天津市宁河区2024届高三上学期期末考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1天津市宁河区2024届高三上学期期末数学试题参考公式：圆柱的体积公式，其中表示圆柱的底面面积，表示圆柱的高．圆锥的体积公式，其中表示圆锥的底面面积，表示圆锥的高．第Ⅰ卷一、选择题1.设集合，，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由已知，则.故选：D.2.设，则“”是“”（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由可得，故充分性满足；由不一定得到，比如，故必要性不满足，所以“”是“”的充分不必要条件.故选:A.3.2023年7月28日，第31届世界大学生夏季运动会（简称大运会）在四川成都开幕，这是继2001北京大运会，2011深圳大运会之后，中国第三次举办夏季大运会；在成都大运会中，中国代表团取得了骄人的成绩．为向大学生普及大运会的相关知识，某高校进行“大运会知识竞赛”，并随机从中抽取了200名学生的成绩（满分100分）进行统计，成绩均在内，将其分成5组：，，，，，并整理得到如下的频率分布直方图，则在被抽取的学生中，成绩落在区间内的人数为（）A.20 B.40 C.60 D.80【答案】C【解析】由频率分布直方图可得，解得，所以成绩落在区间内的人数为.故选：C.4.设，，，则的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为，，易知函数是增函数，又，所以，又易知是减函数，所以，得到，故选：B.5.函数在区间上的图象大致是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为，，，所以，图像关于原点对称，故选项A和B错误，又，，，所以选项C错误，选项D正确，故选：D.6.如图，在直角梯形中，，，，，，以所在直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，则该几何体的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】旋转后所得几何体为圆柱挖去一个同底的圆锥的组合体，如图所示：其中圆柱与圆锥的底面半径都等于圆柱的高等于，圆锥的高等于，底面圆的面积为，圆锥的体积为，圆柱的体积为，所以所得几何体的体积为．故选：C.7.已知数列满足：，若，则（）A.48 B.24 C.16 D.12【答案】A【解析】由得，所以数列为公差为1的等差数列，所以，所以，所以.故选：A.8.已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则双曲线的方程为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为双曲线的渐近线方程为，所以，得到，又抛物线的准线方程为，所以，又，得到，所以双曲线的方程为，故选：D.9.已知函数的图象关于对称，它的最小正周期为，关于该函数有下面四个说法：①的图象过点②在区间上单调递减；③当时，的取值范围为；④把函数的图象上所有点向右平行移动个单位长度，可得到的图象．以上四个说法中，正确的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】的最小正周期为，所以，得，由关于对称，则，所以，解得，又，所以，所以，对于①：，①错误；对于②：由得，函数在上单调递减，所以在区间上单调递减，②正确；对于③：由得，函数在上的值域为，所以的取值范围为，③错误；对于④，把函数的图象上所有点向右平行移动个单位长度得，④正确；故选：B.第Ⅱ卷二、填空题10.是虚数单位，复数________．【答案】【解析】.故答案为：11.在的展开式中，的系数是________．【答案】【解析】因为展开式的通项公式为，所以的系数为，故答案为：.12.过点且倾斜角为的直线和圆相交于A，B两点，则________．【答案】【解析】因为，所以直线方程为，即，圆心到直线的距离为，故，故答案为：13.甲和乙两个箱子中各装有大小质地完全相同的个球，其中甲箱中有个红球、个白球和个黑球，乙箱中有个红球、个白球和个黑球．若从甲箱中不放回地依次随机取出个球，则两次都取到红球的概率为__________；若先从甲箱中随机取出一球放入乙箱；再从乙箱中随机取出一球，则从乙箱中取出的球是红球的概率为__________．【答案】【解析】因为从甲箱中不放回地依次随机取出个球，共有种取法，又两次都取到红球，共有种取法，由古典概率公式知，两次都取到红球的概率为，记事件：表从甲箱中随机取出一球是红球，记事件：表从甲箱中随机取出一球是白球，记事件：表从甲箱中随机取出一球是黑球，记事件：从乙箱中取出的球是红球，则，，所以.故答案为：；.14.在平行四边形中，，是的中点，，若设，则可用，表示为__________；若的面积为，则的最小值为________．【答案】【解析】如图所示，根据向量的运算法则，可得，设，因为的面积为，可得，即，又由，当且仅当时，等号成立，所以最小值为.故答案为：；.15.已知定义在上的函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是_________.【答案】.【解析】数形结合，由直线与曲线的位置关系可得当时有两个交点，即函数恰有两个零点.三、解答题16.在中，角所对的边分别为，已知，，．（1）求的值；（2）求的值；（3）求的值．解：（1）根据为三角形的内角可得，根据正弦定理得；（2）根据余弦定理，解得，（负值舍去）；（3）因为，所以为锐角，所以，所以，，所以.17.如图，且，，且，且，平面，，M为棱的中点．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求平面与平面夹角的余弦值．（1）证明：由平面，，如图建立空间直角坐标系，则，所以，设面的法向量为，则，取可得，此时，所以，又面，所以平面；（2）解：设直线与平面所成角为，，所以，即直线与平面所成角的正弦值为；（3）解：设面的法向量为，，则，取可得，设平面与平面夹角为，所以.即平面与平面夹角的余弦值.18.记是等差数列的前项和，是等比数列，且满足，，，．（1）求和通项公式；（2）对任意的正整数，设，求数列的前项和；（3）求数列的前项和．解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则，解得，所以；（2）由（1）得，（3）由（1）得，则，所以两式相减得.所以.19.已知椭圆的左顶点为，上顶点为，离心率为，．（1）求椭圆的方程；（2）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点在圆上，直线，的斜率分别为，，且，求证：（i）；（ii）直线过定点，并求出此定点的坐标．（1）解：由题知，，，又，解得，所以椭圆的方程为.（2）证明：（i）由（1）知，设直线，直线，由，消得到，得到，，所以，由，消得到，得到，，所以，故，，所以，故，（ii）由（i）知，所以直线的方程为，整理得到，所以直线过定点，定点为.20.已知函数，．（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）求的单调区间；（3）设是函数的两个极值点,证明：．（1）解：当时，，得，则，，所以切线方程为，