结构力学第4章

如下图所示，先施加力F1，再施加力F2（广义力），则和是实功；F1⊿12是虚功。

注意：作功的力必须和位移一一对应（如力偶在角位移上做功），否则，二者的乘积就不是功，例如，不能把F1

22叫做功。

2.刚体体系的虚功原理和变形体体系的虚功原理及各自的应用条件

(1)刚体体系的虚功原理叙述为：设体系上作用任意的平衡力系，又设体系发生符合约束条件的无限小的刚体位移，则外力在位移上所作的虚功总和恒等于零，即：

We=0所谓刚体体系是指体系只发生刚体位移，而不产生变形。例如，图中当B支座有位移时，体系的位移就是刚体位移。可以用刚体体系的虚功原理求解。

若结构发生位移时，结构内部也同时产生应变，则此时结构的位移计算问题属于变形体的位移计算问题。在变形体体系的虚功原理中，由于变形体中存在应变，因而既要考虑外力所作的虚功，也要考虑内力所作的虚功。

(2)变形体体系的虚功原理叙述为：设变形体在力系作用下处于平衡状态，又设变形体由于其他原因产生符合约束条件的微小连续变形，则外力在位移上所作外虚功恒等于各个微段的内力在变形上所作的内虚功，即：

We=Wi例如，图中简支梁由于温度变化产生了应变，就属于变形体的位移计算问题。在静定结构中,温度变化和荷载作用会引起应变，因此在这两种情况下静定结构的位移计算问题都是变形体体系的位移计算问题，应该用变形体体系的虚功原理求解。在超静定结构中，无论支座位移、温度变化、制作误差和荷载作用都将引起应变，因此都应该用变形体体系的虚功原理求解。所以，刚体体系的虚功原理与变形体体系的虚功原理唯一不同之处就是看是否需要考虑内力所作的功。判断应该使用刚体体系的虚功原理还是用变形体体系的虚功原理解题，只需判断体系是否有变形，若体系有变形，就用变形体体系的虚功原理；若体系无变形，就用刚体的虚功原理。也可以这样认为：刚体体系的虚功原理是变形体虚功原理当Wi=0时的一种特例。3.虚功的两种常用表达形式由于产生虚功的力和位移彼此独立无关，因此既可以把位移看成是虚设的，也可以把力看成是虚设的。

(1)位移是虚设的。虚功可以表达为：实际存在的力×虚设的位移。由于位移是虚设的，因此这种形式下的虚功原理又称为虚位移原理，可以用于求未知力。

(2)力是虚设的。此时，虚功可以表达为：虚设的力×实际发生的位移。由于力是虚设的，因此这种形式下的虚功原理又称为虚力原理，可以用来求位移。

虚位移原理实质是用几何方法来求解静力（平衡）问题；所建立的虚功方程等价于平衡方程。注意：

按虚力原理实质是用静力方法来求几何问题，所建立的虚功方程等价于几何方程。(2)位移互等定理。在任一线性变形体系中，由荷载F1引起的与荷载F2相应的位移影响系数

21等于由荷载F2引起的与荷载F1相应的位移影响系数

12。这里的荷载可以是广义荷载，而位移则是相应的广义位移。在一般情况下，定理中的两个广义位移的量纲可能是不相等的，但它们的影响系数在数值和量纲上仍然保持相等。4.互等定理(1)功的互等定理。在任一线性变形体系中，第一状态外力在第二状态位移上所作的功W12等于第二状态外力在第一状态位移上所作的功W21，即W12=W21。

在任一线性变形体系中，由位移c2所引起的与荷载F1相应的位移影响系数

12，在绝对值上等于由荷载F1引起的与位移c2相应的反力影响系数r21，但二者差一个负号。

(4)、位移反力互等定理。互等定理的应用条件：

在以上几个定理中，功的互等定理是基本定理，其他定理都可以由功的互等定理导出。互等定理只适用于线性变形体系：(3)、反力互等定理。在任一线性变形体系中，由位移c1所引起的与位移c2相应的反力影响系数r21等于由位移c2所引起的与位移c1相应的反力影响系数r21。(1)材料处于弹性阶段，应力与应变成正比；(2)结构变形很小，不影响力的作用。二、各种情况下位移的计算1.位移计算的一般公式根据变形体体系的虚功原理,We=Wi，可以推导出位移计算的一般公式其中，等号左边为外力所作的功We，右边为内力功Wi。

M、FS、FN——虚单位力引起的弯矩、剪力、轴力；

——轴线曲率。

R——虚单位力产生的支座反力；c——实际发生的支座位移，若无支座位移，该项为零；

——轴线伸长应变；

0——平均剪切应变；

此式具有普遍性，既可以用于静定结构，也可以用于超静定结构,既可以用于弹性材料，也可以用于非弹性材料。2.荷载单独作用下的位移计算

若应变

、

0、

都是由荷载引起的，则有：

=MP／EI，

=FNP／EA，

0=µFSP／GA。可以得出荷载作用下的位移计算公式为其中

M、FS、FN意义同前；MP

、

FNP、

FSP——实际荷载引起的内力;µ——切应变的截面形状系数。对各类特殊的结构形式可得相应的简化公式（1）梁和刚架。公式为（2）桁架。公式为（3）组合结构。公式为

(4)拱。当拱的压力线与拱的轴线相近（即两者的距离与杆件的截面高度为同量级）时，应考虑弯曲变形和拉伸变形对位移的影响，即：当压力线与拱轴线不相近时，则只需考虑弯曲变形的影响，即：3.支座移动时的位移计算静定结构当支座产生移动时，整个结构发生刚体位移，因而不产生变形，应用刚体的虚功原理We=0，得式中，R为虚单位力引起的支座反力，c为实际支座位移,当二者方向一致时，其乘积取正值，相反时取负值。若结构是超静定的，则当支座移动时，将会产生内力和变形，故Wi≠0，因此应该用变形体的虚功原理求位移。4.温度作用时的位移计算静定结构在温度变化时，杆件不产生切应变，而轴向线应变和曲率分别为

=

t0，

=

t／h则位移计算公式为h——截面高度。

——材料的线膨胀系数；t0——杆件轴线的温度变化（温度升高为正，降低为负）；

t——杆件上下边缘的温差绝对值；若

、

t0、

t、h沿每根杆件的全长为常数，则得

正负号规定：轴力以拉伸为正；弯矩和温差

t引起的弯曲为同方向时，其乘积取正值，否则取负值。式中，5.具有弹性支撑或弹性约束的结构的位移计算弹性支承或弹性约束有以下几种类型：已知弹簧的刚度系数为k（或已知柔度系数为f，其中f=1／k)

图a和图b的弹簧会产生线位移⊿，从而产生反力k⊿。图c、图d的情况，与弹簧相连接的杆件会产生相对转角φ，从而产生力偶kφ。

注意：弹簧产生的力偶与相对转角φ的方向相反。注意：弹簧的反力与位移⊿方向相反。计算具有弹性支承或弹性约束的结构的位移时，不仅要考虑外荷载作用下产生的位移，还要计算由于弹性支承的位移引起的附加位移。含有弹簧约束的结构的位移计算原理和方法，与无弹簧约束的结构的位移计算原理和方法是相同的，只要在变形体系的虚功原理或位移计算公式的等号右边增加一项虚拟状态的弹簧约束力在实际状态的弹簧约束位移上所作的虚变形功即可。若略去受弯构件的轴向变形和剪切变形对位移的影响，则位移计算可按下式计算：或上式中的fN=1/kN为弹簧支杆的柔度系数（单位力使弹簧支杆产生的位移，它与刚度系数kN互为倒数）；fM=1／kM为弹簧铰的柔度系数（即单位力矩使弹簧铰产生的转角，它与刚度系数kM互为倒数）。例如图a所示结构，EI=常数,求C左和C右截面的相对转角。解：

(1)作MP图，如图b所示。

(2)

在C截面加单位力偶作图，如图b所示。

()注意：求位移时应加上弹性支承处引起的位移。

例：求图a所示结构当支座B

向下移动⊿时A点竖向位移⊿AV.

解:

A点位移由三部分引起:外荷载，弹簧支座的位移和支座B的位移，而后两者引起的位移均为刚体位移。三、几个值得注意的问题1.

图乘法的应用条件

当求结构在荷载作用下的位移时，若满足以下条件时，可以用图乘法：(1)杆件的轴线为直线；(2)

杆件的EI为常数；

(3)MP图和图至少有一个是直线，竖标y0应取自直线弯矩图中。2.

应用图乘法时应注意以下几个问题

(1)

当两个图形在同侧时，乘积为正，否则为负。

(2)如果两个图形都是直线，则可以选择任何一个图形求面积，另一个取竖标，两者计算结果相同。

(3)如果取竖标的图形由几段直线组成，则应按照图形的斜率不同分成几段计算。

(4)如果图形的形心不易确定，可将其分解为几个易确定形心的简单图形，分项计算后进行叠加。

(5)若杆件中各段的EI不相等，则应按照EI分成几部分，分别计算后叠加。

(6)

采用计算抛物线面积和形心位置的公式时，必须正确找出抛物线的顶点。

如图a中，B点是抛物线的顶点，求面积公式

图b中,虽然弯矩图与图a类似，但应注意，因为集中力F的存在，使B

点不是抛物线的顶点，因此不可以直接应用抛物线的求面积公式。正确的做法是将其分为解成两个图形相叠加（图c、图d）,其中图c用抛物线的求面积公式，图d用三角形的面积公式。例:求图示悬臂梁C点的竖向位移。解在C点施加竖向单位力，作出M1图和MP图，再用图乘法求位移。但图乘结果不能直接得出，需要采用叠加法，将MP图分解为MP1和MP2叠加，见图c、图d，然后令MP1和MP2

图分别与M1图图乘后再相加。

(7)梯形的M图相乘时，可将图形面积分割，但相应的竖标应取全量而不能只取部分。

如图，将梯形的面积分为A1和A2两部分，则A1的形心对应的M2图中的竖标应该是(y1+y2)而不仅仅是y1或y2。

（8）求面积的M图有正有负时，应分别计算。例如，图中M1、M2图乘时（M1图求面积），可将M1图分解成⊿ABC和⊿BCD相加，M2图分解成⊿EFG和⊿FGH相加，则图乘结果为：

（⊿ABC的面积乘以在M2图中的竖标）+（⊿BCD的面积乘以在M2图中的竖标）

(9)若某结构中既有直杆又有曲杆，则直杆部分可以应用图乘法，曲杆部分不能用，只能进行积分。2.对称结构位移的特点对称结构在正对称荷载作用下，对称轴处水平位移为零；对称结构在反对称荷载作用下，对称轴处竖向位移为零。对称结构在正对称荷载作用下的位移为正对称，在反对称荷载作用下的位移为反对称。

例：计算图a所示桁架A点水平位移⊿AH（向右为正），EA=常数。

解：在A

点施加单位力（图b），则在FNP图中，只有1、2杆轴力不为零。在图中只有3、4

杆轴力不为零，因此⊿AH=0。四、举例

例：图a所示静定梁中，由于制造误差,AB和BC两段均成半径为R=400m的圆弧，装配时AB段上凸，BC段下凸，试求BC中点的⊿DV。解：由位移计算一般公式有例：欲使图a中A点的竖向位移与正确位置相比误差不超过0.6cm，杆BC长度的最大误差λmax可为多少？其他各杆保持精确长度。解本题杆件有变形，因而也有内力虚功，因此应采用变形体的虚功原理求解。在A点施加竖向单位力，则

由We=Wi得：可求出

（）

例：已知图a所示简支梁两端作用着一对力偶M，同时梁上侧温度升高t1，下侧温度下降t1，求A端的转角

A。欲使

A=0，问M