2024-2025学年江西省新余市高三上学期12月月考数学检测试卷（含答案）

2024-2025学年江西省新余市高三上学期12月月考数学检测试卷一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．过两点的直线的倾斜角为（

）A．0° B．90° C．180° D．不存在2．平面直角坐标系中点满足，则点的轨迹为（

）A．线段 B．圆 C．椭圆 D．无轨迹3．已知椭圆的一个焦点为，则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．4．直线和直线在同一坐标系中可能是（

）A．B． C． D．5．已知圆与圆相交所得的公共弦长为，则圆的半径（

）A． B． C．或1 D．6.已知在所有矿石中含有某种稀有元素的概率约为0.01，小郅与小祥同学有一把探测器可识别该稀有元素且准确率高达0.9（即有0.1的概率对不含有该稀土元素的矿石作出反应）.在某次探索实践任务中，他们共同发现了一堆由探测器检验含有该元素的矿石，但是否真的含有该元素则需进一步检验，再回实验室途中，小祥提出用2000元向小郅卖出所有矿石，若矿石中真实含有该元素，则价值约10000元，否则将一文不值.若小郅同学出钱购买，则他获得利润的均值约为：（）元.A.-B.-0B.-1100C.2200D.70007.设，，，则的大小关系为：（）.A.B.C.D.8.现有一三棱锥，，为其外接球（四个顶点均在球的球面上）球心，，，平面恰好经过点.设平面截球的截面为，截面中心为，若，，为上一点，则取最大值时，（）.A.B.C. D.二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．）9．已知曲线：，则下列结论正确的是（

）A．若，，则是两条直线B．若，则是圆，其半径为C．若，则是椭圆D．若，则是椭圆，其焦点在轴上10.已知首项均为的等差数列和等比数列，的公差恰好为公比的倒数，若恒成立，则的取值可以是：（）.A.B.C. D.11.在长、宽、高分别为1、1、2的长方体中任取3个顶点构成平面，则该长方体在上的投影面积可能是：（）.B.C. D.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12．经过点，且被圆：所截得的弦最短时的直线的方程为．13.已知抛物线的准线为，焦点为，动圆与相切，若经过总存在直线与相切，则的取值范围是：.14．设分别是椭圆的左､右焦点，点是以为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长与椭圆交于点，若，则直线的斜率为。四、解答题（本题共5小题，共77分）15．（13分）已知是椭圆的两个焦点，，为上一点.(1)求椭圆的标准方程；(2)若为上一点，且，求的面积.16．(15分)在平行四边形中，，，边，所在直线的方程分别为和．(1)求边所在直线的方程和点到直线的距离；(2)求过点且在轴和轴截距相等的直线方程．17.（15分）已知数列满足,.的前项和为，的前项积为.(1)求证：数列为等比数列并求出其通项.(2)已知，求证.18.（17分）椭圆的光学性质在物理学中有主要应用：如图1，在椭圆上有一点，分别为其左、右焦点，过作直线与切于，则直线与的夹角大小相等.(1)求证：的方程为：；(2)如图2：在（1）的基础上，双曲线的离心率为且与有相同焦点，不与、的交点重合，与交于两点，过分别作的切线交于.求证：（ⅰ）（ⅱ）19.（17分）已知某类数集中有个元素，这些元素的和为且它们的某种排列可以构成等差数列，我们就称这样的集合为“好集”.对于一系列互不相同的正整数，若好集满足：，，中的元素个数至多为1，且存在某些使它们的并集（）中元素的某种排列也为等差数列，我们就称可以构成“优集合”.特别的，规定下标最小的好集.证明：好集可以构成优集合.若好集可以构成优集合，证明：不全为偶数.若好集可以构成优集合，试判断是否能为以1为首项的等比数列？若能，请求出所有的通项；若不能，请说明理由.答案：题号12345678答案BAABCBAD题号91011答案ADACDABC13．14.-47.注：构造函数：比较；而与的比较与的比较与的比较，所以可以构造比较；15．【详解】（1）设椭圆的焦距为，因为，可得，所以，则，，由椭圆的定义可得，所以，故椭圆的标准方程为；——8分（2）因为，所以，所以，所以.——13分16．【详解】（1）在平行四边形中，，由边所在直线，可设边所在的直线方程为，将代入上式，则，解得，则；由点，则点到直线的距离.——7分（2）由（1）可知边所在的直线，由题意可知边所在的直线，联立可得，解得，可得，——10分过的直线设为，令时，，令时，，则，整理可得，，解得或，可得或.——15分17．（1），配凑成该形式即可证明，这里从略；（4分）（2）一方面：可以将写成：，然后分情况：①时，，成立，（5分）②时，，而，（8分）所以：，累乘得：.（9分）注意：也可以使用数学归纳法.另一方面：由题意：，所以，（13分）累加得：，再累乘得.（15分）同样的，亦可使用数学归纳法.18．（1）联立判别式为0即可（注意，这里出现的方程在下面的问题中可以直接使用）（3分）（2）（ⅰ）先求出的方程为：，（6分）再用与联立，设，得到，（8分），同（1）写出的方程，得到其斜率之积即可；（10分）（ⅱ）联立两切线得到，（12分）于是，用两点之间距离公式计算，，，（14分）由此可以证明证明：，再由光学性质得到（15分），从而证明与相似，从而推出结论.（17分）19.解：（1），，，（答案不唯一） 3分（2）证：由于集合公差不影响结果，不妨设其公差为2.记，由等差数列的性质：若全为偶数，则为偶数 4分，而中的元素同样满足上述性质，所以互为相反数的元素一定属于同一集合 5分而，所以中必有一个集合的元素公差为2，且公差必为偶数 6分不妨设，，①的公差为2：则中有一个公差为，那么另一个集合元素公差为且与中至少有一个不为，不妨设，则中至少有一个集合必然存在公差为2和或的项，这与中的元素的某种排列为等差数列矛盾，舍去； 8分②的公差不为2：则此时的相邻两项中包含的个元素，这些元素中必有连续的不超过项来自公差为2的集合（不妨设为），那么中集合元素公差应不为2，这时，中元素必然存在公差为2与不为2的项，这与中的元素的某种排列为等差数列矛盾，舍去 10分故不全为偶数.能.设的公比为，总项数为（为偶数）或（为奇数），因为，所以项数最多的集合公差最小为2，总项数至少为. 11分①为大于2的偶数，下试证：，即证：而②为大于2的奇数，，由此说明：时不符合题意