云南省昆明市黄冈实验学校2025届高三第一次模拟考试数学试卷含解析

云南省昆明市黄冈实验学校2025届高三第一次模拟考试数学试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．的图象如图所示，，若将的图象向左平移个单位长度后所得图象与的图象重合，则可取的值的是（）A． B． C． D．2．已知点(m,8)在幂函数的图象上，设，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．a＜c＜b3．已知抛物线：，点为上一点，过点作轴于点，又知点，则的最小值为（）A． B． C．3 D．54．在边长为2的菱形中，，将菱形沿对角线对折，使二面角的余弦值为，则所得三棱锥的外接球的表面积为（）A． B． C． D．5．已知数列是公比为的正项等比数列，若、满足，则的最小值为（）A． B． C． D．6．已知直线y＝k（x﹣1）与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，直线y＝2k（x﹣2）与抛物线D：y2＝8x交于M，N两点，设λ＝|AB|﹣2|MN|，则（）A．λ＜﹣16 B．λ＝﹣16 C．﹣12＜λ＜0 D．λ＝﹣127．定义在上的偶函数，对，，且，有成立，已知，，，则，，的大小关系为（）A． B． C． D．8．已知圆锥的高为3，底面半径为，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积与圆锥的体积的比值为()A． B． C． D．9．已知数列是公差为的等差数列，且成等比数列，则（）A．4 B．3 C．2 D．110．已知的展开式中第项与第项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）．A． B． C． D．11．已知命题：，，则为()A．， B．，C．， D．，12．若数列为等差数列，且满足，为数列的前项和，则（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在平面直角坐标系中，双曲线的右准线与渐近线的交点在抛物线上，则实数的值为________.14．已知，记，则的展开式中各项系数和为__________．15．设为椭圆在第一象限上的点，则的最小值为________.16．已知抛物线的对称轴与准线的交点为，直线与交于，两点，若，则实数__________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知矩阵的逆矩阵.若曲线：在矩阵A对应的变换作用下得到另一曲线，求曲线的方程.18．（12分）已知函数，.（Ⅰ）判断函数在区间上零点的个数，并证明；（Ⅱ）函数在区间上的极值点从小到大分别为，，证明：19．（12分）已知函数，直线为曲线的切线（为自然对数的底数）．（1）求实数的值；（2）用表示中的最小值，设函数，若函数为增函数，求实数的取值范围．20．（12分）2019年安庆市在大力推进城市环境、人文精神建设的过程中，居民生活垃圾分类逐渐形成意识.有关部门为宣传垃圾分类知识，面向该市市民进行了一次“垃圾分类知识"的网络问卷调查，每位市民仅有一次参与机会，通过抽样，得到参与问卷调查中的1000人的得分数据，其频率分布直方图如图：（1）由频率分布直方图可以认为，此次问卷调查的得分Z服从正态分布，近似为这1000人得分的平均值（同一组数据用该区间的中点值作代表），利用该正态分布，求P（）；（2）在（1）的条件下，有关部门为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：（i）得分不低于可获赠2次随机话费，得分低于则只有1次：（ii）每次赠送的随机话费和对应概率如下：赠送话费（单位：元）1020概率现有一位市民要参加此次问卷调查，记X（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X的分布列.附：，若，则，.21．（12分）已知函数.（1）讨论的零点个数；（2）证明：当时，.22．（10分）在最新公布的湖南新高考方案中，“”模式要求学生在语数外3门全国统考科目之外，在历史和物理2门科目中必选且只选1门，再从化学、生物、地理、政治4门科目中任选2门，后三科的高考成绩按新的规则转换后计入高考总分.相应地，高校在招生时可对特定专业设置具体的选修科目要求.双超中学高一年级有学生1200人，现从中随机抽取40人进行选科情况调查，用数字1~6分别依次代表历史、物理、化学、生物、地理、政治6科，得到如下的统计表：序号选科情况序号选科情况序号选科情况序号选科情况11341123621156312352235122342223532236323513145232453323541451413524235341355156152362525635156624516236261563623672561715627134371568235182362823538134923519145292463923510236202353015640245（1）双超中学规定：每个选修班最多编排50人且尽量满额编班，每位老师执教2个选修班（当且仅当一门科目的选课班级总数为奇数时，允许这门科目的1位老师只教1个班）.已知双超中学高一年级现有化学、生物科目教师每科各8人，用样本估计总体，则化学、生物两科的教师人数是否需要调整？如果需要调整，各需增加或减少多少人？（2）请创建列联表，运用独立性检验的知识进行分析，探究是否有的把握判断学生“选择化学科目”与“选择物理科目”有关.附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828（3）某高校在其热门人文专业的招生简章中明确要求，仅允许选修了历史科目，且在政治和地理2门中至少选修了1门的考生报名.现从双超中学高一新生中随机抽取3人，设具备高校专业报名资格的人数为，用样本的频率估计概率，求的分布列与期望.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

根据图象求得函数的解析式，即可得出函数的解析式，然后求出变换后的函数解析式，结合题意可得出关于的等式，即可得出结果.【详解】由图象可得，函数的最小正周期为，，，则，，取，，则，，，可得，当时，.故选：B.【点睛】本题考查利用图象求函数解析式，同时也考查了利用函数图象变换求参数，考查计算能力，属于中等题.2、B【解析】

先利用幂函数的定义求出m的值，得到幂函数解析式为f（x）＝x3，在R上单调递增，再利用幂函数f（x）的单调性，即可得到a，b，c的大小关系.【详解】由幂函数的定义可知，m﹣1＝1，∴m＝2，∴点（2，8）在幂函数f（x）＝xn上，∴2n＝8，∴n＝3，∴幂函数解析式为f（x）＝x3，在R上单调递增，∵，1＜lnπ＜3，n＝3，∴，∴a＜b＜c，故选：B.【点睛】本题主要考查了幂函数的性质，以及利用函数的单调性比较函数值大小，属于中档题.3、C【解析】

由,再运用三点共线时和最小，即可求解.【详解】.故选：C【点睛】本题考查抛物线的定义，合理转化是本题的关键，注意抛物线的性质的灵活运用，属于中档题．4、D【解析】

取AC中点N，由题意得即为二面角的平面角，过点B作于O，易得点O为的中心，则三棱锥的外接球球心在直线BO上，设球心为，半径为，列出方程即可得解.【详解】如图，由题意易知与均为正三角形，取AC中点N，连接BN，DN，则，，即为二面角的平面角，过点B作于O，则平面ACD，由，可得，，，即点O为的中心，三棱锥的外接球球心在直线BO上，设球心为，半径为，，,解得，三棱锥的外接球的表面积为.故选：D.【点睛】本题考查了立体图形外接球表面积的求解，考查了空间想象能力，属于中档题.5、B【解析】

利用等比数列的通项公式和指数幂的运算法则、指数函数的单调性求得再根据此范围求的最小值．【详解】数列是公比为的正项等比数列，、满足，由等比数列的通项公式得，即，，可得，且、都是正整数，求的最小值即求在，且、都是正整数范围下求最小值和的最小值，讨论、取值.当且时，的最小值为.故选：B．【点睛】本题考查等比数列的通项公式和指数幂的运算法则、指数函数性质等基础知识，考查数学运算求解能力和分类讨论思想，是中等题．6、D【解析】

分别联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理，可得，，然后计算，可得结果.【详解】设，联立则，因为直线经过C的焦点，所以.同理可得，所以故选：D.【点睛】本题考查的是直线与抛物线的交点问题，运用抛物线的焦点弦求参数，属基础题。7、A【解析】

根据偶函数的性质和单调性即可判断.【详解】解：对，，且，有在上递增因为定义在上的偶函数所以在上递减又因为，，所以故选：A【点睛】考查偶函数的性质以及单调性的应用，基础题.8、B【解析】

计算求半径为，再计算球体积和圆锥体积，计算得到答案.【详解】如图所示：设球半径为，则，解得.故求体积为：，圆锥的体积：，故.故选：.【点睛】本题考查了圆锥，球体积，圆锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.9、A【解析】

根据等差数列和等比数列公式直接计算得到答案.【详解】由成等比数列得，即，已知，解得.故选：.【点睛】本题考查了等差数列，等比数列的基本量的计算，意在考查学生的计算能力.10、D【解析】因为的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以，解得，所以二项式中奇数项的二项式系数和为．考点：二项式系数，二项式系数和．11、C【解析】

根据全称量词命题的否定是存在量词命题，即得答案.【详解】全称量词命题的否定是存在量词命题，且命题：，，.故选：.【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，属于基础题.12、B【解析】

利用等差数列性质，若，则求出，再利用等差数列前项和公式得【详解】解：因为，由等差数列性质，若，则得，．为数列的前项和，则．故选：．【点睛】本题考查等差数列性质与等差数列前项和.(1)如果为等差数列，若，则．(2)要注意等差数列前项和公式的灵活应用，如.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

求出双曲线的右准线与渐近线的交点坐标，并将该交点代入抛物线的方程，即可求出实数的方程.【详解】双曲线的半焦距为，则双曲线的右准线方程为，渐近线方程为，所以，该双曲线右准线与渐近线的交点为.由题意得，解得.故答案为：.【点睛】本题考查利用抛物线上的点求参数，涉及到双曲线的准线与渐近线方程的应用，考查计算能力，属于中等题.14、【解析】

根据定积分的计算，得到，令，求得，即可得到答案．【详解】根据定积分的计算，可得，令，则，即的展开式中各项系数和为.【点睛】本题主要考查了定积分的应用，以及二项式定理的应用，其中解答中根据定积分的计算和二项式定理求得的表示是解答本题的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．15、【解析】

利用椭圆的参数方程，将所求代数式的最值问题转化为求三角函数最值问题，利用两角和的正弦公式和三角函数的性质，以及求导数、单调性和极值，即可得到所求最小值．【详解】解：设点，，其中，，由，，，可设，导数为，由，可得，可得或，由，，可得，即，可得，由可得函数递减；由，可得函数递增，可得时，函数取得最小值，且为，则的最小值为1．故答案为：1．【点睛】本题考查椭圆参数方程的应用，利用三角函数的恒等变换和导数法求函数最值的方法，考查化简变形能力和运算能力，属于难题．16、【解析】

由于直线过抛物线的焦点，因此过，分别作的准线的垂线，垂足分别为，，由抛物线的定义及平行线性质可得，从而再由抛物线定义可求得直线倾斜角的余弦，再求得正切即为直线斜率．注意对称性，问题应该有两解．【详解】直线过抛物线的焦点，，过，分别作的准线的垂线，垂足分别为，，由抛物线的定义知，．因为，所以．因为，所以，从而．设直线的倾斜角为，不妨设，如图，则，，同理，则，解得，，由对称性还有满足题意．，综上，．【点睛】本题考查抛物线的性质，考查抛物线的焦点弦问题，掌握抛物线的定义，把抛物线上点到焦点距离与它到距离联系起来是解题关键．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、【解析】

根据，可解得，设为曲线任一点，在矩阵对应的变换作用下得到点，则点在曲线上，根据变换的定义写出相应的矩阵等式，再用表示出，代入曲线的方程中，即得.【详解】，，即.，解得，.设为曲线任一点，则，又设在矩阵A变换作用得到点，则，即，所以即代入，得，所以曲线的方程为.【点睛】本题考查逆矩阵，矩阵与变换等，是基础题.18、（Ⅰ）函数在区间上有两个零点.见解析（Ⅱ）见解析【解析】

（Ⅰ）根据题意，，利用导函数研究函数的单调性，分类讨论在区间的单调区间和极值，进而研究零点个数问题；（Ⅱ）求导，，由于在区间上的极值点从小到大分别为，，求出，利用导数结合单调性和极值点，即可证明出.【详解】解：（Ⅰ），，当时，，，在区间上单调递减，，在区间上无零点；当时，，在区间上单调递增，，在区间上唯一零点；当时，，，在区间上单调递减，，；在区间上唯一零点；综上可知，函数在区间上有两个零点.（Ⅱ），，由（Ⅰ）知在无极值点；在有极小值点，即为；在有极大值点，即为，由，即，，2…，，，，，，以及的单调性，，，，，由函数在单调递增，得，，由在单调递减，得，即，故.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，通过导数解决函数零点个数问题和证明不等式，考查转化思想和计算能力.19、（1）；（2）.【解析】

试题分析：（1）先求导，然后利用导数等于求出切点的横坐标，代入两个曲线的方程，解方程组，可求得；（2）设与交点的横坐标为，利用导数求得，从而，然后利用求得的取值范围为.试题解析：（1）对求导得．设直线与曲线切于点，则，解得，所以的值为1．（2）记函数，下面考察函数的符号，对函数求导得．当时，恒成立．当时，，从而．∴在上恒成立，故在上单调递减．，∴，又曲线在上连续不间断，所以由函数的零点存在性定理及其单调性知唯一的，使．∴；，，∴，从而，∴，由函数为增函数，且曲线在上连续不断知在，上恒成立．①当时，在上恒成立，即在上恒成立，记，则，当变化时，变化情况列表如下：

3

0

极小值

∴，故“在上恒成立”只需，即．②当时，，当时，在上恒成立，综合①②知，当时，函数为增函数．故实数的取值范围是考点：函数导数与不等式.【方法点晴】函数导数问题中，和切线有关的题目非常多，我们只要把握住关键点：一个是切点，一个是斜率，切点即在原来函数图象上，也在切线上；斜率就是导数的值.根据这两点，列方程组，就能解决.本题第二问我们采用分层推进的策略，先求得的表达式，然后再求得的表达式，我们就可以利用导数这个工具来求的取值范围了.20、（1）（2）详见解析【解析】

（1）利用频率分布直方图平均数等于小矩形的面积乘以底边中点横坐标之和，再利用正态分布的对称性进行求解.（2）写出随机变量的所有可能取值，利用互斥事件和相互独立事件同时发生的概率计算公式，再列表得到其分布列.【详解】解：（1）从这1000人问卷调查得到的平均值为∵由于得分Z服从正态分布，（2）设得分不低于分的概率为p，（或由频率分布直方图知）法一：X的取值为10，20，30，40；；；；所以X的分布列为X10203040P法二：2次随机赠送的话费及对应概率如下2次话费总和203040PX的取值为10，20，30，40；；；；所以X的分布列为X10203040P【点睛】本题考查了正态分布、离散型随机变量的分布列，属于基础题.21、（1）见解析（2）见解析【解析】

（1）求出，分别以当，，时，结合函数的单调性和最值判断零点的个数.（2）令，结合导数求出；同理可求出满足，从而可得，进而证明.【详解】解析：（1），，当时，，单调递减，，，此时有1个零点；当时，无零点；当时，由得，由得，∴在单调递减，在单调递增，∴在处取得最小值，若，则，此时没有零点；若，则，此时有1个零点；若，则，，求导易得，此时在，上各有1个零点.综上可得时，没有零点，或时，有1个零点，时，有2个零点.（2）令，则，当时，；当时，，∴.令，则，当时，，当时，，∴，∴，，∴，即.【点