四川省成都市2023-2024学年高一上学期1月期末调研考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1四川省成都市2023-2024学年高一上学期1月期末调研考试数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】因为集合，故，A错误；由于，但，故A不是B的子集，B错误，，C错误；，D正确.故选：D.2.命题“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】命题“”的否定是：.故答案为：C.3.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】.故选：B.4.“两个三角形全等”是“两个三角形的周长相等”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当两个三角形全等时，它们的周长一定相等，当两个三角形的周长相等时，它们不一定全等，比如边长为3，4，5的直角三角形和边长为4的正三角形，故“两个三角形全等”是“两个三角形的周长相等”的充分不必要条件.故选：A.5.函数图象的对称中心是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函数，其图象可由的图象向上平移1个单位得到，而的图象对称中心为，故图象的对称中心是.故选：B.6.已知定义在上的函数满足：且都有.若，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题意可得在上单调递减，若可得.故选：D.7.已知，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】，，，且，则.故选：A.8.函数的零点个数是（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】函数的零点个数转化为与交点个数，画出图象如图，由图象可得与只有一个交点，所以函数只有一个零点.故选：B.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题为真命题的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】BD【解析】若，取，则，故A错误；若，则，则，故B正确；若，取，则，故C错误；若，由不等式的性质得，故D正确.故选：BD.10.下列四个函数中，以为最小正周期，且为奇函数的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】对于A，的最小正周期为，且为奇函数，故A正确；对于B，的最小正周期为，故B错误；对于C，最小正周期为，为偶函数，故C错误；对于D，最小正周期为，为奇函数，故D正确.故选：AD.11.已知函数，则（）A.的定义域为 B.为偶函数C.在上单调递增 D.的最大值是0【答案】ABD【解析】由且，解得，则的定义域为，故A正确；∵，则偶函数，故B正确；∵，，令，当时，单调递减，而在上单调递增，则在上单调递减，故C错误；∵，，令，当时，，则的最大值是，故D正确.故选：ABD.12.已知为实数，表示不超过的最大整数，例如，.则（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】对于A，不妨取，则，则此时，A错误；对于B，由定义表示不超过的最大整数，可知成立，如图，作出的图象，可知成立，故，B正确；对于C，若x为整数，则，成立；若x为有小数部分的数，不妨设，由于，故成立等价于成立，等价于成立，当时，上式左边=0，右边=0，成立，当，上式左边=1，右边=1，成立，故成立，C正确；对于D，，当时等号成立，故，而后面等号在x为整数时取到，故等号不同时成立，则，D正确.故选：BCD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡上.13.的值是__________.【答案】6【解析】.故答案为：6.14.若，则__________.【答案】【解析】，.故答案为：.15.已知是定义域为的奇函数，且是偶函数.若，则的值是__________.【答案】【解析】由题意知是定义域为的奇函数，，故，则，由是偶函数，得，令，则，即；令，则，即，故.故答案为：.16.若关于的方程恰好有四个不同的实数根，则实数的取值范围是__________.【答案】【解析】由题意可知时，，即不是该方程的解，故令，则即为，作出函数的图象如图示：结合图象可知，若只有一个解，则最多有2个解，不合题意；故要使得恰好有四个不同的实数根，需有2个不等正数根，且两根分别处于内，由可得，设，作出其图象：当时，，故.故答案为：.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知全集，集合.（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围.解：（1）当时，则，又易得，所以，又，于是，所以.（2）因为，，又因为，所以，所以实数的取值范围是.18.已知函数.（1）求函数的单调递增区间；（2）求函数在上的值域.解：（1）令，则的单调递增区间为，故，解得，故函数的单调递增区间为.（2）因为，故，则，故，即的值域为.19.如图所示，一条笔直河流（忽略河的宽度）两侧各有一个社区（忽略社区的大小），社区距离上最近的点的距离是社区距离上最近的点的距离是，且.点是线段上一点，设.现规划了如下三项工程：工程1：在点处修建一座造价0.1亿元的人行观光天桥；工程2：将直角三角形地块全部修建为面积至少的文化主题公园，且每平方千米造价为亿元；工程3：将直角三角形地块全部修建为面积至少的湿地公园，且每平方千米造价为1亿元.记这三项工程的总造价为亿元.（1）求实数的取值范围；（2）问点在何处时，最小，并求出该最小值.解：（1）因为直角三角形地块全部修建为面积至少的湿地公园，所以，解得：，直角三角形地块全部修建为面积至少的文化主题公园，所以，解得：，故实数的取值范围为.（2）依题意可得：，当且仅当，即时取等，所以当点满足时，最小，最小值为亿元.20.已知定义在上的函数.（1）判断函数在上的单调性，并用定义给出证明；（2）解关于的不等式.解：（1）函数在上单调递增，证明：任取，且，，因为，且，所以，从而，即，所以函数在上单调递增.（2）由（1）知在上单调递增，同理可证在上单调递减，令，则，且，注意到，所以，即，因为在上单调递增，所以，所以不等式的解集是.21.已知函数.（1）当时，求函数在区间上的最小值；（2）若存在，使得成立，求的取值范围.解：（1）当时，，当时，设，则，所以当，即时，，即函数在区间上的最小值为1.（2）若时，，则，可化为，即方程存在大于零的解，则，或，解得或，故的取值范围为.22.已知函数，其中.（1）当时，若，求的值；（2）证明：；（3）若函数的最大值为，求的值.解：（1）当时，，当时，，不合题意；当时，，由得，，符合题意，故.（2）的定义域为，要证明，只需证，只需证：，只需证：，只