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文档简介

2025届河北省保定市重点中学高考数学必刷试卷注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知数列中,,(),则等于()A. B. C. D.22.赵爽是我国古代数学家、天文学家,大约在公元222年,赵爽为《周髀算经》一书作序时,介绍了“勾股圆方图”,亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的).类比“赵爽弦图”.可类似地构造如下图所示的图形,它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成一个大等边三角形.设,若在大等边三角形中随机取一点,则此点取自小等边三角形(阴影部分)的概率是()A. B. C. D.3.双曲线x2a2A.y=±2x B.y=±3x4.执行如图所示的程序框图,若输入,,则输出的()A.4 B.5 C.6 D.75.函数在上的最大值和最小值分别为()A.,-2 B.,-9 C.-2,-9 D.2,-26.为了研究国民收入在国民之间的分配,避免贫富过分悬殊,美国统计学家劳伦茨提出了著名的劳伦茨曲线,如图所示.劳伦茨曲线为直线时,表示收入完全平等.劳伦茨曲线为折线时,表示收入完全不平等.记区域为不平等区域,表示其面积,为的面积,将称为基尼系数.对于下列说法:①越小,则国民分配越公平;②设劳伦茨曲线对应的函数为,则对,均有;③若某国家某年的劳伦茨曲线近似为,则;④若某国家某年的劳伦茨曲线近似为,则.其中正确的是:A.①④ B.②③ C.①③④ D.①②④7.已知集合,,则中元素的个数为()A.3 B.2 C.1 D.08.已知,且,则()A. B. C. D.9.已知为锐角,且,则等于()A. B. C. D.10.已知为虚数单位,若复数满足,则()A. B. C. D.11.已知复数,则的虚部为()A. B. C. D.112.在中,D为的中点,E为上靠近点B的三等分点,且,相交于点P,则()A. B.C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线上任一点,且的最小值为,则该双曲线的离心率是__________.14.已知,则展开式中的系数为__15.点是曲线()图象上的一个定点,过点的切线方程为,则实数k的值为______.16.若幂函数的图象经过点,则其单调递减区间为_______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,在直三棱柱中,,点分别为和的中点.(Ⅰ)棱上是否存在点使得平面平面?若存在,写出的长并证明你的结论;若不存在,请说明理由.(Ⅱ)求二面角的余弦值.18.(12分)自湖北武汉爆发新型冠状病毒惑染的肺炎疫情以来,武汉医护人员和医疗、生活物资严重缺乏,全国各地纷纷驰援.截至1月30日12时,湖北省累计接收捐赠物资615.43万件,包括医用防护服2.6万套N95口軍47.9万个,医用一次性口罩172.87万个,护目镜3.93万个等.中某运输队接到给武汉运送物资的任务,该运输队有8辆载重为6t的A型卡车,6辆载重为10t的B型卡车,10名驾驶员,要求此运输队每天至少运送720t物资.已知每辆卡车每天往返的次数:A型卡车16次,B型卡车12次;每辆卡车每天往返的成本:A型卡车240元,B型卡车378元.求每天派出A型卡车与B型卡车各多少辆,运输队所花的成本最低?19.(12分)如图,在三棱锥中,,是的中点,点在上,平面,平面平面,为锐角三角形,求证:(1)是的中点;(2)平面平面.20.(12分)已知椭圆的离心率为,且过点,点在第一象限,为左顶点,为下顶点,交轴于点,交轴于点.(1)求椭圆的标准方程;(2)若,求点的坐标.21.(12分)甲、乙、丙三名射击运动员射中目标的概率分别为,三人各射击一次,击中目标的次数记为.(1)求的分布列及数学期望;(2)在概率(=0,1,2,3)中,若的值最大,求实数的取值范围.22.(10分)已知函数.(1)若,证明:当时,;(2)若在只有一个零点,求的值.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

分别代值计算可得,观察可得数列是以3为周期的周期数列,问题得以解决.【详解】解:∵,(),

…,

∴数列是以3为周期的周期数列,

故选:A.【点睛】本题考查数列的周期性和运用:求数列中的项,考查运算能力,属于基础题.2、A【解析】

根据几何概率计算公式,求出中间小三角形区域的面积与大三角形面积的比值即可.【详解】在中,,,,由余弦定理,得,所以.所以所求概率为.故选A.【点睛】本题考查了几何概型的概率计算问题,是基础题.3、A【解析】分析:根据离心率得a,c关系,进而得a,b关系,再根据双曲线方程求渐近线方程,得结果.详解:∵e=因为渐近线方程为y=±bax点睛:已知双曲线方程x2a24、C【解析】

根据程序框图程序运算即可得.【详解】依程序运算可得:,故选:C【点睛】本题主要考查了程序框图的计算,解题的关键是理解程序框图运行的过程.5、B【解析】

由函数解析式中含绝对值,所以去绝对值并画出函数图象,结合图象即可求得在上的最大值和最小值.【详解】依题意,,作出函数的图象如下所示;由函数图像可知,当时,有最大值,当时,有最小值.故选:B.【点睛】本题考查了绝对值函数图象的画法,由函数图象求函数的最值,属于基础题.6、A【解析】

对于①,根据基尼系数公式,可得基尼系数越小,不平等区域的面积越小,国民分配越公平,所以①正确.对于②,根据劳伦茨曲线为一条凹向横轴的曲线,由图得,均有,可得,所以②错误.对于③,因为,所以,所以③错误.对于④,因为,所以,所以④正确.故选A.7、C【解析】

集合表示半圆上的点,集合表示直线上的点,联立方程组求得方程组解的个数,即为交集中元素的个数.【详解】由题可知:集合表示半圆上的点,集合表示直线上的点,联立与,可得,整理得,即,当时,,不满足题意;故方程组有唯一的解.故.故选:C.【点睛】本题考查集合交集的求解,涉及圆和直线的位置关系的判断,属基础题.8、B【解析】分析:首先利用同角三角函数关系式,结合题中所给的角的范围,求得的值,之后借助于倍角公式,将待求的式子转化为关于的式子,代入从而求得结果.详解:根据题中的条件,可得为锐角,根据,可求得,而,故选B.点睛:该题考查的是有关同角三角函数关系式以及倍角公式的应用,在解题的过程中,需要对已知真切求余弦的方法要明确,可以应用同角三角函数关系式求解,也可以结合三角函数的定义式求解.9、C【解析】

由可得,再利用计算即可.【详解】因为,,所以,所以.故选:C.【点睛】本题考查二倍角公式的应用,考查学生对三角函数式化简求值公式的灵活运用的能力,属于基础题.10、A【解析】分析:题设中复数满足的等式可以化为,利用复数的四则运算可以求出.详解:由题设有,故,故选A.点睛:本题考查复数的四则运算和复数概念中的共轭复数,属于基础题.11、C【解析】

先将,化简转化为,再得到下结论.【详解】已知复数,所以,所以的虚部为-1.故选:C【点睛】本题主要考查复数的概念及运算,还考查了运算求解的能力,属于基础题.12、B【解析】

设,则,,由B,P,D三点共线,C,P,E三点共线,可知,,解得即可得出结果.【详解】设,则,,因为B,P,D三点共线,C,P,E三点共线,所以,,所以,.故选:B.【点睛】本题考查了平面向量基本定理和向量共线定理的简单应用,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】

根据双曲线方程,设及,将代入双曲线方程并化简可得,由题意的最小值为,结合平面向量数量积的坐标运算化简,即可求得的值,进而求得离心率即可.【详解】设点,,则,即,∵,,,当时,等号成立,∴,∴,∴.故答案为:.【点睛】本题考查了双曲线与向量的综合应用,由平面向量数量积的最值求离心率,属于中档题.14、1.【解析】

由题意求定积分得到的值,再根据乘方的意义,排列组合数的计算公式,求出展开式中的系数.【详解】∵已知,则,

它表示4个因式的乘积.

故其中有2个因式取,一个因式取,剩下的一个因式取1,可得的项.

故展开式中的系数.

故答案为:1.【点睛】本题主要考查求定积分,乘方的意义,排列组合数的计算公式,属于中档题.15、1【解析】

求出导函数,由切线斜率为4即导数为4求出切点横坐标,再由切线方程得纵坐标后可求得.【详解】设,由题意,∴,,,即,∴,.故答案为:1.【点睛】本题考查导数的几何意义,函数图象某点处的切线的斜率就是该点处导数值.本题属于基础题.16、【解析】

利用待定系数法求出幂函数的解析式,再求出的单调递减区间.【详解】解:幂函数的图象经过点,则,解得;所以,其中;所以的单调递减区间为.故答案为:.【点睛】本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ)存在点满足题意,且,证明详见解析;(Ⅱ).【解析】

(Ⅰ)可考虑采用补形法,取的中点为,连接,可结合等腰三角形性质和线面垂直性质,先证平面,即,若能证明,则可得证,可通过我们反推出点对应位置应在处,进而得证;(Ⅱ)采用建系法,以为坐标原点,以分别为轴建立空间直角坐标系,分别求出两平面对应法向量,再结合向量夹角公式即可求解;【详解】(Ⅰ)存在点满足题意,且.证明如下:取的中点为,连接.则,所以平面.因为是的中点,所以.在直三棱柱中,平面平面,且交线为,所以平面,所以.在平面内,,,所以,从而可得.又因为,所以平面.因为平面,所以平面平面.(Ⅱ)如图所示,以为坐标原点,以分别为轴建立空间直角坐标系.易知,,,,所以,,.设平面的法向量为,则有取,得.同理可求得平面的法向量为.则.由图可知二面角为锐角,所以其余弦值为.【点睛】本题考查面面垂直的判定定理、向量法求二面角的余弦值,属于中档题18、每天派出A型卡车辆,派出B型卡车辆,运输队所花成本最低【解析】

设每天派出A型卡车辆,则派出B型卡车辆,由题意列出约束条件,作出可行域,求出使目标函数取最小值的整数解,即可得解.【详解】设每天派出A型卡车辆,则派出B型卡车辆,运输队所花成本为元,由题意可知,,整理得,目标函数,如图所示,为不等式组表示的可行域,由图可知,当直线经过点时,最小,解方程组,解得,,然而,故点不是最优解.因此在可行域的整点中,点使得取最小值,即,故每天派出A型卡车辆,派出B型卡车辆,运输队所花成本最低.【点睛】本题考查了线性规划问题中的最优整数解问题,考查了数形结合的思想,解题关键在于列出不等式组(方程组)寻求约束条件,并就题目所述找出目标函数,同时注意整点的选取,属于中档题.19、(1)证明见解析;(2)证明见解析;【解析】

(1)推导出,由是的中点,能证明是有中点.(2)作于点,推导出平面,从而,由,能证明平面,由此能证明平面平面.【详解】证明:(1)在三棱锥中,平面,平面平面,平面,,在中,是的中点,是有中点.(2)在三棱锥中,是锐角三角形,在中,可作于点,平面平面,平面平面,平面,平面,平面,,,,平面,平面,平面平面.【点睛】本题考查线段中点的证明,考查面面垂直的证明,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,属于中档题.20、(1);(2)【解析】

(1)由题意得,求出,进而可得到椭圆的方程;(2)由(1)知点,坐标,设直线的方程为,易知,可得点的坐标为,联立方程,得到关于的一元二次方程,结合根与系数关系,可用表示的坐标,进而由三点共线,即,可用表示的坐标,再结合,可建立方程,从而求出的值,即可求得点的坐标.【详解】(1)由题意得,解得,所以椭圆的方程为.(2)由(1)知点,,由题意可设直线的斜率为,则,所以直线的方程为,则点的坐标为,联立方程,消去得:.设,则,所以,所以,所以.设点的坐标为,因为点三点共线,所以,即,所以,所以.因为,所以,即,所以,解得,又,所以符合题意,计算可得,,故点的坐标为.【点睛】本题考查椭圆方程的求法,考查直线与椭圆位置关系的应用,考查平行线的性质,考查学生的计算求解能力,属于难题.21、(1),ξ的分布列为ξ

0

1

2

3

P

(1-a)2

(1-a2)

(2a-a2)

(2)【解析】(1)P(ξ)是“ξ个人命中,3-ξ个人未命中”的概率.其中ξ的可能取值为0、1、2、3.P(ξ=0)=(1-a)2=(1-a)2;P(ξ=1)=·(1-a)2+a(1-a)=(1-a2);P(ξ=2)=·a(1-a)+a2=(2a-a2);P(ξ=3)=·a2=.所以ξ的分布列为ξ

0

1

2

3

P

(1-a)2

(1-a2)

(2a-a2)

ξ的数学期望为E(ξ)=0×

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