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文档简介

2025届山西省忻州一中等四校高三下学期一模考试数学试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知,满足,且的最大值是最小值的4倍,则的值是()A.4 B. C. D.2.函数的图象的大致形状是()A. B. C. D.3.已知为实数集,,,则()A. B. C. D.4.中,角的对边分别为,若,,,则的面积为()A. B. C. D.5.下列结论中正确的个数是()①已知函数是一次函数,若数列通项公式为,则该数列是等差数列;②若直线上有两个不同的点到平面的距离相等,则;③在中,“”是“”的必要不充分条件;④若,则的最大值为2.A.1 B.2 C.3 D.06.小张家订了一份报纸,送报人可能在早上之间把报送到小张家,小张离开家去工作的时间在早上之间.用表示事件:“小张在离开家前能得到报纸”,设送报人到达的时间为,小张离开家的时间为,看成平面中的点,则用几何概型的公式得到事件的概率等于()A. B. C. D.7.如图是2017年第一季度五省GDP情况图,则下列陈述中不正确的是()A.2017年第一季度GDP增速由高到低排位第5的是浙江省.B.与去年同期相比,2017年第一季度的GDP总量实现了增长.C.2017年第一季度GDP总量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1个D.去年同期河南省的GDP总量不超过4000亿元.8.函数的部分图象如图所示,已知,函数的图象可由图象向右平移个单位长度而得到,则函数的解析式为()A. B.C. D.9.已知函数,,且在上是单调函数,则下列说法正确的是()A. B.C.函数在上单调递减 D.函数的图像关于点对称10.定义运算,则函数的图象是().A. B.C. D.11.若函数在时取得极值,则()A. B. C. D.12.已知各项都为正的等差数列中,,若,,成等比数列,则()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.设是公差不为0的等差数列的前n项和,且,则______.14.数学家狄里克雷对数论,数学分析和数学物理有突出贡献,是解析数论的创始人之一.函数,称为狄里克雷函数.则关于有以下结论:①的值域为;②;③;④其中正确的结论是_______(写出所有正确的结论的序号)15.已知复数(为虚数单位),则的模为____.16.在的展开式中,常数项为________.(用数字作答)三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数,其中.(Ⅰ)若,求函数的单调区间;(Ⅱ)设.若在上恒成立,求实数的最大值.18.(12分)如图,在四棱锥PABCD中,PA⊥平面ABCD,∠ABC=∠BAD=90°,AD=AP=4,AB=BC=2,M为PC的中点.(1)求异面直线AP,BM所成角的余弦值;(2)点N在线段AD上,且AN=λ,若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为,求λ的值.19.(12分)在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),直线与曲线交于两点.(1)求的长;(2)在以为极点,轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中,设点的极坐标为,求点到线段中点的距离.20.(12分)如图所示,在四面体中,,平面平面,,且.(1)证明:平面;(2)设为棱的中点,当四面体的体积取得最大值时,求二面角的余弦值.21.(12分)已知函数.(Ⅰ)求函数的单调区间;(Ⅱ)当时,求函数在上最小值.22.(10分)已知动圆过定点,且与直线相切,动圆圆心的轨迹为,过作斜率为的直线与交于两点,过分别作的切线,两切线的交点为,直线与交于两点.(1)证明:点始终在直线上且;(2)求四边形的面积的最小值.

参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】试题分析:先画出可行域如图:由,得,由,得,当直线过点时,目标函数取得最大值,最大值为3;当直线过点时,目标函数取得最小值,最小值为3a;由条件得,所以,故选D.考点:线性规划.2、B【解析】

根据函数奇偶性,可排除D;求得及,由导函数符号可判断在上单调递增,即可排除AC选项.【详解】函数易知为奇函数,故排除D.又,易知当时,;又当时,,故在上单调递增,所以,综上,时,,即单调递增.又为奇函数,所以在上单调递增,故排除A,C.故选:B【点睛】本题考查了根据函数解析式判断函数图象,导函数性质与函数图象关系,属于中档题.3、C【解析】

求出集合,,,由此能求出.【详解】为实数集,,,或,.故选:.【点睛】本题考查交集、补集的求法,考查交集、补集的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.4、A【解析】

先求出,由正弦定理求得,然后由面积公式计算.【详解】由题意,.由得,.故选:A.【点睛】本题考查求三角形面积,考查正弦定理,同角间的三角函数关系,两角和的正弦公式与诱导公式,解题时要根据已知求值要求确定解题思路,确定选用公式顺序,以便正确快速求解.5、B【解析】

根据等差数列的定义,线面关系,余弦函数以及基本不等式一一判断即可;【详解】解:①已知函数是一次函数,若数列的通项公式为,可得为一次项系数),则该数列是等差数列,故①正确;②若直线上有两个不同的点到平面的距离相等,则与可以相交或平行,故②错误;③在中,,而余弦函数在区间上单调递减,故“”可得“”,由“”可得“”,故“”是“”的充要条件,故③错误;④若,则,所以,当且仅当时取等号,故④正确;综上可得正确的有①④共2个;故选:B【点睛】本题考查命题的真假判断,主要是正弦定理的运用和等比数列的求和公式、等差数列的定义和不等式的性质,考查运算能力和推理能力,属于中档题.6、D【解析】

这是几何概型,画出图形,利用面积比即可求解.【详解】解:事件发生,需满足,即事件应位于五边形内,作图如下:故选:D【点睛】考查几何概型,是基础题.7、C【解析】

利用图表中的数据进行分析即可求解.【详解】对于A选项:2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分别是:江苏、辽宁、山东、河南、浙江,故A正确;对于B选项:与去年同期相比,2017年第一季度5省的GDP均有不同的增长,所以其总量也实现了增长,故B正确;对于C选项:2017年第一季度GDP总量由高到低排位分别是:江苏、山东、浙江、河南、辽宁,2017年第一季度5省的GDP增速由高到低排位分别是:江苏、辽宁、山东、河南、浙江,均居同一位的省有2个,故C错误;对于D选项:去年同期河南省的GDP总量,故D正确.故选:C.【点睛】本题考查了图表分析,学生的分析能力,推理能力,属于基础题.8、A【解析】

由图根据三角函数图像的对称性可得,利用周期公式可得,再根据图像过,即可求出,再利用三角函数的平移变换即可求解.【详解】由图像可知,即,所以,解得,又,所以,由,所以或,又,所以,,所以,,即,因为函数的图象由图象向右平移个单位长度而得到,所以.故选:A【点睛】本题考查了由图像求三角函数的解析式、三角函数图像的平移伸缩变换,需掌握三角形函数的平移伸缩变换原则,属于基础题.9、B【解析】

根据函数,在上是单调函数,确定,然后一一验证,A.若,则,由,得,但.B.由,,确定,再求解验证.C.利用整体法根据正弦函数的单调性判断.D.计算是否为0.【详解】因为函数,在上是单调函数,所以,即,所以,若,则,又因为,即,解得,而,故A错误.由,不妨令,得由,得或当时,,不合题意.当时,,此时所以,故B正确.因为,函数,在上是单调递增,故C错误.,故D错误.故选:B【点睛】本题主要考查三角函数的性质及其应用,还考查了运算求解的能力,属于较难的题.10、A【解析】

由已知新运算的意义就是取得中的最小值,因此函数,只有选项中的图象符合要求,故选A.11、D【解析】

对函数求导,根据函数在时取得极值,得到,即可求出结果.【详解】因为,所以,又函数在时取得极值,所以,解得.故选D【点睛】本题主要考查导数的应用,根据函数的极值求参数的问题,属于常考题型.12、A【解析】试题分析:设公差为或(舍),故选A.考点:等差数列及其性质.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、18【解析】

将已知已知转化为的形式,化简后求得,利用等差数列前公式化简,由此求得表达式的值.【详解】因为,所以.故填:.【点睛】本题考查等差数列基本量的计算,考查等差数列的性质以及求和,考查运算求解能力,属于基础题.14、②【解析】

根据新定义,结合实数的性质即可判断①②③,由定义求得比小的有理数个数,即可确定④.【详解】对于①,由定义可知,当为有理数时;当为无理数时,则值域为,所以①错误;对于②,因为有理数的相反数还是有理数,无理数的相反数还是无理数,所以满足,所以②正确;对于③,因为,当为无理数时,可以是有理数,也可以是无理数,所以③错误;对于④,由定义可知,所以④错误;综上可知,正确的为②.故答案为:②.【点睛】本题考查了新定义函数的综合应用,正确理解题意是解决此类问题的关键,属于中档题.15、【解析】,所以.16、【解析】

的展开式的通项为,取计算得到答案.【详解】的展开式的通项为:,取得到常数项.故答案为:.【点睛】本题考查了二项式定理,意在考查学生的计算能力.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ)单调递减区间为,单调递增区间为;(Ⅱ).【解析】

(Ⅰ)求出函数的定义域以及导数,利用导数可求出该函数的单调递增区间和单调递减区间;(Ⅱ)由题意可知在上恒成立,分和两种情况讨论,在时,构造函数,利用导数证明出在上恒成立;在时,经过分析得出,然后构造函数,利用导数证明出在上恒成立,由此得出,进而可得出实数的最大值.【详解】(Ⅰ)函数的定义域为.当时,.令,解得(舍去),.当时,,所以,函数在上单调递减;当时,,所以,函数在上单调递增.因此,函数的单调递减区间为,单调递增区间为;(Ⅱ)由题意,可知在上恒成立.(i)若,,,,构造函数,,则,,,.又,在上恒成立.所以,函数在上单调递增,当时,在上恒成立.(ii)若,构造函数,.,所以,函数在上单调递增.恒成立,即,,即.由题意,知在上恒成立.在上恒成立.由(Ⅰ)可知,又,当,即时,函数在上单调递减,,不合题意,,即.此时构造函数,.,,,,恒成立,所以,函数在上单调递增,恒成立.综上,实数的最大值为【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间,同时也考查了利用导数研究函数不等式恒成立问题,本题的难点在于不断构造新函数来求解,考查推理能力与运算求解能力,属于难题.18、(1).(2)1【解析】

(1)先根据题意建立空间直角坐标系,求得向量和向量的坐标,再利用线线角的向量方法求解.(2,由AN=λ,设N(0,λ,0)(0≤λ≤4),则=(-1,λ-1,-2),再求得平面PBC的一个法向量,利用直线MN与平面PBC所成角的正弦值为,由|cos〈,〉|===求解.【详解】(1)因为PA⊥平面ABCD,且AB,AD⊂平面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AD.又因为∠BAD=90°,所以PA,AB,AD两两互相垂直.分别以AB,AD,AP为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则由AD=2AB=2BC=4,PA=4可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,4,0),P(0,0,4).又因为M为PC的中点,所以M(1,1,2).所以=(-1,1,2),=(0,0,4),所以cos〈,〉===,所以异面直线AP,BM所成角的余弦值为.(2)因为AN=λ,所以N(0,λ,0)(0≤λ≤4),则=(-1,λ-1,-2),=(0,2,0),=(2,0,-4).设平面PBC的法向量为=(x,y,z),则即令x=2,解得y=0,z=1,所以=(2,0,1)是平面PBC的一个法向量.因为直线MN与平面PBC所成角的正弦值为,所以|cos〈,〉|===,解得λ=1∈[0,4],所以λ的值为1.【点睛】本题主要考查了空间向量法研究空间中线线角,线面角的求法及应用,还考查了转化化归的思想和运算求解的能力,属于中档题.19、(1);(2).【解析】

(1)将直线的参数方程化为直角坐标方程,由点到直线距离公式可求得圆心到直线距离,结合垂径定理即可求得的长;(2)将的极坐标化为直角坐标,将直线方程与圆的方程联立,求得直线与圆的两个交点坐标,由中点坐标公式求得的坐标,再根据两点间距离公式即可求得.【详解】(1)直线的参数方程为(为参数),化为直角坐标方程为,即直线与曲线交于两点.则圆心坐标为,半径为1,则由点到直线距离公式可知,所以.(2)点的极坐标为,化为直角坐标可得,直线的方程与曲线的方程联立,化简可得,解得,所以两点坐标为,所以,由两点间距离公式可得.【点睛】本题考查了参数方程与普通方程转化,极坐标与直角坐标的转化,点到直线距离公式应用,两点间距离公式的应用,直线与圆交点坐标求法,属于基础题.20、(1)见证明;(2)【解析】

(1)根据面面垂直的性质得到平面,从而得到,利用勾股定理得到,利用线面垂直的判定定理证得平面;(2)设,利用椎体的体积公式求得,利用导数研究函数的单调性,从而求得时,四面体的体积取得最大值,之后利用空间向量求得二面角的余弦值.【详解】(1)证明:因为,平面平面,平面平面,平面,所以平面,因为平面,所以.因为,所以,所以,因为,所以平面.(2)解:设,则,四面体的体积.,当时,,单调递增;当时,,单调递减.故当时,四面体的体积取得最大值.以为坐标原点,建立空间直角坐标系,则,,,,.设平面的法向量为,则,即,令,得,同理可得平面的一个法向量为,则.由图可知,二面角为锐角,故二面角的余弦值为.【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题,涉及到的知识点有面面垂直的性质,线面垂直的判定,椎体的体积,二面角的求法,在解题的过程中,注意巧用导数求解体积的最大值.21、(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)当时,函数的最小值是;当时,函数的最小值是【解析】

(1)求出导函数,并且解出它的零点x=,再分区间讨论导数的正负,即可得到函数f(x)的单调区间;

(2)分三种情况加以讨论,结合函数的单调性与函数值的大小比较,即可得到当0<a<ln2时,函数f(x)的最小值是-a;当a≥ln2时,函数f(x)的最小值是ln2-2a.【详解】函数的定义域

为.

因为,令,可得;

当时,;当时,,综上所述:可知函数的单调递增区间为,单调递减区间为当,即时,函数在区间上是减函数,

的最小值是当,即时,函数在区间上是增函数,的最小值

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