安徽省干汊河中学2025届高考数学必刷试卷含解析

安徽省干汊河中学2025届高考数学必刷试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知命题p:直线a∥b，且b⊂平面α，则a∥α；命题q:直线l⊥平面α，任意直线m⊂α，则l⊥m.下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．p∨（非q） C．（非p）∧q D．p∧（非q）2．函数的图象大致为（）A． B．C． D．3．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为11，则图中的判断条件可以为（）A． B． C． D．4．若复数（）在复平面内的对应点在直线上，则等于()A． B． C． D．5．数列满足：，则数列前项的和为A． B． C． D．6．a为正实数，i为虚数单位，，则a=（）A．2 B． C． D．17．一袋中装有个红球和个黑球（除颜色外无区别），任取球，记其中黑球数为，则为（）A． B． C． D．8．已知整数满足，记点的坐标为，则点满足的概率为（）A． B． C． D．9．将函数f(x)=sin3x-cos3x+1的图象向左平移个单位长度，得到函数g(x)的图象，给出下列关于g(x)的结论：①它的图象关于直线x=对称；②它的最小正周期为；③它的图象关于点(，1)对称；④它在[]上单调递增.其中所有正确结论的编号是（）A．①② B．②③ C．①②④ D．②③④10．一个盒子里有4个分别标有号码为1，2，3，4的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是4的取法有（）A．17种 B．27种 C．37种 D．47种11．已知全集为，集合，则（）A． B． C． D．12．已知双曲线，过原点作一条倾斜角为直线分别交双曲线左、右两支P，Q两点，以线段PQ为直径的圆过右焦点F，则双曲线离心率为A． B． C．2 D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知，则_____.14．若的展开式中所有项的系数之和为，则______，含项的系数是______（用数字作答）.15．已知等差数列的前n项和为Sn，若，则____.16．在中，已知，，是边的垂直平分线上的一点，则__________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为（）.（1）求抛物线C的极坐标方程；（2）若抛物线C与直线l交于A，B两点，求的值.18．（12分）在三棱柱中，四边形是菱形，，，，，点M、N分别是、的中点，且.（1）求证：平面平面；（2）求四棱锥的体积.19．（12分）已知函数（1）若函数在处取得极值1，证明：（2）若恒成立，求实数的取值范围.20．（12分）已知不等式对于任意的恒成立.（1）求实数m的取值范围；（2）若m的最大值为M，且正实数a，b，c满足.求证.21．（12分）已知关于的不等式有解.（1）求实数的最大值；（2）若，，均为正实数，且满足.证明：.22．（10分）设数阵，其中、、、．设，其中，且．定义变换为“对于数阵的每一行，若其中有或，则将这一行中每个数都乘以；若其中没有且没有，则这一行中所有数均保持不变”（、、、）．表示“将经过变换得到，再将经过变换得到、，以此类推，最后将经过变换得到”，记数阵中四个数的和为．（1）若，写出经过变换后得到的数阵；（2）若，，求的值；（3）对任意确定的一个数阵，证明：的所有可能取值的和不超过．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】

首先判断出为假命题、为真命题，然后结合含有简单逻辑联结词命题的真假性，判断出正确选项.【详解】根据线面平行的判定，我们易得命题若直线，直线平面，则直线平面或直线在平面内，命题为假命题；根据线面垂直的定义，我们易得命题若直线平面，则若直线与平面内的任意直线都垂直，命题为真命题.故:A命题“”为假命题；B命题“”为假命题；C命题“”为真命题；D命题“”为假命题.故选：C.【点睛】本小题主要考查线面平行与垂直有关命题真假性的判断，考查含有简单逻辑联结词的命题的真假性判断，属于基础题.2、A【解析】

根据函数的奇偶性和单调性，排除错误选项，从而得出正确选项.【详解】因为，所以是偶函数，排除C和D.当时，，，令，得，即在上递减；令，得，即在上递增.所以在处取得极小值，排除B.故选：A【点睛】本小题主要考查函数图像的识别，考查利用导数研究函数的单调区间和极值，属于中档题.3、B【解析】

根据程序框图知当时，循环终止，此时，即可得答案.【详解】，.运行第一次，，不成立，运行第二次，，不成立，运行第三次，，不成立，运行第四次，，不成立，运行第五次，，成立，输出i的值为11，结束.故选：B.【点睛】本题考查补充程序框图判断框的条件，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意模拟程序一步一步执行的求解策略.4、C【解析】

由题意得，可求得，再根据共轭复数的定义可得选项.【详解】由题意得，解得，所以，所以，故选：C.【点睛】本题考查复数的几何表示和共轭复数的定义，属于基础题.5、A【解析】分析：通过对an﹣an+1=2anan+1变形可知，进而可知，利用裂项相消法求和即可．详解：∵，∴，又∵=5，∴，即，∴，∴数列前项的和为，故选A．点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)；（2）；（3）；（4）；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.6、B【解析】

，选B.7、A【解析】

由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，进而可求得随机变量的数学期望值.【详解】由题意可知，随机变量的可能取值有、、、，则，，，.因此，随机变量的数学期望为.故选：A.【点睛】本题考查随机变量数学期望的计算，考查计算能力，属于基础题.8、D【解析】

列出所有圆内的整数点共有37个，满足条件的有7个，相除得到概率.【详解】因为是整数，所以所有满足条件的点是位于圆（含边界）内的整数点，满足条件的整数点有共37个，满足的整数点有7个，则所求概率为.故选：.【点睛】本题考查了古典概率的计算，意在考查学生的应用能力.9、B【解析】

根据函数图象的平移变换公式求出函数的解析式，再利用正弦函数的对称性、单调区间等相关性质求解即可.【详解】因为f(x)=sin3x-cos3x+1=2sin(3x-)+1，由图象的平移变换公式知，函数g(x)=2sin[3(x+)-]+1=2sin(3x+)+1，其最小正周期为，故②正确；令3x+=kπ+，得x=+(k∈Z)，所以x=不是对称轴，故①错误；令3x+=kπ，得x=-(k∈Z)，取k=2，得x=，故函数g(x)的图象关于点(，1)对称，故③正确；令2kπ-≤3x+≤2kπ+，k∈Z，得-≤x≤+，取k=2，得≤x≤，取k=3，得≤x≤，故④错误；故选：B【点睛】本题考查图象的平移变换和正弦函数的对称性、单调性和最小正周期等性质；考查运算求解能力和整体代换思想；熟练掌握正弦函数的对称性、单调性和最小正周期等相关性质是求解本题的关键;属于中档题、常考题型10、C【解析】

由于是放回抽取,故每次的情况有4种,共有64种；先找到最大值不是4的情况,即三次取出标号均不为4的球的情况,进而求解.【详解】所有可能的情况有种,其中最大值不是4的情况有种,所以取得小球标号最大值是4的取法有种,故选:C【点睛】本题考查古典概型,考查补集思想的应用,属于基础题.11、D【解析】

对于集合,求得函数的定义域,再求得补集；对于集合,解得一元二次不等式,再由交集的定义求解即可.【详解】,,.故选:D【点睛】本题考查集合的补集、交集运算,考查具体函数的定义域,考查解一元二次不等式.12、B【解析】

求得直线的方程，联立直线的方程和双曲线的方程，求得两点坐标的关系，根据列方程，化简后求得离心率.【详解】设，依题意直线的方程为，代入双曲线方程并化简得，故，设焦点坐标为，由于以为直径的圆经过点，故，即，即，即，两边除以得，解得.故，故选B.【点睛】本小题主要考查直线和双曲线的交点，考查圆的直径有关的几何性质，考查运算求解能力，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

对原方程两边求导，然后令求得表达式的值.【详解】对等式两边求导，得，令，则.【点睛】本小题主要考查二项式展开式，考查利用导数转化已知条件，考查赋值法，属于中档题.14、【解析】的展开式中所有项的系数之和为，，，项的系数是，故答案为（1），（2）.15、【解析】

由，，成等差数列，代入可得的值.【详解】解：由等差数列的性质可得：，，成等差数列，可得：，代入，可得：，故答案为：.【点睛】本题主要考查等差数列前n项和的性质，相对不难.16、【解析】

作出图形，设点为线段的中点，可得出且，进而可计算出的值.【详解】设点为线段的中点，则，，，.故答案为：.【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，涉及平面向量数量积运算律的应用，解答的关键就是选择合适的基底表示向量，考查计算能力，属于中等题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】

(1)利用极坐标和直角坐标的互化公式，,即可求得结果.(2)由的几何意义得,.将代入抛物线C的方程,利用韦达定理，，即可求得结果.【详解】（1）因为，，代入得，所以抛物线C的极坐标方程为.（2）将代入抛物线C的方程得，所以，，所以，由的几何意义得，.【点睛】本题考查直角坐标和极坐标的转化,考查极坐标方程的综合应用,考查了学生综合分析,转化与划归,数学运算的能力,难度一般.18、（1）证明见解析；（2）.【解析】

（1）要证面面垂直需要先证明线面垂直，即证明出平面即可；（2）求出点A到平面的距离，然后根据棱锥的体积公式即可求出四棱锥的体积.【详解】（1）连接，由是平行四边形及N是的中点，得N也是的中点，因为点M是的中点，所以，因为，所以，又，，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）过A作交于点O，因为平面平面，平面平面，所以平面，由是菱形及，得为三角形，则，由平面，得，从而侧面为矩形，所以.【点睛】本题主要考查了面面垂直的证明，求四棱锥的体积，属于一般题.19、（1）证明见详解；（2）【解析】

（1）求出函数的导函数，由在处取得极值1，可得且.解出，构造函数，分析其单调性，结合，即可得到的范围，命题得证；

（2）由分离参数，得到恒成立，构造函数，求导函数，再构造函数，进行二次求导.由知，则在上单调递增.根据零点存在定理可知有唯一零点，且.由此判断出时，单调递减，时，单调递增，则，即.由得，再次构造函数，求导分析单调性，从而得，即，最终求得，则.【详解】解：（1）由题知，∵函数在，处取得极值1，，且，，，令，则为增函数，，即成立.（2）不等式恒成立，即不等式恒成立，即恒成立，令，则令，则,，，在上单调递增，且，有唯一零点，且，当时，，，单调递减；当时，，，单调递增.，由整理得，令，则方程等价于而在上恒大于零，在上单调递增，.，∴实数的取值范围为.【点睛】本题考查了函数的极值，利用导函数判断函数的单调性，函数的零点存在定理，证明不等式，解决不等式恒成立问题.其中多次构造函数，是解题的关键，属于综合性很强的难题.20、（1）（2）证明见解析【解析】

（1）法一：，，得，则，由此可得答案；法二：由题意，令，易知是偶函数，且时为增函数，由此可得出答案；（2）由（1）知，，即，结合“1”的代换，利用基本不等式即可证明结论．【详解】解：（1）法一：（当且仅当时取等号），又（当且仅当时取等号），所以（当且仅当时取等号），由題意得，则，解得，故的取值范围是；法二：因为对于任意恒有成立，即，令，易知是偶函数，且时为增函数，所以，即，则，解得，故的取值范围是；（2）由（1）知，，即，∴，故不等式成立．【点睛】本题主要考查绝对值不等式的恒成立问题，考查基本不等式的应用，属于中档题．21、（1）；（2）见解析【解析】

（1）由题意，只需找到的最大值即可；（2），构造并利用基本不等式可得，即.【详解】（1），∴的最大值为4.关于的不等式有解等价于，（ⅰ）当时，上述不等式转化为，解得，（ⅱ）当时，上述不等式转化为，解得，综上所述，实数的取值范围为，则实数的最大值为3，即.（2）证明：根据（1）求解知，所以，又∵，，，，，当且仅当时，等号成立，即，∴，所以，.【点睛】本题考查绝对值不等式中的能成立问题以及综合法证明不等式问题，是一道中档题.22、（1）；（2）；（3）见解析.【解析】

（1）由，能求出经过变换后得到的数阵；（2）由，，求出数阵经过变化后的矩阵，进而可求得的值；（3）分和两种情况讨论，推导出变换后数阵的第一行和第二行的数字之和，由此能证明的所有可能取值的和不超过．【详解】（1），经过变换后得到的数阵；（2）经变换后得，故；（3）若，在的所有非空子集中，含有且不含的子集共个，经过变换后