2023-2024学年湖南省岳阳市九年级（上）期末数学试卷(含解析)

2023-2024学年湖南省岳阳市九年级第一学期期末数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）.1．下列方程中，属于一元二次方程的是（）A．3x2﹣5x＝6 B．﹣2＝0 C．x2+y2＝4 D．6x+1＝02．已知两非零实数x，y，且3x＝2y，则下列结论一定正确的是（）A．x＝2，y＝3 B． C． D．3．反比例函数的图象的每一支上，y都随x的增大而增大，那么m的取值范围是（）A．m＜0 B．m＞0 C．m＜5 D．m＞54．古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米2016石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得270粒内夹谷30粒，则这批米内夹谷约为（）A．222石 B．224石 C．230石 D．232石5．某企业复工之后，举行了一个简单的技工比赛，参赛的五名选手在单位时间内加工零件的合格率分别为：94.3%，96.1%，94.3%，91.7%，93.5%．关于这组数据，下列说法正确的是（）A．平均数是93.96% B．方差是0 C．中位数是93.5% D．众数是94.3%6．如图，已知∠DAB＝∠CAE，那么添加一个条件后，依然无法判定△ABC∽△ADE的是（）A．∠AED＝∠C B．∠D＝∠B C． D．7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，若BC＝6，AC＝8，则tan∠ACD的值为（）A． B． C． D．8．图①是一张长28cm，宽16cm的矩形纸片，将阴影部分裁去（阴影部分为4个完全相同的小矩形）并折叠成一个如图②的底面积为80cm2的有盖长方体盒子．设该盒子的高为xcm，根据题意，可列方程为（）A．（28﹣2x）（16﹣2x）＝80 B．（28﹣2×2x）（16﹣2x）＝80 C． D．（28﹣2x）（16﹣2x）＝809．如图，A，B是反比例函数y＝（x＞0）图象上的两点，分别过A，B两点向x轴，y轴作垂线段，AD，BE两垂线段交于点G．若图中阴影部分的面积为3，则△OAB的面积为（）A．9 B．10 C．11 D．1210．数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．如图，小明把矩形ABCD沿DE折叠，使点C落在AB边的点F处，其中，且，则矩形ABCD的面积为（）A．80 B．64 C．36 D．18二、填空题。（本题共6小题，每小题3分，满分18分）11．在△ABC中，（cosA﹣）2+|tanB﹣1|＝0，则∠C＝．12．已知点A（﹣1，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为．（用“＜”连接）13．某件羊毛衫的售价为1000元，因换季促销，在经过连续两次降价后，现售价为810元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程为．14．对某班期末成绩进行统计，已知80.5～90.5分这一组的频数是10，频率是0.25，那么该班级的人数是人．15．如图，A．B是双曲线y＝上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂足为C，连接OA，若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为．三、解答题。（本题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．计算：．18．解下列方程（1）x2+3x﹣4＝0（2）x2+2x﹣99＝0．19．如图，水库大坝的横断面为四边形ABCD，其中AD∥BC，坝顶BC＝10m，坝高20m，斜坡AB的坡度i＝1：2.5，斜坡CD的坡角为30°．求坝底AD的长度（结果精确到1m，参考数据：）．20．关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2）若方程的两实数根x1，x2满足x1+x2＝﹣x1•x2，求k的值．21．巴川中学STEAM创新教育学部为提高学生的安全意识和安全技能，组织七、八年级学生进入区消防支队进行了实地学习和体验，并在学习结束后开展了一次消防知识竞赛．成绩分别为A、B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分．学校分别从七、八年级各抽取25名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题：年级平均分中位数众数方差七年级8.76a91.06八年级8.768b1.38（1）根据以上信息可以求出：a＝，b＝，并把七年级竞赛成绩统计图补充完整；（2）依据数据分析表，你认为七年级和八年级哪个年级的成绩更好，并说明理由；（3）若STEAM创新教育学部七、八年级共有800人参加本次知识竞赛，且规定9分及以上的成绩为优秀，请估计该学部七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人？22．如图，△ADE与△ABC有公共顶点A，∠BAD＝∠CAE．（1）请你写一个适当的条件，使△ADE∽△ABC，则需添加的条件可以是或，并选择其中之一证明．（2）由（1）能否得出其他的相似三角形？如果能，请说明理由．23．如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象交于A（m，4），B（2，n）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）根据图象直接写出使成立的x的取值范围；（3）求△AOB得面积．24．平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶．商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元，经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶．设每顶头盔降价x元，平均每周的销售量为y顶．（1）每顶头盔降价x元后，每顶头盔的利润是元（用含x的代数式表示）；（2）平均每周的销售量y（顶）与降价x（元）之间的函数关系式是；（3）若该商店希望平均每周获得4000元的销售利润，则每顶头盔应降价多少？25．【问题情境】如图1，小明把三角板EFG（∠GFE＝30°）放置到矩形ABCD中，使得顶点E、F、G分别落在AD、CD、AB上，你发现线段ED与AG有什么数量关系？直接写出结论：（不用证明）．【变式探究】如图2，小明把三角板EFG（∠GFE＝30°）放置到矩形ABCD中，使得顶点E、F、G分别在AD、BC、AB边上，若GA＝4，AE＝6，求BG的长．【拓展应用】如图3，小明把三角形EFG放置到平行四边形ABCD中，使得顶点E、F、G分别在AD、BC、AB边上，若，，∠FEG＝∠BAD，求出的值．

参考答案一、选择题。（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列方程中，属于一元二次方程的是（）A．3x2﹣5x＝6 B．﹣2＝0 C．x2+y2＝4 D．6x+1＝0【分析】根据一元二次方程的定义，逐个判断得结论．解：3x2﹣5x＝6符合一元二次方程的定义，故选项A正确；﹣2＝0不是整式方程，故选项B不是一元二次方程；x2+y2＝4是二元二次方程，故选项C不是一元二次方程；6x+1＝0是一元一次方程，故选项D不是一元二次方程．故选：A．【点评】本题考查了一元二次方程的判定，掌握一元二次方程的定义是解决本题的关键．一元二次方程必须满足的三个条件：（1）方程是整式方程；（2）方程只含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2．2．已知两非零实数x，y，且3x＝2y，则下列结论一定正确的是（）A．x＝2，y＝3 B． C． D．【分析】根据已知条件得出＝，再根据比例的性质即可得出答案．解：∵3x＝2y，∴＝，∴+＝＝+1＝．故选：C．【点评】此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．3．反比例函数的图象的每一支上，y都随x的增大而增大，那么m的取值范围是（）A．m＜0 B．m＞0 C．m＜5 D．m＞5【分析】反比例函数y的图象的每一支上，y都随x的增大而增大，则k＜0，从而可以确定m的取值范围．【解答】解∵当k＜0，y＝在每一象限内y随x的增大而增大．∴m﹣5＜0；解得m＜5．故选：C．【点评】本题考查了反比例函数的性质，当k＜0时，在每一象限内y都随x的增大而增大．4．古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米2016石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得270粒内夹谷30粒，则这批米内夹谷约为（）A．222石 B．224石 C．230石 D．232石【分析】用总数量乘以样本中谷所占比例即可得．解：这批米内夹谷约为2016×＝224（石），故选：B．【点评】本题主要考查用样本估计总体，从一个总体得到一个包含大量数据的样本，我们很难从一个个数字中直接看出样本所包含的信息．这时，我们用频率分布直方图来表示相应样本的频率分布，从而去估计总体的分布情况．5．某企业复工之后，举行了一个简单的技工比赛，参赛的五名选手在单位时间内加工零件的合格率分别为：94.3%，96.1%，94.3%，91.7%，93.5%．关于这组数据，下列说法正确的是（）A．平均数是93.96% B．方差是0 C．中位数是93.5% D．众数是94.3%【分析】求出该组数据的平均数、中位数、众数、方差，再进行判断即可．解：平均数为：（94.3%+96.1%+94.3%+91.7%+93.5%）＝93.98%．因此选项A不符合题意；这组数据有波动，因此方差不为0，因此选项B不符合题意；这组数据的中位数是94.3%，因此选项C不符合题意；这组数据出现次数最多的数是94.3%，所以众数是94.3%，因此选项D符合题意；故选：D．【点评】本题考查中位数、众数、平均数、方差的意义和计算方法，正确的计算是判断的前提．6．如图，已知∠DAB＝∠CAE，那么添加一个条件后，依然无法判定△ABC∽△ADE的是（）A．∠AED＝∠C B．∠D＝∠B C． D．【分析】利用相似三角形的判定依次判断即可得出答案．解：∵∠DAB＝∠CAE，∴∠DAE＝∠BAC，A、若∠C＝∠AED，且∠DAE＝∠BAC，可判定△ABC∽△ADE，故选项A不符合题意；B、若∠B＝∠D，且∠DAE＝∠BAC，可判定△ABC∽△ADE，故选项B不符合题意；C、若，且∠DAE＝∠BAC，可判定△ABC∽△ADE，故选项C不符合题意；D、若，且∠DAE＝∠BAC，无法判定△ABC∽△ADE，故选项D符合题意；故选：D．【点评】本题考查了相似三角形的判定，熟练运用相似三角形的判定方法是本题的关键．7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的中线，若BC＝6，AC＝8，则tan∠ACD的值为（）A． B． C． D．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CD＝AD，再根据等边对等角的性质可得∠A＝∠ACD，然后根据正切函数的定义列式求出∠A的正切值，即为tan∠ACD的值．解：∵CD是AB边上的中线，∴CD＝AD，∴∠A＝∠ACD，∵∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8，∴tan∠A＝＝＝，∴tan∠ACD的值．故选：D．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等边对等角的性质，求出∠A＝∠ACD是解本题的关键．8．图①是一张长28cm，宽16cm的矩形纸片，将阴影部分裁去（阴影部分为4个完全相同的小矩形）并折叠成一个如图②的底面积为80cm2的有盖长方体盒子．设该盒子的高为xcm，根据题意，可列方程为（）A．（28﹣2x）（16﹣2x）＝80 B．（28﹣2×2x）（16﹣2x）＝80 C． D．（28﹣2x）（16﹣2x）＝80【分析】根据各边之间的关系，可得出折成的有盖长方体盒子的底面是长为（28﹣2x）cm，宽为（16﹣2x）cm的矩形，结合折成的有盖长方体盒子的底面积为80cm2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．解：∵矩形纸片的长为28cm，宽为16cm，且折成的有盖长方体盒子的高为xcm，∴折成的有盖长方体盒子的底面是长为（28﹣2x）cm，宽为（16﹣2x）cm的矩形．根据题意得：（28﹣2x）（16﹣2x）＝80．故选：D．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．9．如图，A，B是反比例函数y＝（x＞0）图象上的两点，分别过A，B两点向x轴，y轴作垂线段，AD，BE两垂线段交于点G．若图中阴影部分的面积为3，则△OAB的面积为（）A．9 B．10 C．11 D．12【分析】首先根据反比例函数图象上的点与坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的矩形面积等于|k|，利用阴影部分的面积为3，推导出线段比例关系，比例关系转化为求矩形OFPK的面积，用割补法可求△OAB的面积．解：设FB与KA的延长线相交于点P，HM垂直平分EK，∵A，B是反比例函数y＝（x＞0）图象上的两点，A点向x轴，y轴作垂线段分别是AD、AK∴s矩形ODAK＝|k|＝9同理：s矩形OFBE＝9∵s矩形ODGE＝3∴s矩形DFBG＝s矩形EGAK＝9﹣3＝6∵HM垂直平分EK∴OE＝EH＝HK∴s矩形OFPK＝3s矩形OFBE＝3×9＝27且s矩形AGBP＝2s△ABP＝12即s△ABP＝6∴s△AOB＝＝27﹣6﹣9＝12故选：D．【点评】主要考查了反比例函数中k的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的矩形面积为|k|，利用割补法求解比较容易．10．数学课上，老师让同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．如图，小明把矩形ABCD沿DE折叠，使点C落在AB边的点F处，其中，且，则矩形ABCD的面积为（）A．80 B．64 C．36 D．18【分析】首先根据折叠的性质得到∠DFC＝∠C＝90°，然后根据同角的余角相等得到∠DFA＝∠BEF，进而得到，设BF＝4x，EF＝5x，则BE＝3x，CE＝FE＝5x，根据定理求出AD＝8x＝8，DC＝DF＝10x＝10，最后利用矩形面积公式求解即可．解：∵矩形ABCD沿DE折叠，使点C落在AB边的点F处，∴∠DFC＝∠C＝90°，∴∠DFA+∠BFE＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝90°，∴∠BEF+∠BFE＝90°，∴∠DFA＝∠BEF，∴，∴设BF＝4x，EF＝5x，则BE＝3x，CE＝FE＝5x，∴AD＝BC＝8x，∵，∴DF＝10x，∵∠DFC＝∠C＝90°，，∴DF2+EF2＝DE2，即，∴解得：x＝1，负值舍去，∴AD＝8x＝8，DC＝DF＝10x＝10，∴矩形ABCD的面积＝AD•CD＝8×10＝80．故选：A．【点评】此题考查了矩形和折叠问题，勾股定理，三角形函数的运用，解题的关键是熟练掌握以上知识点．二、填空题。（本题共6小题，每小题3分，满分18分）11．在△ABC中，（cosA﹣）2+|tanB﹣1|＝0，则∠C＝75°．【分析】直接利用偶次方的性质以及绝对值的性质分别得出cosA＝，tanB＝1，再利用特殊角的三角函数值得出答案．解：∵（cosA﹣）2+|tanB﹣1|＝0，∴cosA﹣＝0，tanB﹣1＝0，则cosA＝，tanB＝1，∴∠A＝60°，∠B＝45°，∴∠C＝180°﹣60°﹣45°＝75°．故答案为：75°．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．12．已知点A（﹣1，y1），B（﹣2，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为y3＜y2＜y1．（用“＜”连接）【分析】先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答．解：∵在反比例函数y＝﹣中，k＝﹣3＜0，∴此函数图象在二、四象限，∵﹣2＜﹣1＜0，∴点A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）在第二象限，∴y1＞0，y2＞0，∵函数图象在第二象限内为增函数，﹣2＜﹣1＜0，∴0＜y2＜y1．∵3＞0，∴C（3，y3）点在第四象限，∴y3＜0，∴y1，y2，y3的大小关系为y3＜y2＜y1．故答案为y3＜y2＜y1．【点评】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，比较简单．13．某件羊毛衫的售价为1000元，因换季促销，在经过连续两次降价后，现售价为810元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程为1000（1﹣x）2＝810．【分析】根据该羊毛衫的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程即可．解：依题意，得：1000（1﹣x）2＝810，故答案为：1000（1﹣x）2＝810．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．14．对某班期末成绩进行统计，已知80.5～90.5分这一组的频数是10，频率是0.25，那么该班级的人数是40人．【分析】因为频数是指每个对象出现的次数，频数＝总数×频率，从而可求出解．解：该班级的人数：10÷0.25＝40（人），故答案为：40．【点评】本题主要考查了频数与频率，解题的关键知道频数＝总数×频率．15．如图，A．B是双曲线y＝上的两点，过A点作AC⊥x轴，交OB于D点，垂足为C，连接OA，若△ADO的面积为1，D为OB的中点，则k的值为．【分析】过点B作BE⊥x轴于点E，根据D为OB的中点可知CD是△OBE的中位线，即CD＝BE，设A（x，），则B（2x，），故CD＝，AD＝﹣，再由△ADO的面积为1求出y的值即可得出结论．解：过点B作BE⊥x轴于点E，∵D为OB的中点，∴CD是△OBE的中位线，即CD＝BE．设A（x，），则B（2x，），CD＝，AD＝﹣，∵△ADO的面积为1，∴AD•OC＝1，（﹣）•x＝1，解得k＝，故答案为：．【点评】本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|．本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．三、解答题。（本题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．计算：．【分析】先判断1﹣＜0，再根据负数的绝对值是它的相反数化简；一个数的负指数等于这个数的正指数次幂的倒数，即＝＝4；cos45°＝；任何不等于0的数的0次幂都等于1；＝2．解：原式＝﹣1﹣4﹣+1+2＝﹣2．【点评】涉及知识：负指数为正指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1；绝对值的化简；二次根式的化简．18．解下列方程（1）x2+3x﹣4＝0（2）x2+2x﹣99＝0．【分析】（1）首先把x2+3x﹣4分解成（x+4）（x﹣1），然后可得x+4＝0或x﹣1＝0，再解一元一次方程即可；（2）首先把等号左边分解因式，然后可得x+11＝0或x﹣9＝0，再解一元一次方程即可．解：（1）（x+4）（x﹣1）＝0，则x+4＝0或x﹣1＝0，解得：x1＝﹣4，x2＝1；（2））（x+11）（x﹣9）＝0，则x+11＝0或x﹣9＝0，解得：x1＝﹣11，x2＝9．【点评】此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，关键是正确把等号左边因式分解为两个一次因式的积的形式．19．如图，水库大坝的横断面为四边形ABCD，其中AD∥BC，坝顶BC＝10m，坝高20m，斜坡AB的坡度i＝1：2.5，斜坡CD的坡角为30°．求坝底AD的长度（结果精确到1m，参考数据：）．【分析】作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，根据坡度的概念求出AE的长，根据直角三角形的性质求出DF的长，计算即可．解：作BE⊥AD于E，CF⊥AD于F，则四边形BEFC是矩形，∴EF＝BC＝10米，∵BE＝20米，斜坡AB的坡度i＝1：2.5，∴AE＝50米，∵CF＝20米，斜坡CD的坡角为30°，∴（米），∴AD＝AE+EF+FD＝95米．【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，正确作出辅助线、正确坡度的定义、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．20．关于x的一元二次方程x2﹣（2k﹣1）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围；（2）若方程的两实数根x1，x2满足x1+x2＝﹣x1•x2，求k的值．【分析】（1）利用判别式的意义得到Δ＝（2k﹣1）2﹣4（k2+1）＞0，然后解不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到x1+x2＝2k﹣1，x1x2＝k2+1，则判断x1＜0，x2＜0，则由|x1|+|x2|＝x1•x2得到﹣（x1+x2）＝x1•x2，所以﹣（2k﹣1）＝k2+1，然后解关于k的方程即可得到满足条件的k的值．解：（1）根据题意得Δ＝（2k﹣1）2﹣4（k2+1）＞0，解得；（2）x1+x2＝2k﹣1，，，∴x1+x2＝2k﹣1＜0，而，∴x1＜0，x2＜0，∵x1+x2＝﹣x1⋅x2，即2k﹣1＝﹣（k2+1），解得k1＝0，k2＝﹣2，2k﹣1＝﹣（k2+1），而，∴k＝﹣2．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．也考查了判别式的值．21．巴川中学STEAM创新教育学部为提高学生的安全意识和安全技能，组织七、八年级学生进入区消防支队进行了实地学习和体验，并在学习结束后开展了一次消防知识竞赛．成绩分别为A、B、C、D四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分、9分、8分、7分．学校分别从七、八年级各抽取25名学生的竞赛成绩整理并绘制成如下统计图表，请根据提供的信息解答下列问题：年级平均分中位数众数方差七年级8.76a91.06八年级8.768b1.38（1）根据以上信息可以求出：a＝9，b＝10，并把七年级竞赛成绩统计图补充完整；（2）依据数据分析表，你认为七年级和八年级哪个年级的成绩更好，并说明理由；（3）若STEAM创新教育学部七、八年级共有800人参加本次知识竞赛，且规定9分及以上的成绩为优秀，请估计该学部七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有多少人？【分析】（1）根据中位数的定义可确定a的值；根据众数的定义可确定b的值；先求出七年级C等级的人数，再将七年级竞赛成绩统计图补充完整即可；（2）根据平均分，中位数，众数，方差的意义回答即可；（3）分别将样本中七八年级优秀所占比例乘以800即可作出估计．解：（1）∵七年级成绩由高到低排在第13位的是B等级9分，∴a＝9，∵八年级A等级人数最多，∴b＝10，故答案为：9，10；七年级成绩C等级人数为：25﹣6﹣12﹣5＝2（人），七年级竞赛成绩统计图补充完整如下：（2）七年级更好，理由：七，八年级的平均分相同，七年级中位数大于八年级中位数，七年级方差小于八年级方差，说明七年级一半以上人不低于9分，且波动较小，所以七年级成绩更好．（3）＝480（人），答：估计该学部七、八年级参加本次知识竞赛的学生中成绩为优秀的学生共有480人．【点评】本题考查条形统计图，扇形统计图，平均数，中位数众数，方差，用样本估计总体，能从统计图表中获取有用信息是解题的关键．22．如图，△ADE与△ABC有公共顶点A，∠BAD＝∠CAE．（1）请你写一个适当的条件，使△ADE∽△ABC，则需添加的条件可以是∠ADC＝∠ABC或∠AED＝∠ACB，并选择其中之一证明．（2）由（1）能否得出其他的相似三角形？如果能，请说明理由．【分析】（1）利用两角对应相等的三角形相似进而得出即可；（2）利用相似三角形的性质得出＝，进而求出即可．解：（1）使△ADE∽△ABC，则需添加的条件可以是：∠ADC＝∠ABC或∠AED＝∠ACB，理由：∵∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD+∠BAE＝∠BAE+∠CAE，即∠DAE＝∠CAB，又∵∠ADC＝∠ABC，∴△ADE∽△ABC，故答案为：∠ADC＝∠ABC或∠AED＝∠ACB；（2）△ABD∽△ACE．理由：∵△ADE∽△ABC，∠BAC＝∠DAE，∴＝，∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠CAE，∴＝，∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练应用相似三角形的性质是解题关键．23．如图，一次函数y＝kx+b与反比例函数的图象交于A（m，4），B（2，n）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）根据图象直接写出使成立的x的取值范围；（3）求△AOB得面积．【分析】（1）根据反比例函数的图象过A（m，4），B（2，n），可求得点A，B的坐标，将点A，B的坐标代入y＝kx+b，即可求得答案．（2）表示一次函数y＝kx+b的图象在反比例函数的图象下方的部分，据此即可求得答案．（3）设直线AB与x轴，y轴分别交于点C，点D，根据S△AOB＝S△OCD﹣S△OCB﹣S△OAD，即可求得答案．解：（1）因为反比例函数的图象过点A（m，4），得．解得：m＝1．所以，点A的坐标为（1，4）．同理可得，点B的坐标为（2，2）．因为一次函数y＝kx+b的图象过点A（1，4），B（2，2），得：．解得：．所以，一次函数解析式为y＝﹣2x+6．（2）根据题意可知，表示一次函数y＝kx+b的图象在反比例函数的图象下方的部分，此时0＜x＜1或x＞2．（3）如图所示，设直线AB与x轴，y轴分别交于点C，点D，可求得点C的坐标为（3，0），点D的坐标为（0，6）．．【点评】本题主要考查一次函数和反比例函数，牢记一次函数和反比例函数的图象和性质是解题的关键．24．平安路上，多“盔”有你，在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶68元，平均每周可售出100顶．商店计划将头盔降价销售，每顶售价不高于58元，经调查发现：每降价2元，平均每周可多售出40顶．设每顶头盔降价x元，平均每周的销售量为y顶．（1）每顶头盔降价x元后，每顶头盔的利润是（28﹣x）元（用含x的代数式表示）；（2）平均每周的销售量y（顶）与降价x（元）之间的函数关系式是y＝100+20x；（3）若该商店希望平均每周获得4000元的销售利润，则每顶头盔应降价多少？【分析】（1）根据利润＝售价﹣进价，列出代数式即可；（2）利用平均每周的销售量＝，即可找出y与x之间的函数关系式；（3）利用每周的销售利润＝每顶的销售利润×每周的销售量，可列出关于x的一元二次方程，解之可求出x的值，再结合降价后每顶头盔的售价不高于58元，即可确定结论．解：（1）∵进价为每顶40元，原售价为每顶68元，∴每顶头盔降价x元后，每顶头盔的利润是（28﹣x）元；故答案为：（28﹣x）；（2）根据题意得：，故答案为：y＝100+20x；（3）根据题意得：（28﹣x）（100+20x）＝4000，解得：x1＝3，x2＝20，当x＝3时，68﹣x＝68﹣3＝65＞