天津市五区县重点校联考2025届高三上学期11月期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1天津市五区县重点校联考2025届高三上学期11月期中联考数学试题第Ⅰ卷（共45分）一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分）1.已知集合，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为，，则，且，所以.故选：C.2.对于任意实数，，“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当时，满足成立，但不满足成立，所以“”是“”的不充分条件，因为，所以，又，所以，所以“”是“”的必要条件,所以“”是“”的必要不充分条件.故选：B.3.下列四个函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是（）A B.C. D.【答案】A【解析】对于A，由，，所以为偶函数，又，又，所以，所以在上为增函数，故A正确；对于B，，所以，所以为奇函数，故B错误；对于C，，，所以为奇函数，故C错误；对于D，，，所以为偶函数，又，所以，所以在上为减函数，，故D错误.故选：A.4.已知函数，则曲线在点处切线的斜率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以，所以，所以曲线在点处切线的斜率为.故选：B.5.设，，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】，，又，所以，所以，所以.故选：B.6.已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是().A. B.C. D.【答案】A【解析】由题意知，当时函数单调递增，所以，当时，为单调递增函数，所以，又因为，，使得，即在的最大值不小于在上的最大值，即，解得，即.故选：A.7.已知函数在有且仅有2个极小值点，且在上单调递增，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】对于函数，极小值点为.，令，.因为有且仅有个极小值点.当时，；当时，；当时，.所以，解不等式得.因为的单调递增区间为.对于，令，则.因为在上单调递增，所以.当时，，则且.解不等式得.综合以上两个条件，的取值范围是.故选：D.8.在中，，是边中点，线段长为，，是边上一点，是的角平分线，则的长为（）A. B. C.2 D.【答案】B【解析】边中点，则，所以，即，解得，，是的平分线，则，，，在中，，故选：B．9.某牧场今年年初牛的存栏数为1100头，预计以后每年存栏数的增长率为，且在每年年底卖出100头牛.若该牧场从今年起每年年初的计划存栏数构成数列，，则大约为（）（参考数据：，，，）A.1240 B.1260 C.1280 D.1290【答案】B【解析】依题意，当时，，则，于是数列是首项为，公比为1.1的等比数列，则，即，所以.故选：B．第Ⅱ卷（共105分）二、填空题（本题共6小题，每题5分，共30分）10.已知为虚数单位，则______________.【答案】【解析】，故答案为：．11.设，那么______________.【答案】【解析】因为由换底公式可得，∴，即，∴.12.已知向量，满足，，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为，则________.【答案】【解析】由得，因为向量在向量方向上的投影向量的坐标为，所以，即，所以，所以.13.已知，，则的最小值为________.【答案】【解析】∵，∴．由可得，∴，当且仅当且，即时取等号，则的最小值为.14.在中，，，点为的中点，点为的中点，若设，，则可用，表示为________；若，则的最大值为________.【答案】【解析】(1)因为点D为AB的中点，所以.又因为，根据向量加法，可得.因为点E为CD的中点，所以，即.再根据向量加法，可得.（2）因为，，所以..，在中，，根据向量数量积公式，可得.由，根据余弦定理，即.根据基本不等式，可得，即.将代入的表达式：因为，取得最大值，最大值为.15.已知函数.若，则函数y=fx的零点为________；若函数y=fx的最小值为，则实数的值为________.【答案】1或2【解析】空1，当时，，当时，由，得，解得，当时，由，得，，无解，所以函数y=fx的零点为；空2，①若，即时，则，所以在上单调递减，最小值为；在上的最小值为．因为函数最小值为，所以．②当，即时，则，所以在上先减后增，最小值为；在上的最小值为．因为函数最小值为，所以，解得，不合题意，舍去．，③当，即时，则，所以在上先减后增，最小值为；在上的最小值为．因为函数最小值为，所以，解得或（舍去）．综上可得或.三、解答题（本题共5小题，共75分）16.在中，角，，所对的边分别是，，，已知.（1）求角的大小；（2）设，（i）求的值；（ii）求的值.解：（1）因为，由正弦定理可得：，则，因为在中，，所以，则有，因为，所以，，故；（2）（i）由（1）知：，在中，因为，，由余弦定理可得：，则.（ii）在中，由正弦定理可得：，即，所以，因为，所以，则为锐角，所以，则，，所以17.设函数.（1）求函数的最小正周期；（2）求函数的单调递增区间及对称轴；（3）在锐角中，内角，，对边分别是，，，且，求的取值范围.解：（1）所以函数的最小正周期为；（2）令，得，，所以函数的单调递增区间是.令，，得，，所以函数的对称轴为，.（3）锐角中，，，解得，所以，所以，所以的取值范围是.18.已知等比数列的公比，，是，的等差中项.等差数列满足，.（1）求数列，的通项公式；（2），求数列的前项和；（3）将数列与数列的所有项按照从小到大的顺序排列成一个新的数列，求此新数列的前项和.解：（1）依题有，因为，解得：，，.数列是等差数列，设其公差为，，解得：，.（2）数列的前项和记为，则，因为，所以，，两式相减有，所以.（3）因为，，设新数列为，因为数列与数列都是递增数列，且，，又因为，所以数列的前项由中的前项和中的前项构成，所以.19.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，求函数的最小值，并证明；（3）当时，若关于的不等式在区间0,+∞上有解，求的取值范围.解：（1）的定义域为0,+∞，，①当时，f'x<0恒成立，∴fx在②当时，当时，f'x>0，当时，f'∴fx在上单调递减，在上单调递增.综上可得：当时，在0,+∞上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增.（2）当时，，由（1）可知在上单调递减，在上单调递增，故，所以当时，函数的最小值为，因为，即，当时，，即，即，令，则，所以，故当时，.即（3）关于的不等式在区间0,+∞上有解，即在0,+∞上有解，即在0,+∞上有解，又，由（1）可知时，即，令，则，则在上有解，令，则，令，得，所以，当时，，当时，，即在上单调递减，在0,+∞上单调递增，又h1=0，，，所以存在使得，所以，当或时，，当时，，所以只需，即时满足题意.所以的取值范围为0,120.给定数列，若对任意，且，是中的项，则称为“数列”；若对任意，且，是中的项，则称为“数列”.（1）设数列的前项和为，若，试判断数列是否为“数列”，并说明理由；（2）设数列既是等比数列又是“数列”，且，，求公比的所有可能值；（3）设等差数列的前项和为，对任意，是数列中的项，求证：数列是“数列”.解：（1）因为，当时，，当时，也成立，所以，所以对任意，且，，是“数列”（2）因为，，数列是等比数列