上海市长宁区2025届高三上学期期中考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1上海市长宁区2025届高三上学期期中考试数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）考生应在答题位置直接填写结果.1.已知集合，.若，则实数a的值是______.【答案】9【解析】集合，，，，则a的值是9.2.函数的定义域是______.【答案】【解析】由，解得或，所以定义域为.3.设复数，则复数在复平面内对应的点的坐标是______.【答案】【解析】因为，则，因此，复数在复平面内对应的点的坐标是.4.双曲线的渐近线方程是___________.【答案】【解析】因为双曲线方程为，所以双曲线渐近线方程为，即.5.已知，，，，，则______.【答案】【解析】因为，，，，，所以.故答案为：.6.在的展开式中，含的项的系数为_________.【答案】10【解析】因的展开式的通项为，依题意，需使，解得，则.故答案为：10.7.记为数列的前项和，若，则______.【答案】【解析】因为为数列的前项和，且，则.8.为实数，且不等式恒成立，则实数的取值范围是____________.【答案】【解析】因为不等式对任意的实数恒成立，则，由绝对值三角不等式可得，当且仅当时，等号成立，即的最小值为，所以，.故答案为：.9.已知1，2，2，2，3，4，5，6的中位数是，第75百分位数为，则__________．【答案】【解析】由题意得，，所以．10.已知，，则______．【答案】【解析】由题意知：，，可得．11.已知是定义域为的奇函数，当时，，则_______．【答案】【解析】因为是定义域为的奇函数，所以，所以，，又当时，，所以，，所以,故答案为：.12.已知数列是公差不为的等差数列，，且、、成等比数列，设，则的前项和为______.【答案】【解析】设等差数列的公差为，则，因为、、成等比数列，则，即，即，因为，解得，所以，，所以，，对任意的，，，，，所以，，因为，故数列bn的前项和为.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分）每题有且正确答案，考生应在答题纸的相应位置.13.“”是“”成立的（）条件.A.充分非必要 B.必要非充分C.充分必要 D.既非充分又非必要【答案】A【解析】由小范围推大范围可知为充分非必要条件，故选：A.14.为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（）A.向左平移个单位 B.向左平移个单位C.向右平移个单位 D.向右平移个单位【答案】A【解析】，则把函数图象上所有的点向左平移个单位即可，故选：A.15.被誉为信息论之父的香农提出了一个著名的公式：，其中为最大数据传输速率，单位为；为信道带宽，单位为Hz；为信噪比.香农公式在5G技术中发挥着举足轻重的作用.当，时，最大数据传输速率记为；当，时，最大数据传输速率记为，则为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由条件可知，，.故选：D16.在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AC∩BD=O，E是线段B1C（含端点）上的一动点，则①OE⊥BD1；②OE面A1C1D；③三棱锥A1﹣BDE的体积不是定值；④OE与A1C1所成的最大角为90°．上述命题中正确个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】利用平面，可得OE⊥BD1，所以①正确；利用平面平面，可得OE面A1C1D，所以②正确；根据，且底面的面积为定值，且到平面的距离为定值，所以该棱锥的体积为定值，所以③不正确；当在处时，OE与A1C1所成的的角为90°，所以④正确；所以上述命题中正确的个数为3，故选：C.三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为，b，c，．（1）求∠B；（2）若b＝2，c＝2a，求△ABC的面积．解：（1）在△ABC中，由正弦定理，因为，所以，又，∴，所以，即，因为，所以；（2）因为b＝2，c＝2a，由余弦定理得，∴，解得，则，所以△ABC的面积.18.设（1）求函数的单调递增、递减区间；（2）当时，恒成立，求实数m取值范围．解：（1），令，解得或，当或时，，为增函数，当时，，为减函数综上：函数的单调递增区间为和，递减区间为.（2）当时，恒成立，只需使在上最大值小于m即可由（1）知最大值为、端点值中的较大者.∴在上的最大值为,∴，所以实数m的取值范围是19.如图，在三棱柱中，平面，，分别为，的中点，，.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.（1）证明：在三棱柱中，因为平面，平面，所以.又分别为的中点，则，所以.因为为中点，所以.又，平面，平面，所以平面.（2）解：由（1）知，.又平面，所以平面.因为平面，所以，所以两两垂直.如图，建立空间直角坐标系，则，所以.设平面的一个法向量为，则即令，则.于是.设直线与平面所成角为，则.所以直线与平面所成角的正弦值为.20.已知椭圆的一个顶点为，焦距为.（1）求椭圆的方程；（2）过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点、，直线、分别与轴交于点、，当时，求的值.解：（1）依题意可得，，又，所以，所以椭圆方程为.（2）依题意过点的直线为，设、，不妨令，由，消去整理得，所以Δ=16k所以，，直线的方程为，令，解得，直线的方程为，令，解得，所以，所以，即即即整理得，解得.21.已知函数的定义域为，导函数为，若对任意的，均有，则称函数为上的“M一类函数”.（1）试判断是否为其定义域上的“M一类函数”，并说明理由；（2）若函数为其定义域上的“M一类函数”，求实数的取值范围.（3）已知函数为其定义域上的“M一类函数”，求实数的最大整数值.解：（1）函数不是其定义域上的“M一类函数”.理由如下：的定义域为，存在，使得，故不是其定义域上“M一类函数”（2），所以.若函数在上为“M一类函数”，则在上恒成立，即在上恒成立.因为在上