2024-2025学年天津市高三上学期第二次月考数学检测试卷（含答案）

2024-2025学年天津市高三上学期第二次月考数学检测试卷本试卷分第I卷(选择题)和第II卷两部分,满分150分,考试时间120分钟.答卷前,考生务必将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题纸上.答卷时,考生务必将I卷答案涂在答题纸指定位置;II卷答案也写在答题纸上,答在试卷上的无效.祝各位考生考试顺利!第I卷选择题(45分)一、单选题:本题共9小题,每小题5分,共45分.1.已知集合A={−1,0,1},若AA.⌀B.{−1,0,2.设α,β,γ是三个不同平面,且α∩γ=l,β∩A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知a=log2e,b=lnA.a>b>cB.b>a>c4.函数fx=2A.B.C.D.5.过点(0,-2)与圆x2+y2−4x−1=A.1B.154C.1046.已知抛物线C:y2=12x的焦点为F,准线为l,点A在C上,过A点作准线的垂线交准线于B,若∠A.43B.23C.8337.函数fx=cosx+x+1A.−π2,π2B.8.随着北京中轴线申遗工作的进行,古建筑备受关注.故宫不仅是世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构古建筑之一,更是北京中轴线的“中心”.左图是古建筑之首的太和殿,它的重檐庑殿顶可近似看作右图所示的几何体,其中底面ABCD是矩形,BCAB=59,EF//AB,四边形ABFE、CDEF是两个全等的等腰梯形,A.90B.3015C.759.已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120∘,点E、F分别在边BC、DC上,BE=λBCA.12B.23C.56第II卷非选择题(105分)二、填空题:本题共6小题,每小题5分,共30分.10.若复数z满足z⋅i=2025−i(i11.二项式x+ax5的展开式中,x3的系数为12.从甲、乙等5名同学中随机选3名参加社区服务工作,则甲、乙都入选的概率为_____；从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张,则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为_____.13.纸张的规格是指纸张制成后,经过修整切边,裁成一定的尺寸.现在我国采用国际标准,规定以A0,A1,A2,B1,B2,…等标记来表示纸张的幅面规格.复印纸幅面规格只采用A系列和B系列,其中Ann∈N,n≤8系列的幅面规格为:1A0,A1,A2,…,A8所有规格的纸张的幅宽(以x表示)和长度(以y表示)的比例关系都为x:y=1:2;②将A0纸张沿长度方向对开成两等分,便成为A1规格,14.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1,F2.点15.已知函数fx=x1+ax.设关于x的不等式fx+a<fx三、解答题:本题共5小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16.(本小题满分14分)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a(1)求a的值;(2)求sinA(3)求cosB−17.(本小题满分15分)如图,四棱锥P−ABCD中,PD⊥底面ABCD,AB//CD,∠BAD(1)证明:BM//平面PAD(2)求直线DM与平面PBC所成角的正弦值；(3)求三棱锥M=PBA18.(本小题满分15分)设椭圆M:x2a2+y2b2=1a>b>0,且离心率为32,过点P4(1)求椭圆M的方程;(2)已知点T1,1,直线AT和直线BT分别与y轴交于C,D,与x轴交于E,F,若3S△CDT19.(本小题满分15分)已知函数fx(1)求曲线y=fx在点(2)求证:fx(3)若函数gx=fx+ax2−x20.(本小题满分16分)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M-数列”.(1)已知等比数列ann∈N∗满足:a2a4=a5,(2)已知数列bnn∈N∗满足:b1=1,1sn=2①求数列bn②设m为正整数,若存在“M一数列”cnn∈N∗,对任意正整数k,当k≤m时,都有ck

数学学科答案与评分标准一、选择题:本大题共9小题,每小题5分,共45分.题号123456789答案CBCABADBC二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.题号101112131415答案-2025236431三、解答题:本大题共5小题,共75分.16.(本小题满分14分)解:(1)在△ABC中,cos设a=2k,则c∴cosB=解得k=∴a=(2)由(1)得a=4由正弦定理得asinA=bsinB解得sinA=(3)∵a<b,sinA=74<2cos2A=∴cosB−==576417.(本小题满分15分)(1)证明:过M作MN//CD交PD于N,连接AN则MNCD=又AB//∴AB∴四边形ABMN是平行四边形,3分∴BM//AN,又BM⊄平面PAD,AN⊂∴BM//平面PAD(2)连接BD,∵AB=∴AB又AB//以D为原点,以DB,DC,DP为坐标轴建立空间直角坐标系则D0,∴DM设平面PBC的法向量为n=x,y,z,则令y=1可得n=3∴cosDM,∴直线DM与平面PBC所成的角的正弦值为35.11(3)∵MC∴VM18.(本小题满分15分)(1)当直线AB经过椭圆中心O时,AB=2a=4,得又e=ca=32,所以c所以M:x(2)①当直线AB的方程为y=0时,显然A直线AT的方程为y=x3+2直线BT的方程为y=−x+2此时点E与点A重合,点F与点B重合,易知3S△②设直线ABx2+Δ=64m2−48m2+4>0,即yx1+3S△直线AT:y−1=y令x=0令y=0则3即x1x也即−−则24m+84=0,m综上,直线AB的斜率为0或−2719.(本小题满分15分)解:1f′x=xlnx′=ln所以曲线在点1,f1处的切线方程为(2)证明:因为x>0,所以要证明fx<x,只需要证明lnx<x令ℎx=lnx−x当0<x<4时,ℎ′x当x>4时,ℎ′x<0,此时ℎx故ℎx在x=4取极大值也是最大值,故所以lnx−x<(3)gx=xlnx+ax2故当a≥0时,gx>0在区间当a<0时,g令tx=g′x,则t′所以tx在1,+∞单调递减,且t①当g′1=1+a≤0时,此时所以gx在区间1,+∞单调递减；所以gx<g1=0②当g′1=1+a>0时,此时0>所以g′所以g′1−1a<a−1故当x∈1,x0时,g′x>0,此时gx单调递增;当x故x=x0时,gx取极大值也是最大值,故由xlnx<x令x=1−1a,得g1−1a<0综上可知,a的取值范围为−∞,−1]∪[20.(本小题满分16分)解:(1)设等比数列an的公比为q,则由a2a12∴数列an首项为1且公比为正数,即数列an为"M-数列";(2)①因为b1=1,,则b2当n>2时,由bbn=bnb所以数列bn是首项为1,公差为1的等差数列,所以bn=n(方法二)(2)①∵b∴当n=1时,当n=2时,当n=3时,1猜想bn=(i)当n=1时,b1=1(ii)假设n=k时,结论成立,即bk=k由1Sk=2bk−2bk+1根据iii可知,bn=n对任意的故数列bn的通项公式为bn②设cn的公比为q存在“M-数列”cnn∈N∗,对任意正整数k,当k≤即qk−1≤k≤qk当k=1时,q≥1,当k=当k≥3,两边取对数可得,lnkk≤lnq≤lnkk−1令fx=lnxx当x≥3时,f′x<0,此时∴当k≥3时,ln令gx=lnxx令ϕx=1−1当x≥3时,ϕ′x<∴gx在[3,+∞)即k≥3时,lnkk−1min下面求解不等式ln3化简,得3ln令ℎm=3lnm由k≥3得m≥3,ℎ′m<0,∴ℎ又由于ℎ5∴存在m0∈5,6∴m的最大值为5,此时q∈【选填压轴解析】9.由题意可得AE===−=4λ