陕西省安康市2025届高三上学期开学学情摸底考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1陕西省安康市2025届高三上学期开学学情摸底考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合，若，则（）A. B.0 C.2 D.【答案】C【解析】集合，而，则，经验证a=2符合题意，所以.故选：C2.已知复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设复数，所以，又因为复数满足，所以，整理可得，解得，所以，所以，故选：A.3.已知平面向量．若向量与共线，则实数的值为（）A.3 B. C. D.【答案】B【解析】，，因为向量与共线，所以，解得，故选：B.4.已知为奇函数，则曲线在点处的切线方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因为为奇函数，且定义域为，所以，即，所以，经检验符合题意，则，曲线y=fx在点处的切线斜率为，又所以曲线y=fx在点处的切线方程为，即.故选：D5.已知，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，得，解得，所以.故选：D6.已知直线经过点且斜率大于0，若圆的圆心与直线上一动点之间距离的最小值为，则直线的斜率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】圆的圆心为1,0，设直线的方程为，，即，因为圆心与直线上一动点之间距离的最小值为，即，整理可得，解得或（舍去），故选：B.7.风筝的发明是中国古代劳动人民智慧的结晶，距今已有2000多年的历史.风筝多为轴对称图形，如图.在平面几何中，我们把一条对角线所在直线为对称轴的四边形叫做筝形.在筝形中，对角线所在直线为对称轴，是边长为2的等边三角形，是等腰直角三角形.将该筝形沿对角线折叠，使得，形成四面体，则四面体外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如图，，，取为中点，则，连接，则，因，所以，所以，又，且平面，平面，所以平面，又E为直角三角形的外心，所以四面体外接球球心在上，设外接球的半径为，则在中，，即，解得，所以四面体外接球的表面积为，故选：C.8.在平面直角坐标系中，为双曲线的左顶点，为双曲线上位于第一象限内的一点，点关于轴对称的点为，记，若，则双曲线的离心率为（）A.2 B. C. D.【答案】A【解析】设，则，，，则，①则，所以，，所以，②将①代入②得，，因为，所以，所以双曲线的离心率为，故选：A.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.一个不透明的盒子中装有大小和质地都相同的编号分别为1，2，3，4的4个小球，从中任意摸出两个球．设事件“摸出的两个球的编号之和小于5”，事件“摸出的两个球的编号都大于2”，事件“摸出的两个球中有编号为3的球”，则（）A.事件与事件是互斥事件 B.事件与事件是对立事件C.事件与事件是相互独立事件 D.事件与事件是互斥事件【答案】ACD【解析】列举各事件如下：，，，A：由互斥事件同时发生的概率为0，即，故A正确；B：由对立事件的概率和为1，，，，故B错误；C：因为，故C正确；D：事件，事件，为互斥事件，不可能同时发生，故D正确；故选：ACD.10.在平面直角坐标系中，一动点从点开始，以的角速度逆时针绕坐标原点做匀速圆周运动，后到达点的位置．设，记，则（）A.B.当时，取得最小值C.点是曲线的一个对称中心D.当时，的单调递增区间为【答案】AC【解析】依题意，后，质点走过的弧度数为，则，对于A，，A正确；对于B，为的最大值，B错误；对于C，，点是曲线的一个对称中心，C正确；对于D，当时，为的最大值，而，因此在上不单调，D错误.故选：AC11.已知函数及其导函数的定义域均为，且，当时，，且，则下列说法正确的是（）A.为偶函数 B.C.在上单调递增 D.【答案】BCD【解析】对于A，取，得，解得，取，则，即，又，因此为奇函数，A错误；对于B，，解得，因此，B正确；对于C，，则，，，函数在R上单调递增，C正确；对于D，取，则，求导得，于是，解得，由，求导得，则，，又函数的周期为4，，所以，D正确.故选：BCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.的展开式中的系数为______．（用数字作答）【答案】【解析】第二个括号的通项为，所以当前面括号出时，后面为，当前面括号出时，后面出，当前面括号出时，后面没有可出项，所以的系数为，故答案为：.13.已知的内角的对边分别为，若的面积为，则______．【答案】或【解析】的面积为，所以，解得，因为，所以或，当时，由余弦定理可得，即，当时，由余弦定理可得，即，综上或，故答案为：或.14.已知为坐标原点，椭圆，圆，圆，点，射线交圆，椭圆，圆分别于点，若圆与圆围成的图形的面积大于圆的面积，则的取值范围是______．【答案】【解析】由题意可得的半径为，的半径为，其位置关系如下：由图可得，设，因为点同时在椭圆与射线上，所以，，解得，则，若圆与圆围成的图形的面积大于圆的面积，即，可得所以，设，，则，设此式等于，求导可得，因为，所以导数恒大于零，故在时为增函数，所以取值范围为.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某农场收获的苹果按三个苹果等级进行装箱，已知苹果的箱数非常多，且三个等级苹果的箱数之比为6∶3∶1（1）现从这批苹果中随机选出3箱，若选到任何一箱苹果是等可能的，求至少选到2箱A级苹果的概率；（2）若用分层随机抽样的方法从该农场收获的A，B，C三个等级苹果中选取10箱苹果，假设某游客要从这10箱苹果中随机购买3箱，记购买的A级苹果有X箱，求X的分布列与数学期望．解：（1）设事件“至少选到2箱级苹果”，由题意知选到1箱级苹果的概率为，选到1箱非级苹果的概率为，所以，故至少选到2箱A级苹果的概率为.（2）因为用分层随机抽样的方法从该农场收获的A，B，C三个等级苹果中选取10箱苹果，所以A级苹果有6箱，级苹果共有4箱，随机变量的所有可能取值为,则，，，所以X的分布列为0123.16.已知等比数列的各项均为正数，且．（1）求的通项公式；（2）令，记，求．解：（1）设正项等比数列an的公比为，由，得，解得，所以an的通项公式为.（2）由（1）知，，则，于是，两式相减得，所以.17.如图，在四棱锥中，底面为矩形，在棱上且，平面，在棱上存在一点满足平面．（1）证明：平面平面；（2）求平面与平面夹角的余弦值．（1）证明：在四棱锥中，底面为矩形，则，由平面，平面，得，而平面，则平面，又平面，所以平面平面.（2）解：依题意，直线两两垂直，以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，由，得，令，则有，即，，，由平面，得存在实数使，即，解得，，，设平面的法向量，则，令，，设平面的法向量，则，令，，所以平面与平面夹角的余弦值为.18.已知动圆的圆心在轴上，且该动圆经过点．（1）求点的轨迹的方程；（2）设过点的直线交轨迹于两点，若为轨迹上位于点之间的一点，点关于轴的对称点为点，过点作，交于点，求的最大值．解：（1）因为动圆的圆心在轴上，所以设圆心坐标为，半径为，由题意可得，即，又圆心是点的中点，由中点坐标公式可得，代入上式可得，所以点的轨迹的方程为；（2）由题意知在抛物线C上，则，即，由于过点的直线交轨迹于两点，则直线l的斜率为，故l的方程为，联立，得，解得或，则，则B关于x轴的对称点为，由题意知直线AQ的斜率存在，设为k，直线的斜率为，则，设直线，因为点Q在抛物线C上，故联立，得，得，则，,又，故直线BM的方程为，联立，解得,因为，故当时，即时，取到最大值，最大值为.19.定理：如果函数在闭区间上的图象是连续不断的曲线，在开区间内每一点存在导数，且，那么在区间内至少存在一点，使得这是以法国数学家米歇尔·罗尔的名字命名的一个重要定理，称之为罗尔定理，其在数学和物理上有着广泛的应用．（1）设，记的导数为，试用上述定理，说明方程根的个数，并指出它们所在的区间；（2）如果在闭区间上的图象是连续不断的曲线，且在开区间内每一点存在导数，记的导数为，试用上述定理证明：在开区间内至少存在一点，使得；（3）利用（2）中的结论，证明：当时，．（e为自然对数的底数）解：（1）函数的定义域为R，函数在R上的图象连续不断，求导得，显然，在闭区间上的图象是连续不断的，在开区间内每一点存在导数，且，由罗尔定理，在开区间内至少存在一点，使得；同理在开区间内至少存在一点，使得；在开区间内至少存在一点，使得，因此方程至少有3个根，又函数是三次