中考数学必会几何模型(含答案)

MATH微信：beijingdaxue777QQ:1456770148中考必会几何模型1免费获取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148专题一角平分线相关问题模型.......................................................................................................3

1角平分线相关模型........................................................................................................3

专题二8字模型与飞镖模型............................................................................................................6

：角的8字模型..............................................................................................................6

：角的飞镖模型..............................................................................................................8

3边的“8”字模型......................................................................................................4边的飞镖模型............................................................................................................专题三半角模型.............................................................................................................................专题四将军饮马模型.....................................................................................................................：直线与两定点............................................................................................................2角与定点......................................................................................................................3两定点一定长...............................................................................................................专题五角平分线四大模型.............................................................................................................1角平分线的点向两边作垂线.....................................................................................2截取构造对称全等....................................................................................................3角平分线垂线构造等腰三角形...............................................................................4角平分线平行线.......................................................................................................专题六截长补短辅助线模型.........................................................................................................1截长补短......................................................................................................................专题七蚂蚁行程.............................................................................................................................1立体图形展开的最短路径........................................................................................专题八三垂直全等模型.................................................................................................................1三垂直全等模型........................................................................................................专题九手拉手模型.........................................................................................................................1手拉手........................................................................................................................专题十相似模型.............................................................................................................................1A8模型.....................................................................................................................2共边共角型..................................................................................................................3一线三等角型..............................................................................................................4倒数型........................................................................................................................5与圆有关的简单相似................................................................................................6相似和旋转................................................................................................................专题十一圆中的辅助线.................................................................................................................1连半径构造等腰三角形............................................................................................2构造直角三角形........................................................................................................3与圆的切线有关的辅助线........................................................................................专题十二中点四大模型.................................................................................................................1倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形...............................2.................3已知三角形一边的中点，可考虑中位线定理.....................................................4已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线.........................................2免费获取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148专题一角平分线相关问题模型模型1角平分线相关模型（1，若点P是∠ABC和∠的角平分线的交点，则∠P=90°+A；（2，若点P是外角∠CBF和∠的角平分线的交点，则∠P=90°﹣∠；（3）如图，若点P是∠ABC和外角∠的角平分线的交点，则∠P=∠．图1图2图3针对训练（2016•枣庄）如图，在△中，，∠A=30°，E为延长线上一点，∠ABC与∠ACE的平分线相交于点D，则∠D的度数为（）．15°．17.5°．．22.5°AD的数量关系.3免费获取版，加微信：beijingdaxue777QQ（2018•巴中）如图，在△ABC中，BO、分别平分∠ABC、∠ACB．若∠BOC=110°，则．【分析】由解题模型一中的（1）可知，∠BOC=90°+∠A，把∠BOC=110°代入计算可得到A的度数．【详解】∵∠BOC=90°+A，∠BOC=110°，∴90°+∠A=110°.∴∠A=40°．【小结】本题若不套用模型，需要利用三角形的内角和定理、角平分线的定义得到∠C、A的数量关系.3.2018•1和CA1分别是△ABCBA2是∠的角平分线，CA2是∠A的角平分线，3是∠A的角平分线，CA3是∠的角平分线，若∠A=α，则∠A=．【详解】∵AB是∠ABC的平分线，AC是∠的平分线，∴∠BC=ABC，∠ACD，又∵∠ACD=∠A+∠，∠ACD=∠BC+∠A，4免费获取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148平分线的定义，熟记性质然后推出后一个角是前一个角的一半是解题的关键。5免费获取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148专题二8字模型与飞镖模型模型1：角的8字模型如图所示，AC、相交于点O，连接、．结论：∠＋∠D＝∠＋∠．模型分析证法一：∵∠是△的外角，∴∠A＋∠D＝∠AOB．∵∠是△的外角，∴∠＋∠C＝∠AOB．∴∠＋∠D＝∠＋∠．证法二：∵∠＋∠D＋∠AOD＝180°，∴∠A＋∠D180°－∠．∵∠＋∠＋∠BOC＝180°，∴∠＋∠C180°－∠BOC．又∵∠AOD＝∠BOC，∴∠＋∠D＝∠B＋∠．1）因为这个图形像数字8，所以我们往往把这个模型称为8字模型．28字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到．模型实例观察下列图形，计算角度：）如图①，∠A＋∠＋∠C＋∠D＋∠＝________；解法一：利用角的8字模型．如图③，连接CD．∵∠是△的外角，∴∠＋∠＝∠BOC．∵∠是△的外角，∴∠1＋∠＝∠BOC．∴∠＋∠＝∠1＋∠8A＋∠＋∠ACE＋∠ADB＋∠E＝∠＋∠ACE＋∠ADB＋∠1＋∠＝∠A＋∠ACD＋∠ADC180°．解法二：如图，利用三角形外角和定理．∵∠1是△的外角，∴∠1＝∠＋∠．∵∠2是△的外角，∴∠＝∠＋∠D．∴∠＋∠B＋∠＋∠D＋∠E＝∠＋∠1＋∠180．免费获取版，加微信：beijingdaxue777QQ如图②，∠＋∠＋∠C＋∠D＋∠＋∠F＝________．）解法一：如图⑤，利用角的8字模型．∵∠是△的外角，∴∠A＋∠＝∠AOP．∵∠是△的外角，∴∠1＋∠3＝∠AOP．∴∠A＋∠B＝∠1＋∠3．①（角的8＋∠D＝∠1＋∠，∠E＋∠＝∠＋∠3．③由①＋②＋③得：∠A＋∠＋∠＋∠D＋∠＋∠＝2（∠＋∠＋∠）＝360°．解法二：利用角的8字模型．如图⑥，连接．∵∠是△的外角，∴∠＋∠B＝∠AOE．∵∠是△的外角，∴∠＋∠2＝∠AOE．∴∠＋∠B＝∠＋∠8字模型）∴∠＋∠B＋∠＋∠ADC＋∠FEB＋∠F＝∠＋∠＋∠C＋∠ADC＋∠FEB＋∠F360360练习：1）如图①，求：∠CAD＋∠＋∠C＋∠D＋∠＝；解：如图，∵∠1=∠B+D，∠2=∠C+CAD，∴∠CAD+∠B+∠C+D+E=∠1+2+∠E=180°．故答案为：180°解法二：（）如图②，求：∠CAD＋∠＋∠ACE＋∠D＋∠E＝．7免费获取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148解：由三角形的外角性质，知∠∠E+ACE，∠EAD=B+∠D，又∵∠∠CAD+∠EAD=180°，∴∠CAD＋∠＋∠ACE＋∠D＋∠＝180°解法二：．如图，求：∠＋∠＋∠C＋∠D＋∠＋∠F＋∠G＋∠H＝．解：∵∠G+∠D=3，F+C=∠4，∠E+H=∠2，∴∠G+∠F+C+∠E+∠H=∠∠4+2，∵∠B+2+∠1=180°，∠∠5+A=180°，∴∠A+∠∠2+4+∠3=360°，∴∠A+∠∠C+∠D+∠E+∠∠G+H=360°解法二：模型2：角的飞镖模型8免费获取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148如图所示，有结论：∠D＝∠＋∠B＋∠．模型分析解法一：如图①，作射线AD．∵∠3是△的外角，∴∠＝∠B＋∠，∵∠4是△的外角，∴∠＝∠＋∠2∴∠BDC＝∠＋∠，∴∠BDC＝∠B＋∠＋∠＋∠C，∴∠BDC＝∠BAC＋∠＋∠C解法二：如图②，连接．∵∠＋∠＋∠D180°，∴∠D＝180°－（∠＋∠4）∵∠＋∠＋∠3＋∠＋∠A180°，∴∠A＋∠＋∠＝180°－（∠＋∠）∴∠D＝∠＋∠1＋∠1）因为这个图形像飞镖，所以我们往往把这个模型称为飞镖模型．2）飞镖模型在几何综合题目中推导角度时使用．模型实例如图，在四边形ABCD中，AM、分别平分∠和∠DCB，与交于M，探究AMC与∠、∠D间的数量关系．解答：利用角的飞镖模型如图所示，连接DM并延长．∵∠3是△AMD的外角，∴∠＝∠＋∠ADM，∵∠4是△CMD的外角，∴∠4＝∠＋∠CDM，∵∠＝∠3＋∠4∴∠AMC＝∠＋∠ADM＋∠CDM＋∠AMC＝∠＋∠＋∠ADC9免费获取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148AM分别平分∠和∠DCB1，2，

22∴，∴22360B（四边形2360B内角和360，∴2AMC＋∠－∠ADC＝360°.2练习：．如图，求∠A+∠B+∠C+D+E+∠F=.【答案】230°提示：∠C+E+D=EOC=115.A+B+F=BOF=115º.A+∠B+C+D+E+∠F=115+115º=230º．如图，求∠A+∠B+∠C+D=.【答案】220°提示：如图所示，连接AED=A+3+1，∠∠2+4+C，A+ABF+C+CDE=A+3+1+∠2+4+∠C=∠AED+∠BFC=220º模型3边的“”字模型如图所示，相交于点O，连接ADBC．结论AC+BD>AD+BC．10免费获取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148模型分析∵OA+OD>ADOB+OC>BC由①+②得：OA+OD+OB+OC>BC+AD即：AC+BD>AD+BC.模型实例如图，四边形的对角线AC相交于点O。求证：AB+BC+CD+AD>AC+BD；AB+BC+CD+AD<2AC+2BD.证明：(1)AB+BC>AC①，CD+AD>ACAB+AD>BDBC+CD>BD④由①+++2(AB+BC+CD+AD)>2(AC+BD).即AB+BC+CD+ADAD<OA+OD①BC<OB+OC由①+②得：AD+BC<OA+OD+OB+OC．AD+BC<AC+BD.（边的8同理可证：AB+CDAB+BC+CD+AD<模型4边的飞镖模型如图所示有结论：模型分析11免费获取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148如图，延长交E。AB+AC=AB+AE+ECAB+AE>BE，∴C>BE+EC.①，∵BE+EC=BD+DE+EC，，∴②，由①②可得：AB+AC>BD+CD.模型实例如图，点O为三角形内部一点．求证：2(AO+BO+CO)>AB+BC+AC；AB+BC+AC>AO+BO+CO.证明：(1)OA+OB>ABOB+OC>BCOC+OA>AC③由①++2(AO+BO+CO)>AB+BC+AC(2)如图，延长交E，AB+AC=AB+AE+EC，AB+AE>BE，AB+AC>BE+EC.①BE+EC=BO+OE+EC，，∴，②由①②可得：AB+AC>BO+CO.③（边的飞镖模型）同理可得：AB+BC>OA+OC.④，BC+AC>OA+OB.⑤由③④⑤得：2(AB+BC+AC)>2即AB+BC+AC>AO+BO+CO.．如图，在△ABC中，DE在边上，且BD=CE。求证：AB+AC>AD+AE.【答案】证法一：如图①，将平移至BF延长线与相交于点G，连接DF。由平移可得，∵∥，∴∠ACE=∠，∵BD=CE∴△≌△FDB，∴DF=AE如图，延长交G，∵AB+BG>AG，AB+BF>AG+GF①，∵AG+GF=AD+DG+GF，DG+GF>DF，AG+GF>AD+DF②，由①②可得：（飞镖模型）AB+AC=AB+BF>AD+DF=AD+AE.∴AB+AC>AD+AE.12免费获取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148证法二：如图②，将平移至DF，连接，∵ACDF，∴∠ACE=∠BD=CE，∴△≌△BF=AE.OA+OD>ADOB+OF>BF②由①②得：OA+OD+OB+OF>BF+AD.AB+DF>BF+AD.8字模型）AB+AC=AB+DF>BF+AD=AE+AD.∴AB+AC>AD+AE.．观察图形并探究下列各问题，写出你所观察得到的结论，并说明理由．(1)如图①，△中，P一点，请比较BP+PC与的大小，并说明理由．(2)(1)中的点P移至△ABC的周长与△ABC明理由．(3)图③将(2)中的点P变为两个点P、1P，请比较四边形2BPPC的周长与△ABC的周长的12大小，并说明理由.【答案】1）如图①，BP+PC<AB+AC.2）△的周长小于△ABC的周长。证明：如图②，延长交于M。在△ABM中，BP+PM<AB+AM①在△PMC中，PC<PM+MC②，由①+②得：BP+PC<AB+AC.∴△的周长小于△ABC的周长。13免费获取版，加微信：beijingdaxue777QQ四边形BPPC的周长小于△ABC的周长。12证法一：如图③，分别延长、CPM，由（）知，BM+CM<AB+AC.12PP<12PMPM12+1PP+12PC<BM+CM<AB+AC.2∴四边形BPPC的周长小于△的周长.12证法二：如图④，做直线PP分别交AB、于、。在△12P中，1①11在△+PP+PN<AM+AN②，在△1122PNC2PC<2PN+NC③2由①②+③得：∴+1PP+12PC<AB+AC.∴四边形2BPPC的周长小于△ABC的周长.1214免费获取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148专题三半角模型已知如图：①∠2=12AOB；②OA=.FB，将△O旋转至△的位置，连接′，，可得△OEF≌△OEF′模型分析∵△≌△OAF∴∠3∠，=OF.∴∠2=12∠AOB，∴∠1∠=∠2∴∠1∠=∠2又∵OE是公共边，∴△OEF≌△OEF.1）半角模型的命名：存在两个角度是一半关系，并且这两个角共顶点；2）通过先旋转全等再轴对称全等，一般结论是证明线段和差关系；3）常见的半角模型是90°，12060.模型实例例1已知，正方形中，∠MAN=45°，它的两边分别交线段CBDCM、N．1）求证：BM+DN=MN．2AH⊥H，求证：AH=AB．15免费获取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148证明：（1ND到E，使DE=BM，∵四边形是正方形，∴AD=AB．ADE和B∴△≌△ABM．AE=AM，∠DAE=∠∵∠MAN=45°，∴∠BAM+NAD=45°．∴MAN=EAN=45°．和∴△AMN≌△．MN=EN．BM+DN=DE+DN=EN=MN．2）由（）知，AMN≌△AEN．S=S．11即AD．22又∵MN=EN，AH=AD．即AH=AB．16免费获取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148例2在等边△的两边、AC上分别有两点MN，D为外一点，且MDN=60°BDC=120°BD=DCMN分别在线段ABAC上移动时，BM、、之间的数量关系．1）如图①，当DM=DN时，、NC之间的数量关系是_______________；2）如图②，当DM≠DN时，猜想（1）问的结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明．图①图②1）BMNC之间的数量关系是BM+NC=MN．2）猜想：BM+NC=MN．例3如图，在四边形中，∠B+∠ADC=180°，AB=ADEF分别是BC延长线上的点，且∠12BAD．求证：EF=BE-FD．证明：在上截取BG=DF，连接AG．∵∠B+ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°，∴∠∠ADF．17免费获取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148△ADFB∴≌△ADFSAS∴∠∠DAFAG=AF．∴∠GAF=BAD．∴∠12∠12GAF．∴∠GAE=EAF．和中，∴≌△AEF（SAS∴EG=EF．∵EG=BE-BG，∴EF=BE-FD．跟踪练习：1．已知，正方形ABCDM在延长线上，N在DC延长线上，∠MAN=45°．求证：MN=DN-BM．18免费获取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148【答案】证明：如图，在DN上截取DE=MB，连接AE，∵四边形是正方形，∴AD=AB，∠D=ABC=90°．在和ADED∴△ABM≌△ADE．∴AM=AE，MAB=∠．∵∠MAN=45°=∠MAB+BAN，∴∠DAE+BAN=45°．∴∠EAN=90°-45°=45°=MAN．在和∴△ABM≌△ADE．∴MN=EN．∵DN-DE=EN．∴DN-BM=MN．2．已知，如图①在Rt中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E分别为线段上两动点，若∠DAE=45°，探究线段BDDE三条线段之间的数量关系．小明的思路是：把A顺时针旋转90°，得到△ABE′E′D使问题得到解决．请你参考小明的思路探究并解决以下问题：（1）猜想BDDE三条线段之间的数量关系式，并对你的猜想给予证明；（2）当动点E在线段上，动点D运动到线段延长线上时，如图②，其他条件不变，（）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明．19免费获取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148图①图②【答案】解答：（1）猜想：=BD+EC．证明：将A顺时针旋转90°得到ABE′，如图①∴△ACE≌△ABE′．∴BE′=EC，AE′=AE，∠C=ABE′，∠EAC=E′AB．在∵AB=AC，∴∠ABC=ACB=45°．∴∠ABC+ABE′=90°，即∠E′BD=90°．∴E′B+BD=E′D2．又∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°．∴∠E′AB+BAD=45°，即∠E′AD=45°．∴△AE′D≌△AED．∴DE=DE′．∴2=BD+EC．图①2）结论：关系式DE=BD2+EC2仍然成立．证明：作∠FAD=BAD，且截取AF=AB，连接DF，连接FE，如图②∴△AFD≌△ABD．∴FD=DB，∠AFD=∠．又∵AB=AC，∴AF=AC．∵∠FAE=∠FAD+DAE=∠FAD+45°，∠EAC=BAC-BAE=90°-（∠DAE-∠DAB=90°-（45°-∠DAB=45°+∠DAB，∴∠FAE=∠CAE．又∵AE=AE，20免费获取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148∴△AFE≌△ACE．∴FE=EC，∠AFE=ACE=45°．∠AFD=∠ABD=180°-∠ABC=135°．∴∠DFE=∠AFD-AFE=135°-45°=90°．在中，DF+FE=DE．即22+EC．图②3．已知，在等边中，点OAC、的垂直平分线的交点，MN分别在直线、上，且∠MON=60°．（1MN分别在边AMCN三者之间的数量关系；（2）如图②，当CM≠CN时，MN分别在边AC上时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请你加以证明；若不成立，请说明理由；（3MAC上N在AMCN、三者之间的数量关系．图①图②图③【答案】结论：（1AM=CN+MN；如图①图①2）成立；21免费获取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148证明：如图②，在AC上截取AE=CN，连接OEOA、．OAC垂直平分线的交点，且为等边三角形，OA=OC，∠OAE=OCN=30°，∠AOC=120°．又∵AE=CN，∴△OAE≌△．OE=ON，∠AOE=CON．∴∠EON=∠AOC=120°．∵∠MON=60°，∴∠MOE=MON=60°．∴△MOE≌△MON．ME=MN．AM=AE+ME=CN+MN．图②3）如图③，AM=MN-CN．22免费获取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148专题四将军饮马模型考和竞赛中经常出现，而且大多以压轴题的形式出现．模型1：直线与两定点作法＋PB的最小值为当两定点B在直线ll上找一点PPB最小．交直线lP即为所求作的点．＋PB的最小值为AB'当两定点B在直线ll上找一点P，使得＋PB最小．B关于直线l的对称点B，AB交直线lPP即为所求作的点．的最大值为当两定点B在直线ll上找一点P，使得最大．AB并延长交直线l于点P，点P即为所求作的点．的最大值为AB'当两定点B在直线lB关于直线I的对称点B，AB并延长交直线lP，点P即为所求作的点．l上找一点P，使得最大．免费获取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148的最小值为0当两定点B在直线ll上找一点P，使得最小．AB的垂直平分线交直线lPP即为所求作的点．模型实例例1：如图，正方形的面积是12，△ABE是等边三角形，点E在正方形内，在对角线上有一点PPD＋PE最小值是．解答：如图所示，∵点BD对称，P为与的交点时，PDPE最小，且线段的长．∵正方形的面积为12，∴其边长为23∵△ABE为等边三角形，∴BEAB＝23．∴PD＋PE的最小值为23．例2：如图，已知△为等腰直角三角形，＝BC＝4，∠BCD＝15°P为上的动点，则的最大值是多少？解答：24免费获取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148如图所示，作点A关于的对称点A，连接AC，连接′B并延长交于点P，则点P就是的值最大时的点，＝′．∵△ABC为等腰直角三角形，＝，∴∠90°．∵∠BCD＝15°，∴∠＝75°．、′对称，∴AA′CD＝CA，∵∠＝∠DCA＝75°，∴∠BCA＝60°．CABC＝，∴△′是等边三角形，∴A＝BC＝．∴的最大值为．练习．如图，在△ABC中，BC＝2，∠＝90°，D是边的中点，E是边上一动点，则＋的最小值是．C作CO⊥AB于CO到COCDCAB于

E，连接CB，此时DE+CE=DE+EC=DC的值最小．连接BC，由对称性可知∠CBE=∠CBE=45°，∴∠CBC=90°，∴BC⊥BC，

∠BCC=∠BCC=45°，∴BC=BC=2，∵D是BC边的中点，∴BD=1，根据勾股定理可得：DC=5，故EC+ED的最小值是5．2．如图，点C的坐标为（3，y的周长最短时，求y的值．1A的对称点A′，连接′B交直线．AA对称，∴AC=AC．∴AC+BC=A′C+BC．、、A′在同一条直线上时，′有最小值，即△ABC的周长有最小值．AA对称，∴点A′的坐标为（325免费获取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148设直线BAy=kx+b，将点B′的坐标代入得：k＝34b＝−32．34x-32．将代入函数的解析式，∴y的值为343．如图，正方形中，AB＝7，M是DC上的一点，且DM＝3，N是上的一动点，求DN－MN的最小值与最大值．解：解：当ND=NM时，即N点DM的垂直平分线与AC的交点，|DN-MN|=0，因为|DN-MN|≤DM，当点N运动到C点时取等号，此时|DN-MN|=DM=3，所以|DN-MN|的最小值为0，最大值为3周长的最小值为P′P″点P在∠内部，在边上找点D，分别作点P关于的边上找点C，使得△周长最小．对称点P、P″，连接PP″，交于点CDC、D即为所求．PD的最小值为P′C点P在∠内部，在边上找点D，边上找点C，使得PD最小．作点P的对称点P′，过P′作P′⊥交于D，26免费获取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148点CD即为所求．PC＋＋DQ的最小值为PQ′，所以四边形PQDC周长的最小值为PQ＋PQ′点PQ在∠边上找点分别作点P、Q关于OA、D，边上找点C，使得四边形PQDC的对称点P′、Q′，连接周长最小．PQ，分别交于点、DCD即为所求．模型实例如图，∠°，∠内有一定点P=.在OA上有一点Q，上R．若立△周长最小，则最小周长是多少？解答如图，作点P分别关于、的对称点E、F，连接，分别交OA、Q、R，连接、、、.，=．△的周长的最小值为的长.由对称性可得∠∠POQ，∠∠，2∠°．△是正三角形．10．周长最小值为.27免费获取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148模型2角与定点．已知，Ð=°，P为Ð内一定点，A为上的点，B为上的点，的周长取最小值时：(1)找到A、B点，保留作图痕迹；(2)求此时Ð等于多少度.如果∠θ，∠又等于多少度？（1）做点P分别关于的对称点F，连接分别交于点BB即为所求，此时△的周长最小．（２）∵点EP关于直线对称，点FP对称，EF∠=180°-∠=140°．∴在△中，∠E∠F=180°-140°=40°，CPA∠=40°．∴∠=100°．如果∠==180°-θ，∠E+∠F=又∵∠=2∠E=2∠F+∠=2E+∠F=2θ=180°-2θ．．如图，四边形中，Ð=°,ÐB=ÐD=°、上分别找M、N，使△周长最小，并求此时+ANM的度数．28免费获取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148．解答如图，作点A的对称点，关于的对称点，与、的交点即为所求的点MN．此时△周长最小．=110°，∴∠∠=180°-110=70由轴对称的性质得：∠∠，∠=∠，∠ANM=2(∠+∠)=2×70°=140°．．如图，在x轴上找一点Cy轴上找一点D++最小，并求直线的解析式及点C、D的坐标．．解答作点A关于y轴的对称点，点B关于x轴的对称点B，连接B分别交x轴、y轴C、D，此时最小．由对称性可知B，-易求得直线B的解析式为yx2，即直线的解析式yx2．当y0x2，∴点C当x0y2，∴点D29免费获取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148．如图，Ð=°，A、B占分别为射线、上两定点，且=2，=4，点P、Q分别为射线、上两动点，当P、Q运动时，线段++的最小值是多少？．解答作A点关于的对称点B关于的对称点BBQ，连接、OB．则AQPBAB，此时最小．由对称可知，PB，AQ，2，OB4，MOB20．OB．作D⊥OBD，在Rt△∴1，D3∴BD413，B23∴的最小值是23．30免费获取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148模型3两定点一定长模型作法结论AM＋MN＋NBA

A′BdB的最小值为A"B＋dl

lMN如图，在直线l上找M、N两点M在左)，使得AM＋＋最"小，且＝d.将A向右平移d个单位到′，作′关于l的对称点"，连接A"B与直线l交于点N，将点N向左平移d个单位即为MMN即为所求.AM＋＋AAM的最小值为1l1AB＋d.′22NBB如图，1∥2，l1、2间距离为d，将A向下平移d个单位到，连接′B交直线l2于在1、2分别找M、N两点，使点点N作⊥l1AM.点MN即为得⊥1，且＋＋最小．所求．A在xC在y轴正半轴上，且OA＝6，OC＝4，D为中点，点E、F在线段上，点E在点F左侧，EF＝当四边形的周长最小时，求点E的坐标．31免费获取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148解答：D向右平移2个单位得到D'(22)D关于x轴的对称点D"(22)BD"交x轴于点F点F向左平移2个单位到点EE和点FBDEF周长最小.理由：∵四边形BDEF的周长为BDDEEF＋，与是定值.

∴＋DE最小时，四边形BDEF周长最小，∵＋EDBF＋'BFFD"BD"设直线"的解析式为ykxbB(64)D，－2)代入，33得kb＝2kb＝－2，解得k＝b＝－，∴直线BD"的解析式为y＝－5．224令y＝，∴点F坐标为(，．∴点E坐标为(，0)．333练习．在平面直角坐标系中，矩形的顶点OAB分别在xy轴的正半轴上，(3，0)B(04)，D的中点．(1)若E上的一个动点，求△的周长最小值；(2)若E、F为边上的两个动点，且EF＝1，当四边形的周长最小时，求点E、F的坐标．解答：(1)D关于x轴的对称点D'与x轴交于点EDE的周长最小．∵在矩形中，＝OB＝，D为的中点，∴D(02)C(3，，D'(0，－设直线为y＝＋b(34)D'(0，－2)代入，得kb＝b＝－2，解得k＝b＝－2，∴直线为y＝x令y＝，32免费获取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148∴点E的坐标为(1∴OE1AE＝利用勾股定理得＝13DE＝，2，∴△周长的最小值为133．(2)D向右平移1个单位得到D'(12)D关于x轴的对称点D″(12)接″交x轴于点F，将点F向左平移1个单位到点E，此时点E和点F为所求作的点，

且四边形CDEF周长最小．理由：∵四边形的周长为＋DEEF＋，与是定值，

∴＋最小时，四边形周长最小，∴DECF＝DFCFFD″CF″，

设直线″的解析式为ykxbC(34)，(1，－代入，得kb＝k＋b＝－，解得＝，b＝－．∴直线″的解析式为y＝x5，552令y＝，∴点F坐标为(0)，∴点E坐标为(，．333．村庄A和村庄B位于一条小河的两侧，若河岸彼此平行，要架设一座与河岸垂直的桥，桥址应如何选择，才使A与B之间的距离最短？A12B解答：设l1和l2为河岸，作BDlBB等于河宽，连接AB交l1于CC⊥l2于C，则→→→B为最短路线，即A与B之间的距离最短.33免费获取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148专题五角平分线四大模型模型1角平分线的点向两边作垂线如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作OM于点A，PBON于点B，则PB模型分析三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口模型实例1）如图，在△中，∠＝90°，AD平分∠CAB，BC6,BD4,那么点D到直线AB的距离是解答：如图，过点D作DEABE，∵AD平分∠CAB,＝CB＝6,BD4,DECD2，即点D到直线AB的距离是2.2）如图，∠＝∠2，∠3＝∠4，求证：AP平分∠证明：如图，过点P作⊥ABDPE⊥，PF⊥ACF，∵∠1＝∠，∴PD＝PE,∵∠3＝∠4,∴PEPF，∴PD＝又∵PDABPF⊥AC，∴AP平分∠BAC（角平分线的判定）34免费获取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148练习1、如图，在四边形中，BCAB，ADDC,BD平分∠，求证：∠BAD＋∠BCD180°证明：作⊥于DF的延长线于F，∴∠F＝∠DEC＝90°,平分∠ABC,DF＝，又∵AD＝，∴△≌DEC,∴∠＝∠C∵∠＋∠＝180°，∴∠BAD＋∠BCD＝180°2.如图，△的外角∠ACD∠的平分线与内角∠的平分线相交于点P，若BPC＝40°，则∠CAP＝.解答：如图所示，作PN于NPFBA延长线于FPM⊥AC于MBP、分别是∠和∠的角平分线，∴∠ABP＝∠∠DCP＝∠ACP，PF＝PN，∵∠BAC＝∠－∠ABC，∠BPC＝∠PCD－∠PBC(外角性质)∴∠BAC2PCD2PBC2(∠PCD－∠PBC)＝2BPC80°∴∠CAF180°－∠BAC100°，∵PFAP是∠的角平分线，∴∠CAP＝∠＝模型2截取构造对称全等如图，P是∠的平分线上的一点，点A是射线OM上任意一点，在ON上截取OB＝OA,PB，则△OPB≌△35免费获取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148模型分析等，利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧模型实例（1）如图①所示，在△中，AD是△的外角平分线，P是AD上异于点A的任意一点，试比较PB＋与＋AC的大小，并说明理由解题：PB+PCAB+AC证明：在的延长线上取点使＝AB,PE，∵AD平分∠∴∠＝∠EAD，在△与△，AE＝∠CAD＝∠APAP，∴△AEP≌△SASPE＝∵在中：PB+PEBE,BE＝AB+AE＝AB+AC，∴PB+PC＞AB+AC（2）如图所示，AD是△的内角平分线，其它条件不变，试比较PC－与AC－AB的大小，并说明理由解答：AC-AB>PC-PB证明在△中,在AC上取一点E,使，∴AC-AE=AB-AC=BEAD平分∠，∴∠EAP=，在△和△中∴△AEP≌△(SAS)，∴，∵在△中CE>CP-PE，∴AC-AB>PC-PB练习1.已知，在△中，∠A2B,CD是∠的平分线，16,AD＝8,求线段解：如图在边上截取＝，连结DE，在△和△中36免费获取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148∴△ACD≌△ECD(SAS)ADDE，A＝∠1，∵∠A2B，∴∠12∠，∵∠1＝∠＋∠，∴∠＝∠EDB，EBB＝，EBDA8，＝ECBEACDA168242.在△中，＝AC,∠A108°,BD平分∠ABC，求证：BC＝证明：在上截取＝，连结DE，∵平分∠ABC,BEAB,BD＝∴△ABD≌△EBD(SAS)，∴∠DEB＝∠A＝108°，∴∠DEC＝180°－108°72°1ABAC，∴∠C＝∠ABC＝(180°－108°)＝36°，∴∠EDC72°，2∴∠DEC＝∠EDC，∴CE，∴＋＝ABCD，∴＝ABA＝100°,∠ABC40°,BD是∠至，使DEAD，求证：＝＋证明：在上取点，使得BFAB,DF，∵平分∠ABCBD＝∴△ABD≌△FBD，∴DFAD＝DE,ADB＝∠FDB，∴平分∠∴∠ABD20°,则∠ADB＝180°20°100°60°＝∠CDF＝180°－∠ADB－∠FDB＝60°，∴∠CDF＝∠CDE，在△和△中∴△CDECDF，∴CE＝CF，∴＝BFFCAB模型3角平分线+垂线构造等腰三角形如图，P是∠的平分线上一点，AP丄OP于PAP交ON于点.B,则△AOB是等腰三角形.37免费获取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148模型分析构造此模型可以利用等腰三角形的"三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形.进而得到对应边.对应角相等.这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来.模型实例如图.己知等腰直角三角形中，∠A=90°,AB=AC,平分∠C£丄BD.垂足为求证：BD=2C£.解答：如图，延长、交于点∵丄于BAC=90°，∴∠BAD=∴∠ABD=又∵AB=AC,∠BAD=∠CAF=90°,∴△ABD≌△∴平分∠∴∠CBE=∠FBE.又BE=BE,∴△BCE≌△BFE.∴BD=2CE.练习如图.在△中.BE是角平分线.AD丄BE.垂足为D.求证：∠2=∠1+证明：延长AD交于∵AD⊥∴∠ADB=∠BDF=90°,∵∠ABD=FBD,∴∠2=BFD.∵∠BFD=1+∠C,∴∠2=∠1+如图.在△中.∠ABC=3C,AD是∠的平分线,丄AD求证:1BE(ACAB).238免费获取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148证明:交ACAD为∠的角平分线∴∠BAD=CAD.AE=AE,∴∠BAE=∠则△AEB≌△AEF，∴∠2=3.AC-AB=AC-AF=FC.∵∠ABC=3C,∴∠2+1=∠3+1=∠1+C+∠∠C.∴21=2C11

即∠1=CBF=FO=2BE.∴AB

22模型4角平分线+平行线模型分析有角平分线时.常过角平分线上一点作角的一边的平行线.构造等腰三角形.为证明结论提供更多的条件.体现了用平分线与等腰三角形之间的密切关系.模型实例解答下列问题：(1)如图①△中，EF∥BC,点D在上,BD分别平分∠ABC、∠ACB.写出线段与BE有什么数量关系？(2)如图②平分∠ABC,CD平分外角∠DE//BC交AB于点E,交AC于点F与BE有什么数量关系？并说明理由.(3)如图③BD为外角∠CBM的平分线，DE//BC交AB延长线于点E.交AC延长线于点直接写出线段与BE有什么数关系？39免费获取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148解答：(1)∵EF//BC,∴∠EDB=∠DBC.平分∠EBCEBD=DBC=EDB.∴EB=ED.同理：DF=FC.∴(2)EF=BE=CF平分∠BAC,∴∠ABD=DBC.又DE//BCEDB=∠DE=EB.同理可证：CF=DF(3)练习如图.在△中,ABC和∠ACB的平分线交于点E.过点E作∥交AB于M.交AC于N点若BM+CN=9，则线段的长为.ABC的平分线相交于点E,MBE=∠EBCECN=∠ECB.MN//BC,∴∠EBC=∠MEB,NEC=∠∴∠MBE-∠MEB,NEO=ECN.∴BM=ME,EN=CN.MN=ME+EN,即MN=BM+CN.∵BM+CN=9,MN=9.2.如图.在△中,AD平分∠BAC.点F分別在BDAD上,EF∥AB.且DE=CD,求证：EF=AC.证明：如图，过点C作CM∥AB交AD的延长线于点∵AB∴CM∴∠3=∠4.DE=CD,5=∠6,∴△DEF≌△DCM.EF=CM.AB//CM,∴∠2=∠4.∵∠1=2,∴∠1=4.CM=AC.∴EF=AC3.如图.梯形中,ADBC,点E在上,且AE平分∠BAD.BE平分∠ABC.求证：AD=AB-BC.40免费获取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148证明：延长AD、交于点AD∥BC,∴∠2=∵∠1=2,∴∠1=AE平分BAD∴∵∠DEF=CEB,∴△DEF≌△CEB.∴DF=BC.AD=AF-DF=AB-BC.41免费获取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148专题六截长补短辅助线模型模型1截长补短如图①，若证明线段AB、CD、之间存在EF＝AB＋，可以考虑截长补短法.截长法：如图②，在上截取EG＝AB，再证明GF＝即可.AB至HBH＝CD明AH即可.模型分析截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系..该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以采用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程.模型实例例：如图，已知在△中，∠C2B，∠＝∠2.求证：＝AC.证法一，截长法：上取一点EAE＝，连接AEAC，∠1＝∠，AD＝AD，∴△ACD≌△，CDDE，∠＝∠3.∵∠＝2，∴∠32B＝∠4＋∠B，∴∠4＝∠B，DE，CDBE.ABAEBE，ABAC.42免费获取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148证法二，补短法：如图②，延长ACCE＝，连接DE.CE＝，∴∠4＝∠E.∵∠3＝∠＋∠E，∴∠3＝∠E.∵∠32B，∴∠E＝∠B.∵∠1＝∠，AD＝AD，∴△EAD≌△，∴AE又∵＝＋CE，∴∴＝＋.例OD平分∠AOBDCOACA＝∠.求证：AOBO＝2CO.证明：在线段AO上取一点CEAC，连接DE.CDCDDC⊥OA，∴△ACD≌△ECD，∴∠A＝∠.∵∠A＝∠，∴∠CED＝∠，180－∠CED＝180－∠，∴∠OED＝∠.OD平分∠AOB，∴∠AOD＝∠.ODOD，∴△OED≌△，OBOE，AOBOAOOEOE2CEOE＝＋＋OECE＝（CEOE）＝2CO.跟踪练习1.BAC60AD是∠AC＝＋.求∠的度数.【答案】43免费获取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148证法一：补短AB，使BE＝.在△BE＝，∴∠＝∠BDE，∴∠ABC＝∠BDE＋∠＝2E.又∵＝＋BD，ACABBE，∴ACAE.AD是∠的平分线，∠BAC＝，∴∠EAD＝∠＝÷2300.ADAD，∴△AED≌△，∴∠＝∠C.∵∠ABC2E，∴∠＝∠C.∵∠BAC60，∴∠ABC＋∠18060＝120，∴32∠＝120，∴∠ABC800.证法二：在AC上取一点，使AFABAD是∠的平分线，∴∠BAD＝∠.ADAD，∴△BAD≌△，∴∠＝∠AFD，＝.ACABBD，AF＋FD＝，∴∠FDC＝∠C.

∵∠AFD＝∠FDC＋∠，∴∠＝∠FDC＋∠C2C.

∵∠BAC＋∠＋∠＝180，∴32∠＝120，∴∠ABC800.2.ABC＝AD分别平分∠BAC.AC＝AE.【答案】如图，在AC边上取点FAE＝，连接OF.∵∠ABC60，∴∠BAC＋∠ACB＝180－∠ABC＝1200.AD分别平分∠BAC、∠ACB，∴∠OAC＝∠＝Ð2Ð，∠OCA＝∠＝2，44免费获取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148∴∠AOE＝∠＝∠OAC＋∠OCA＝∴∠AOC1800－∠＝1200.Ð+Ð2＝0，AEAF，∠EAO＝∠AO＝AO，∴△AOE≌△AOFSAS∴∠AOF＝∠AOE60，∴∠COF＝∠AOC－∠AOF60，∴∠COF＝∠.COCO平分∠ACB，∴△COD≌△COFASACD.ACAF＋CF，ACAECD，ABC＋∠BCD180分别平分∠ABC求证：AB＝.【答案】证法一：截长上取一点BF＝，连接.∵∠1＝∠ABEBEBE，∴△ABE≌△FBE，∴∠3＝∠4.∵∠ABC＋∠BCD1800，BE、分别平分∠、∠DCB，∴∠1＋∠＝12ABC＋12＝12×180＝0，∴∠BEC900，∴∠4＋∠＝0，∠3＋∠＝0.∵∠3＝∠4，∴∠＝∠6.CE＝，2＝∠，∴△CEF≌△CED，∴CF＝.BC＝＋CFAB＝BF，∴＋＝证法二：补短如图②，延长FBFBC.∵∠1＝∠ABEBEBE，∴△BEF≌△BEC，EFEC，∠BEC＝∠.∵∠ABC＋∠BCD1800，BE、分别平分∠、∠DCB，45免费获取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148∴∠1＋∠＝12ABC＋12＝12×180＝0，∴∠BEC900，∴∠BEF＝∠BEC＝0，∴∠BEF＋∠BEC＝180，CEF三点共线.ABCD，∴∠F＝∠FCD.EFEC，∠FEA＝∠DEC，∴△AEF≌△DEC，AF＝.BF＝＋AF，BC＝.4.ABC＝0AD平分∠交于D＝30BEAD于点E.求证：－＝2BE.【答案】延长交ACM.BE⊥AD，∴∠AEB＝∠AEM900.∵∠390－∠1，∠490－∠2，∠＝∠2，∴∠3＝∠，∴ABAM.BE⊥，∴BM2BE.∵∠ABC90，∠＝0，∴∠BAC600.ABAM，∴∠3＝∠＝0，∴∠590－∠330，∴∠5＝∠，∴CMBM，ACABCMBM＝2BE.5.如图，△中，A＝BC，AD平分∠交于点D，CEAD交AD于点F，交ABE.求证：AD2DF.46免费获取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148【答案】在AD上取一点G，使AGCE.CE⊥AD，∴∠AFC90，∠1＋∠ACF＝0.∵∠2＋∠ACF90，∴∠＝∠2.ACBCAG＝，∴△ACG≌△CBE，∴∠3＝∠＝，∴∠2＋∠＝0－∠3450.∵∠2＝∠＝12BAC22.5，∴∠4450－∠2＝22.5，∴∠4＝∠＝22.50.又∵CFCF，DG⊥CF，∴△CDF≌△CGF，∴DF＝GF.ADAG＋DG，∴ADCE＋2DF.6.ABCDEAB＝AEBCDE＝CDB＋∠E1800.AD平分.【答案】如图，延长，使BF＝，连接、AC.∵∠1＋∠＝1800，∠＋∠11800，∴∠2＝∠E.ABAE，∠2＝∠BFDE，∴△ABF≌△AED，∴∠F＝∠4AF＝AD.BC＋＝，∴BCBF＝＝.又∵＝，∴△ACF≌△ACD，∴∠＝∠3.∵∠＝∠4，∴∠3＝∠，AD平分∠.47免费获取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148专题七蚂蚁行程模型1立体图形展开的最短路径模型分析AB的最短路径就是展开图中AB′的长，。做此类题日的关键就是，正确展开立体图形，利用“两点之间线段最短”或“两边之和大于第三边”准确找出最短路径。模型实例例1．有一圆柱体油罐，已知油罐底面周长是12m，高AB是5m，要从点A处开始绕油罐一周建造房子，正好到达A点的正上方B处，问梯子最短有多长？例2．如图，一直圆锥的母线长为QA=8，底面圆的半径，若一只小蚂蚁从A点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，则蚂蚁爬行的最短路线长是。48免费获取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148例A处出发到B处觅食，49免费获取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148跟踪练习C处，求蚂蚁爬行的最短距离。50免费获取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148A点到B线如图，则最短路程为。3．桌上有一个圆柱形无盖玻璃杯，高为12厘米，底面周长18厘米，在杯口内壁离杯口距离3厘米的A223厘B处时，突然发现了蜜糖，问小虫至少爬多少厘米才能到达蜜糖所在的位置。51免费获取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148O为OBC开始沿圆锥侧面爬行到点A，另一只小蚂蚁也从C点出发绕着圆锥侧面爬行到点B，它们所爬行的最短路线的痕迹如图所示，若沿OA剪开，则得到的圆锥侧面展开图为（）ABCD5．如图，一只蚂蚁沿着边长为2的正方体表面从点A出发，经过3个面爬行到点B，如果它运动的路径是最短的，则最短距离为。52免费获取版，加微信：beijingdaxue777QQ如图是一个边长为6的正方体木箱，点Q在上底面的棱上，AQ=2，一只蚂蚁从P点出发沿木箱表面爬行到点Q，求蚂蚁爬行的最短路线。高分别等于和和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物。请你免费获取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点的最短路程是多少？54免费获取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148专题八三垂直全等模型模型1三垂直全等模型如图：∠D＝∠BCA＝∠E90°，BCAC.结论：RtBCD≌△CAE.模型分析形去求解.图①和图②就是我们经常会见到的两种弦图.三垂直图形变形如下图③、图④，这也是由弦图演变而来的.例1如图，AB⊥，⊥BCAE⊥，＝DE，求证：AB＝BC.证明：∵AEDEAB⊥BCDCBC，∴∠AED＝∠＝∠C90.∴∠＋∠AEB＝∠AEB＋∠CED90.∴∠BAE＝∠CED.55免费获取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148在△和△BCA∴△ABE≌△ECD.AB＝，BECD.AB＋＝＋BE＝例2如图，∠ACB＝°，ACBC，BE⊥CEAD⊥于D，AD2.5cm，BE＝0.8cm，则DE的长为多少？解答：∵BECEADCE，∴∠E＝∠ADC90.∴∠EBC＋∠BCE90.∵∠BCE＋∠ACD＝°，∴∠EBC＝∠DCA.在△和△E∴△CEB≌△ADC.∴＝DC0.8cmCE＝2.5cm.∴CECD2.50.81.7cm.例3如图，在平面直角坐标系中，等腰Rt△有两个顶点在坐标轴上，求第三个顶点的坐标.）如图③，过点B作⊥x轴于点D.∴∠BCD＋∠DBC＝°.56免费获取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148由等腰Rt△可知，BC＝，∠ACB90∴∠BCD＋∠ACO＝°.∴∠DBC＝∠ACO.在△和△∴△BCD≌△CAO.∴OA，＝.∵3，＝∴3，＝∴OD∴（－，）.2）如图④，过点A作⊥y轴于点D.在△和△∴△ACD≌△CBO.∴OB，＝.∵（－，03）∴1，＝∴3，OD∴OD∴（2.跟踪练习．如图，正方形ABCD，＝CF.）AEBF2AE⊥BF.57免费获取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148证明：1）∵四边形ABCD是正方形，∴＝BD，∠ABC＝∠BCD90.在△和△∴△ABE≌△BCF.∴＝BF.2）∵△ABE≌△BCF.∴∠BAE＝∠CBF.∵∠ABE＝°，∴∠BAE＋∠AEB90.∴∠CBF＋∠AEB90.∴∠BGE＝°，∴⊥BF.．直线l上有三个正方形ab、ac的面积分别是5和b的面积是_____.解答：∵abc都是正方形，∴＝CD，∠ACD°.∵∠ACB＋∠DCE＝∠ACB＋∠BAC90∴∠BAC＝∠DCE.在△和△∴△ACB≌△CDE.∴＝CEBC＝.在Rt＝2＋2＝2＋22即S＝bS＋aS＝＋＝c58免费获取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148BAC＝90AB＝ACP为BP<CPB、C作⊥于、CF于F.1）求证：＝CFBE；2P为延长线上一点，其它条件不变，则线段BECF是否存在某种确定的数量关系？画图并直接写出你的结论.解答：∵BEAP，⊥AP，∴∠AEB＝∠AFC＝90.∴∠＋∠ACF＝°，∵∠BAC90°，∴∠BAE＋∠＝°，∴∠BAE＝∠ACF.在△和△∴△ABE≌△CAF.AE＝，BEAF.EF＝AEAF，EF＝－BE.2）如图，＝BECF.理由：同（）易证△ABE≌△CAF.∴＝CFBE＝AF.∵＝AEAF，∴＝＋.ABCDAD∥BCAB⊥BCAD＝BC＝BCD＝αD为旋转中心，将腰DCD逆时针旋转90.1）当＝45°时，求△的面积；59免费获取版，加微信：beijingdaxue777QQ当＝45°时，求△的面积；3°α<90的面积与α的面积Sα的关系式；若无关，请证明结论.解答：1；2；3）过点D作DGG，过点E作EF⊥交延长线于点F.∵BCDG⊥，∴∠GDF90°.又∵∠EDC90∴∠＝∠在△和△12∴△DCG≌△∴＝CG，∵BCABBC，＝，＝，∴AD＝，∴∴S＝EAD12ADEF＝∴△的面积与α大小无关.5．向△的外侧作正方形ABDE、正方形ACFG，过A作AH⊥于H，的反向延长线与交于点.求证：BC＝AP.60免费获取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148解答：过点G作GMM，过点E作EN交延长线于点N.∵四边形ACFG是正方形，∴＝AG，∠CAG90.∴∠CAH＋∠GAM＝90.又∵⊥BC，∴∠CAH＋∠ACH＝°.∴∠ACH＝∠GAM.在△和△∴△ACH≌△∴AMAHGM.同理可证△ABH≌△∴ANAHEN.∴＝GM.在△和△∴△EPN≌△GPM.∴＝MP，∴＝BHANAPPN＋APAP.61免费获取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148专题九手拉手模型E模型1手拉手AAEADEDDBCBCBC图①图②图③如图，△ABC是等腰三角形、△是等腰三角形，AB＝AD＝AE，∠＝∠＝．结论：连接、CE，则有△≌△CAE．模型分析如图①，＝∠－∠，∠CAE＝∠－∠．∵∠＝∠＝，∴∠＝∠CAE．在△和△CAEAC﹐CAE﹐AE﹐图②、图③同理可证．（）这个图形是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．（角形有公共顶点，类似大手拉着小手，所以把这个模型称为手拉手模型．（）手拉手模型常和旋转结合，在考试中作为几何综合题目出现．模型实例例1如图，△与△都为等腰直角三角形，连接、CE，相交于点，问：C（与是否相等？（与之间的夹角为多少度？HG

O62DAE免费获取版，加微信：beijingdaxue777QQ:1456770148解答：（＝．理由如下：∵∠ADG＝∠ADC＋∠CDG，∠CDE＝∠＋∠CDG，∠ADC＝∠EDG90°，∴∠ADG＝∠CDE．在△和△﹐CDE﹐DE﹐∴△ADE≌△CDE．＝．（）∵△ADG≌△CDE，∴∠＝∠DCE．∵∠＝∠，∴∠CHA＝∠ADC90°．与之间的夹角是90°．例2如图，在直线的同一侧作△ABD和△BCE，△ABD和△都是等边三角形，AECD，二者交点为．D）△ABE≌△DBC；（AEDQ；（）∠DHA60°；（）△≌△DFB；GHEF（）△≌△CFB；ABC（）连接GF，GF∥；（）连接HB平分∠AHC．）∠ABE＝120°，∠CBD120°，在△ABE和△﹐DBC﹐BC﹐∴△ABE≌△DBC．（）∵△ABE≌△DBC，AE．（）△ABE≌△DBC，∴∠＝∠．63免费获取版，加微信：beijingdaxue777QQ: