重庆市2024-2025学年高三第四次质量检测数学检测试题（含解析）

重庆市2024-2025学年高三第四次质量检测数学检测试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若iz=z+2，则z=(

)A.1+i B.1−i C.−1+i D.−1−i2.若集合A={−1,0,1,2,4,8}，B={x|2x∈A}，则A.{0,8} B.{−1,0,8} C.{−1,4,8} D.{−1,0,4,8}3.已知函数f(x)的定义域为R，则“y=f(x)为奇函数”是“y=|f(x)|为偶函数”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知椭圆x2m+y24=1(m>0)A.15,−15 B.13,−5.已知平面向量a，b满足|a|=1，|2a−bA.1 B.2 C.326.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与双曲线C的右支交于A.2 B.213 C.7.如图是瑞典数学家科赫在1904年构造的能够描述雪花形状的图案．图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原三角形(图①)的边长为1，记第n个图形的周长为an，数列{an}的前n项和为Sn，则使得Sn>72成立的n的最小值为A.6 B.7 C.8 D.98.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosB=45，sinA+sinA.12 B.59 C.35二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.已知实数a，b满足0<a<b<1，则下列不等关系一定成立的是A.a+b>2ab B.a+b<2ab C.ab>b10.已知抛物线C：x2=y，动点P(x0,y0)位于C的下方，过点P作抛物线的两条切线，切点分别为A(x1,y1)，A.x1=2x3

B.x1+x2=2x0

C.若点P在直线y=−1上运动，11.已知数列{an}的前n项和为Sn，an+1A.S98 B.S100 C.a1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知某圆锥的轴截面为等边三角形，则该圆锥的侧面积与底面积之比为________.13.已知圆C1的圆心在第一象限，且到两坐标轴的距离相等，若圆C1经过坐标原点且与圆C2：x2+y2−2x+2y−2=0相交于M，N14.若函数f(x)=(x−1)(ex−ax2)四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn(1)求数列{an}(2)求数列{|an|}的前n16.(本小题12分)一年一度的“双11”促销活动落下帷幕，各大电商平台发布的数据显示，在消费品以旧换新、家电政府补贴等促消费政策和活动的带动下，消费市场潜能加速释放，带动相关商品销售保持增长．经过调研，得到2019年到2024年“双11”活动当天某电商平台线上日销售额y(单位：百亿元)与年份(第x年)的6组数据(时间变量x的取值依次为1，2，…，6)，对数据进行处理，得到如下散点图(图1)及一些统计量的值．其中ti=yxi=1i=1ti=1i=148.73.59112041.19.4388.1分别用两种模型：①y=bx+a；②y=blnx+a进行拟合，得到相应的回归方程，并进行残差分析，得到如图所示的残差图(图2)(残差值=真实值-(1)根据题中信息，通过残差图比较模型①，②的拟合效果，应选择哪一个模型进行拟合？请说明理由；(2)根据(1)中所选模型，(ⅰ)求出y关于x的经验回归方程(系数精确到0.1)；(ⅱ)若该电商平台每年活动当天线上日销售额y与当日营销成本u及年份x存在线性关系：y=3u+2.6x，则在第几年活动当日营销成本的预测值最大？参考公式：b=i=1nx17.(本小题12分)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点为F1(1)求椭圆C的方程；(2)过点B(−3,0)的直线l与椭圆C交于P，Q两点，若1|BP|+1|BQ|18.(本小题12分)已知函数f(x)=ex(1)若∀x∈(0,+∞)，都有f(x)>g(x)，求实数m的取值范围；(2)当m>0时，若函数ℎ(x)=f(x)+g(x)的图象在点A(x1,y1)，B(19.(本小题12分)已知抛物线E：y2=2px(p>0)的焦点为F，过F作直线l1与抛物线交于A，B两点(A在x轴的上方)，线段AB的中点M到(1)求抛物线E的方程；(2)过F作直线l2与抛物线交于C，D两点(C在x轴的上方)，记直线AD的斜率为k1，直线BC的斜率为k(ⅰ)求证：直线AD过定点G；(ⅱ)若线段CD的中点为N，求△GMN的面积的取值范围．

答案和解析1.【正确答案】D

本题考查复数的四则运算，属基础题．

按照复数的四则运算法则即可得到答案.

解：iz=z+2⇒z=2.【正确答案】C

【分析】

本题考查交集、补集的求法，是基础题．

求出集合B，再由交集、补集的定义求出∁A(A∩B).

解：B={0,1,2,3}，A∩B={0,1,2}，故∁A(A∩B)={−1,4,8}.3.【正确答案】A

【分析】

本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及充分必要条件的判断，属于基础题．

根据题意，由充分必要的定义分析f(x)为奇函数与|f(x)|为偶函数之间的关系，即可得答案．

解：若y=f(x)为奇函数，则|f(−x)|=|−f(x)|=|f(x)|，

故y=|f(x)|为偶函数;

若f(x)=x2，则y=|f(x)|=x2为偶函数，但f(x)4.【正确答案】A

【分析】本题考查直线过定点问题，属于基础题.

根据解析几何知识推出15m−

解：由题知m−4=n+1，即m−n=5，即15m−15n=1，5.【正确答案】D

【分析】

本题考查利用向量的数量积计算向量的模的方法，考查基础知识和基本运算能力.

根据

a⊥a−b，可得

a⋅b=1，利用

|2a−b|=2a−b2即可求得答案.

解：∵

a⊥(a−b)，

∴

a⋅(a6.【正确答案】B

【分析】

本题考查了双曲线的性质及几何意义，余弦的应用，属于一般题.

设|AB|=|BF1|=m，结合双曲线的定义可得

|BF2|=m−2a，|AF2|=2a，|AF1|=4a，再利用余弦定理即可求得双曲线

C的离心率.

解：设|AB|=|BF1|=m，

则|BF2|=m−2a，

∴|AF2|=2a，∴|AF17.【正确答案】C

【分析】

本题考查数列的应用，涉及归纳推理的应用，属于中档题．

根据题意，分析可得数列{an}是首项a1=3，公比为43的等比数列，若Sn>72，结合等比数列的前n项和公式可得关于n的不等式，利用对数的运算性质解可得n的取值范围，分析可得答案．

解：根据题意，观察图形得到，从第二个图形开始，

每一个图形的周长都在前一个的周长的基础上多了原周长的13，

故an=43an−1(n≥2)，

数列{an}是首项a1=3，公比为43的等比数列，

8.【正确答案】B

【分析】

本题考查了正弦、余弦定理的应用问题，属于基础题．

根据正弦定理和余弦定理，结合题意即可求得

acb2的值．

解：因为cosB=45，则sinB=35，

由余弦定理得a2+c2−b2=9.【正确答案】AD

【分析】

本题考查了利用不等式的基本性质判断不等关系，利用指数函数的图象与性质比较大小和利用幂函数的图象与性质比较大小，属于基础题.

利用不等式的基本性质判断不等关系对A与B进行判断；利用指数函数的图象与性质比较大小得ab<aa，再利用幂函数的图象与性质比较大小得aa<ba，再利用不等式性质得结论.

解：因为实数a，b满足0<a<b<1，所以1a>1b>1，因此1a+1b>2，

所以a+b>2ab，故A正确，B错误；

因为实数a，b满足0<a<b<1，所以函数y=ax单调递减，函数y=xa在0,+∞10.【正确答案】ABD

【分析】本题考查了求曲线上一点的切线方程(斜率、倾斜角)，过两点的斜率公式，点斜式方程和与抛物线有关的轨迹问题，属于中档题.

利用求曲线上一点的切线斜率，结合过两点的斜率公式得x0=x1+x22y0=x1x2，由x0=x1+x22对B进行判断，利用点斜式方程得直线

解：因为y′=2x，所以抛物线C在A、B点处切线斜率分别为2x1、2x2.

又因为过动点P(x0,y0)作抛物线C的两条切线，切点分别为A(x1,y1)，B(x2,y2)，

所以x1≠x0x2≠x0x1≠x2且y1−y0x1−x0=2x1y2−y0x2−x0=2x2，即x1≠x0x2≠x0x1≠x2且y0=2x1x0−x12y0=2x2x0−x22，解得x0=x1+x22y0=x1x2，11.【正确答案】BCD

【分析】本题考查数列的递推公式及数列并项求和，考查运算能力，属中档题.

由题可得，a2n−a2n−1=(2n−1)2，a2n+1+a2n=4n2，a2n+2+a2=4n2+(2n+1)2，由此可判断

解：由题知，a2n−a2n−1=(2n−1)2，a2n+1+a2n=4n2，

故a2n+1+a2n−1=4n−1，a2n+1+a2n=4n2，a2n+2−a2n+1=(2n+1)2，

故a2n+2+a2n=4n2+(2n+1)2，

故S100=(a12.【正确答案】2

【分析】本题考查了圆锥的侧面积计算问题，属于基础题．

由题意知圆锥的母线长和底面圆半径的关系，由此求得圆锥的表面积．

解：设圆锥的底面半径为r，因为圆锥的轴截面是正三角形，

所以母线长l=2r，所以S13.【正确答案】x2【分析】本题考查求圆的方程及两圆的位置关系，考查运算能力，属中档题.

设出所求圆的方程x2+y2+Dx+Dy=0(D<0)，得到公共弦的方程

解：由题知，可设圆C1:x2+y2+Dx+Dy=0(D<0)，

则直线MN的方程为(D+2)x+(D−2)y+2=0，

由|MN|=7，得圆心C2到直线MN的距离为d=14.【正确答案】a≤0

【分析】

本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与极值，函数图象，属于中档题.

根据题意，转化为当x<0时，恒有f(x)≤0，即ex−ax2≥0，即a≤exx2，即可得.

解：显然f(1)=0，f(0)=−1，x→+∞时，f(x)→+∞，

由f(x)的图象为一条连续不断的曲线，

可知f(x)的图象必过第一、三、四象限，

故当x<0时，恒有f(x)≤0，即ex−ax2≥0，即a≤exx2，

15.【正确答案】解：(1)由题意得S9=a5=9a5，则a5=0，

∵a4a6=a6−a4，∴(a5−d)(a5+d)=2d，解得d=−2，

，∴a5=a1+4d=a1−8=0，

∴本题考查了等差数列的性质，考查了等差数列的通项公式和求和公式，属于基础题．

(1)根据条件转化为首项和公差的方程，即可求解；(2)根据数列正项和负项的分界，讨论Tn

与Sn

16.【正确答案】解：(1)由残差图(图2)知：模型②残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型①的带状区域的宽度更窄，

因此模型②的拟合精度更高，经验回归方程的预报精度相应就会越高，

所以模型②拟合效果更好，因此应选择模型②进行拟合.

(2)(i)因为b=i=16tiyi−6tyi=16ti2−6t2=388.1−6×1.1×48.79.4−6×1.12≈31.2，a=y−bt=48.7−31.2×1.1≈14.4，

所以y关于x的回归方程为y=31.2t+14.4，即y=31.2lnx+14.4.

(ii)由题意得，营销成本的预测值u=y−2.6x3=31.2本题考查了残差与残差图，回归直线方程和利用导数求函数的最值(不含参)，属于中档题.

(1)利用残差图得结论；

(2)(i)令t=lnx，利用回归直线方程通过计算得结论；

(ii)利用(i)的结论，结合题意得u=117.【正确答案】解：(1)由题意得2a+2c=4+2312b⋅2c=3，

则a=2，c=3，b=1，

∴椭圆的方程为：x24+y2=1.

(2)当直线l与x轴重合时，点P(−2,0)，Q(2,0)，则|BP|=1，|BQ|=5，

所以1|BP|+1|BQ|=65≠425，不满足题意.

当直线l与x轴不重合时，设l:x=ty−3，代入椭圆方程x24+y2=1，

得(t2+4)y2−6ty+5=0，由Δ=16t2−80>0，得本题考查椭圆的标准方程及直线与椭圆的位置关系，属于中档题.(1)由题意得2a+2c=4+2312b⋅2c=3，求解可得a、b、c，从而可得椭圆的方程；

(2)当直线l与x轴重合时，点P(−2,0)，Q(2,0)，则|BP|=1，|BQ|=5，即可得1|BP|+1|BQ|18.【正确答案】解：(1)令F(x)=f(x)−g(x)=ex−mx2−x−1(x>0)，

则F′(x)=ex−2mx−1，令G(x)=ex−2mx−1，

有G′(x)=ex−2m在区间(0,+∞)上单调递增，G′(0)=1−2m.

①若m≤12，当x∈(0,+∞)时，G′(x)>G′(0)=1−2m≥0，

∴G(x)在区间(0,+∞)上单调递增，则G(x)>G(0)=0，即F′(x)>0，

∴F(x)在区间(0,+∞)上单调递增，则F(x)>F(0)=0，即f(x)>g(x)成立;

②若m>12，当x∈(0,ln(2m）时，有ex<2m，则G′(x)=ex−2m<0，

∴G(x)在区间(0,ln(2m）上单调递减，则G(x)<G(0)=0，即F′(x)<0，

∴F(x)在区间(0,ln(2m）上单调递减，则F(x)<F(0)=0，得f(x)<g(x)，与f(x)>g(x)矛盾.

综上所述，实数m的取值范围为(−∞,12].

(2)证明：ℎ(x)=ex+mx2−x−1，ℎ′(x)=ex+2mx−1，

当x>0时，有ex>1，2mx>0，∴ℎ′(x)=ex+2mx−1>0，

∴ℎ(x)在区间(0,+∞)上单调递增;同理，ℎ(x)在区间(−∞,0)上单调递减.

由题意可得，ℎ′