题意可知，作出的圆与(1)中所作圆的大小相等，则AE=AB,然后作出相应的辅助线，画出图形，从而可以

求得BE的长，本题得以解决.

试题解析：(1)作OC_LAB于点C,如右图2所示，由题意可得,OA=OB=10cm,ZOCB=90°,ZAOB=18°,AZBOC=9°,

.*.AB=2BC=2OB*sin9°-2xl0x().1564^3.13cin,即所作圆的半径约为3.13cm；

(2)作AD_LOB于点D,作AE=AB,如下图3所示，，・•保持NAOB=18。不变，在旋转臂OB末端的铅笔芯折断了一

截的情况下，作出的圆与(1)中所作圆的大小相等，・•・折断的部分为BE,VZAOB=18°,OA=OB,NODA=90。，

.\ZOAB=81°,ZOAD=72°,AZBAD=9°,，BE=2BD=2AB・3in9%2x3.13x().1564R.98cm,即铅笔芯折断部分的长

度是0.98cm.

考点：解直角三角形的应用；探究型.

22、(1)详见解析；(2)2+2有；(3)S"QBX+6

2

【解析】

(1)根据要求利用全等三角形的判定和性质画出图形即可.

(2)如图④中，作于30F_L8C于尸，连接。氏证明△尸N(ASA),推出EM=FN,ON=

O"，SARM=SANS，推出5四皿阳8=5四皿6松尸=定值，证明RtAOAE9RS09"〃，〉,推出BM\BN=BE^EM\BF

-fW=2B£=定值，推出欲求!最小值，只要求出/的最小值，因为，=5M+〃N+ON+OM=定值+ON+OM所以欲求！

SS

最小值，只要求出ON+OM的最小值，因为OM=ON,根据垂线段最短可知，当与OE重合时，0M定值最小，

由此即可解决问题.

(3)如图⑤中，连接4。，作OEJL48于E,。尸_LAC于尸.证明△尸。尸(4S4),即可解决问题.

【详解】

解：(D如图L作一边上的中线可分割成2个全等三角形，

如图2,连接外心和各顶点的线段可分割成3个全等三角形，

如图3,连接各边的中点可分割成4个全等三角形，

(2)如图④中，作0E_L48于HOF_L“C于凡连接。氏

・・・△ABC是等边三角形，。是外心，

平分NA3C,NA5C=600・・・OE_LA3,OF±BCt

：.OE—OF,

VNOEB=NO尸8=90°,

:.NEOF+NEE产=180°,

:.NEOF=NNOM=120°,

：,4EOM=4FON,

：.^OEM^^OFN(ASA),

AEOMAN

:,EM=FN,ON=OMfS=S»，

S四）a修RMON=S四m修HEOF

*：OB=OByOE=OFtNOEB=NOFB=90。,

ARtAOBE^RtAOBF(HL),

:,BE=BF,

；.BM+BN=BE+EM+BF-FN=2BE=定恒,

・・・欲求!最小值，只要求出/的最小值，

S

V/=BM+BN+ON+OM=定值+ON+OM,

欲求！最小值，只要求出ON+OM的最小值，

s

•；OM=ON,根据垂线段最短可知，当OM与。£重合时，0M定值最小，

此时一定值最小，s=-x2x二_,1=2+2++—i—=4+——

S233333

.4+建

••-的最小值=.京=2+2百.

亍

(3)如图⑤中，连接40,作OEJLAB于E,。尸_LAC于尸.

•••△A5C是等边三角形，BD=DCf

1・AD平分N6AC,

*：DE±ABt。尸_LAC,

：.DE=DFt

VZDEA=ZDEQ=NA产。=90。，

••・NEAF+NEDF=180。,

VZ£AF=60°,

:.乙EDF=4PD2=120°,

：・NPDF=NQDE,

:ZD0RQDE(ASA),

：.PF=EQt

在RSDC尸中，＜DC=2,ZC=60°,ZDFC=90°,

:.CF=：CD=\,DF=曰

同法可得：BE=1,DE=I)F=y[3t

・；AF=AC・CF=4・1=3,PA=xf

：.PF=EQ=3+xt

：.BQ=EQ-BE=2+xt

]1/T

:.SABDQ=-・BQ・DE=-X(2+x)x右=2{_x+6.

【点睛】

本题主要考查多边形的综合题，主要涉及的知识点：全等三角形的判定和性质、多边形内角和、角平分线的性质、等

量代换、三角形的面积等，牢记并熟练运用这些知识点是解此类综合题的关键。

(11、(5、

23、(l)x=l;(2)M；⑶一14/<2

【解析】

(1)一次函数的对称轴为直线带入即可求出对称轴，

2a

(2)在区间内发现能够取到函数的最低点，即为顶点坐标,当开口向上是，距离对称轴越远，函数值越大，所以当x=5时，函

数有最大值.

(3)分类讨论,当二次函数开口向上时不满足条件，所以函数图像开口只能向下,且占应该介于，和3之间,才会使

%2%,解不等式组即可.

【详解】

(1)该二次函数图象的对称轴是直线工=e=l;

2a

(2),・•该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线工=1,-l<x<5,

(11、

・••当x=5时，)'的值最大，即

(11Ai

把“5,彳1代入丫=0^2_20¥_2,解得々=2.

・•・该二次函数的表达式为y=-x2-x-2.

当x=l时，)，=一1,

(3)易知a<0,

・.・当々23时，均有必之为，

/>-1

,小解得-1金42

[r+l<3

的取道范围一1WY2.

【点睛】

本题考查了二次函数的对称轴,定区间内求函数值域，以及二次函数图像的性质，难度较大，综合性强，熟悉二次函数的单

调性是解题关键.

24、(1)证明见解析；(2)证明见解析

【解析】

(1)根据平行线性质求出N3=NC,等量相减求出8E=CF,根据SAS推出两三角形全等即可；

(2)借助(1)中结论△A8E0△OCF,可证出AE平行且等于OF,即可证出结论.

证明：(1)如图，,:AB〃CD,

:・/B=£C.

•：BF=CE

：.BE=CF

;在△487?与4OC尸中，

'ABXD

<NB=NC,

BEXF

：.^ABE^/^DCF(SAS)；

(2)如图，连接A尸、DE.

B

C<-------------

由（1）知，RABEWADCF,

；.AE=DF,ZAEB=ZDFCf

:.NAEF=NDFE,

：.AE//DFt

・••以A、尸、D、E为顶点的四边形是平行四边形.

25、证明见解析

【解析】

试题分析：（1）根据己知求得NBDF=NBCD,再根据NBFD二NDFC,证明△BFDsaDFC,从而得BF：DF=DF：

FC,进行变形即得；