《单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质》教学设计

高中数学精编资源1/10《单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质》教学设计必备知识学科能力学科素养高考考向1.正弦函数、余弦函数的基本性质学习理解能力观察记忆概括理解说明论证应用实践能力分析计算推测解释简单问题解决迁移创新能力综合问题解决猜想探究发现创新数学抽象【考查内容】正弦函数、余弦函数值的符号【考查题型】选择题、填空题2.正弦函数、余弦函数值的符号逻辑推理数学运算一、本节内容分析本节内容包含正弦函数、余弦函数的基本性质.通过本节的学习,使学生根据三角函数的有关知识求三角函数值、化简三角函数式、证明三角恒等式.本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:核心知识1.正弦函数、余弦函数的基本性质2.三角函数值的符号数学抽象数学运算逻辑推理核心素养二、学情整体分析学生熟悉的函数是实数到实数的对应,这里给出的函数首先是实数(弧度数)到点的坐标的对应,然后才是实数(弧度数)到实数(横坐标或纵坐标)的对应,学生在理解上可能会有一定的困难.学情补充:_____________________________________________________________________________________________________________________________________________________三、教学活动准备【任务专题设计】1.正弦函数、余弦函数值的性质【教学目标设计】1.根据定义理解正弦、余弦函数在各个象限及坐标轴上的符号,求一些特殊角的三角函数值.【教学策略设计】1.理解三角函数的定义,教学时,利用多媒体工具,可以很容易地建立起角的终边和单位圆的交点坐标的联系,并在角的变化过程中,将这种联系直观地体现出来,引导学生考虑当角的终边与坐标轴重合时怎么处理;引导学生通过自已的思维活动得出教材中“探究”栏目里问题的结论.2.在处理教材上的例题时,建议先让学生独立完成,然后教师指出其中出现的问题,再进行点评、总结、提升,另外,整个教学过程要向学生渗透分类讨论的意识.【教学方法建议】探究教学法,演示教学法,还有________________________________________________【教学材料准备】1.常规材料:多媒体课件______________________________________________________2.其他材料:________________________________________________________________四、教学活动设计教学精讲探究1正弦函数、余弦函数值的符号师:学习了正弦函数、余弦函数的定义,接下来研究它们的一些性质,即自变量的取值范围各是什么?各象限角的正弦函数、余弦函数值的符号如何?【先学后教】先通过问题引导学生从定义出发、学习,利用直角坐标平面内点的坐标的特征得出定义域、函数值的符号等结论.【情境设置】探究正弦函数、余弦函数的符号根据任意角的正弦函数、余弦函数定义,先将正弦,余弦,正切函数在弧度制下的定义域填入表格,再将这两种函数的值在各象限的符号填入图中的括号.【教师提示:利用坐标平面内点的坐标的特征得出定义域、函数值的符号等结论,注意正切函数定义域的特殊性,学生思考,讨论,填表】师:通过填表,你能总结出各三角函数在各象限的符号有什么规律吗?【学生思考,讨论,回答问题】生:在第一象限各正弦函数、余弦函数值均为正,第二象限只有正弦值为正,第四象限只有余弦值为正.师:还可以根据角的终边所在象限判断其终边上任意一点(x,y)的坐标符号,结合定义可确定弦函数、余弦函数值的符号.【要点知识】正弦函数、余弦函数值符号【概括理解能力】根据正弦函数、余弦函数的定义,通过填表探究函数值的符号,总结正弦函数、余弦函数在各象限内的符号规律,培养学生的概括理解能力.探究2诱导公式(一)师:接下来看一道例题.【典型例题】根据三角函数的函数值符号解决问题例1求证:角为第三象限角的充要条件是师:本题中,谁是条件,谁是结论?生:“①②式”是条件,“角为第三象限角”是结论.师:回忆一下,如何证明这类问题?生:既要证充分性,又要证必要性.师:你能尝试进行证明吗?生:先证充分性,即如果①②式都成立,那么为第三象限角.因为①式成立,所以角的终边可能位于第三或第四象限,也可能与y轴的负半轴重合;又因为②式成立,所以角的终边可能位于第一或第三象限.因为①②式都成立,所以角的终边只能位于第三象限.于是角为第三角限角.师:根据三角函数的定义可知,只要知道角α终边上任意一点的坐标,就可以求得角α的三角函数值,那么角不同是不是对应的三角函数值不相等?生:不是.师:什么情况下角不同,三角函数值会相等?生:终边相同的时候.师:由三角函数的定义可知,终边相同的角的同一三角函数的值相等.你能用数学式子来表示吗?【推测解释能力】学生在教师的引导启发下,回忆思考证明的方法,利用各象限角的三角函数值的符号进行充要条件的证明,培养学生推测解释能力,从而提升学生的逻辑推理素养.【学生思考、尝试回答问题,教师展示结果】【归纳总结】诱导公式一师:由诱导公式一可知三角函数值有“周而复始”的变化规律,即角α的终边每绕原点旋转一周,函数值将重复出现.那么诱导公式一有什么作用?生:在运算中起到化简的作用,即利用诱导公式一,可以把任意角的三角函数值,转化为求0~2π(或0°~360°)角的三角函数值.【少教精教】在具体的问题情境中,启发学生寻找共同规律,自主思考总结可以表示这一规律的数学表达式,最终师生一起得出诱导公式(一),并且在思考的过程中,总结得到诱导公式的作用,从而达到少教精教的目的.师:我们已经知道利用诱导公式一可以确定三角函数的符号,那具体怎么计算呢?看下面例题【典型例题】利用诱导公式一确定三角函数的符号例2确定下列三角函数值的符号,然后用计算工具验证:(1);(2).【教师提示:利用诱导公式一把所给的角化为(或)终边相同的角,再确定三角函数值的符号,学生思考并解答】生:(1)∵是第三象限角,∴.(2)∵是第四象限角,∴.【分析计算能力】通过例2利用诱导公式,把所求三角函数进行转化成特殊三角函数,从而求值,并注意分析其中的符号正负,充分提升学生的分析计算能力.【学生独立完成后用计算工具验证】师:下面看利用诱导公式一求三角函数值的例题.【典型例题】利用诱导公式一求三角函数值例3求下列三角函数值:(1)(精确到);(2);【教师提示:可以先利用诱导公式一对角进行转化,再由特殊角的三角函数值或计算器求值,也可以直接利用计算工具求三角函数的值.用计算工具求值时要注意设置角的适当的度量制,学生思考并解答.】生:(1).(2).【以学定教】教师通过例3让学生自主练习,计算具体角度的三角函数值,在求值的过程中,也巩固了诱导公式的应用,以学生的理解与掌握为中心,体现了以学定教的教学策略.师:接下来我们通过几道题巩固练习一下.【巩固练习】三角函数的性质1.填表:2.(口答)设是三角形的一个内角,在中,哪些有可能取负值?【学生独立计算,并回答问题】生:1001-12.当为钝角时,cos取负值.【整体学习】学完本节,利用巩固练习进行知识的复习整理和巩固,在做题过程中加深对三角函数概念的理解与相关做题方法的掌握.【分析计算能力】学生独立计算课堂巩固练习,在计算过程中体会知识的生成和应用,在应用过程中锻炼了分析计算能力.师:通过这节课你学到了什么知识?【课堂小结】三角函数的性质【设计意图】通过对三角函数性质的学习,利用了先学后教、少教精教、以学定教的教学策略和整体学习的学习策略,培养了学生概括理解能力、分析计算能力、推测解释能力,提升了学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养.教学评价通过本节课的学习,学生理解三角函数的概念,能根据三角函数的定义确定三角函数的符号,并会运用它们进行简单三角函数式的化简、证明和求值运算.应用所学知识,完成下题:已知:,且有意义.(1)试判断角所在的象限.(2)若角的终边上一点是,且(为坐标原点),求的值及的值.解析:(1)要判断角所在的象限,先确定角的三角函数值的符号.由,可知,由有定义,,所以,角在第四象限.(2)利用勾股定理可得关于的方程,进而解方程、利用定义计算即可.由得,解得.又角在第四象限,由正弦函数的定义可知.【设计意图】围绕本节知识点——三角函数的概念、三角函数的性质引导学生整理知识,体会知识的生成、发展、完善的过程,锻炼学生观察记忆、说明论证、概括理解、推测解释、分析计算,简单问题解决等学科能力,从而达到数学运算、数学抽象、逻辑推理的核心素养目标要求.教学反思本节内容分主要是对三角函数这一部分知识的理解与认识,三角函数是一类最典型的周期函数,是解决实际问题的重要工具,同样也是学习数学、物理和天文等其他学科的重要基础.在本节的教学中,应注意强调以周期变化